數(shù)學(xué)建模論文

1、 數(shù)學(xué)建模競賽論文論文題目： 不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題 姓名1： 陳根雷 學(xué)號(hào)： 08102229 專業(yè)： 信計(jì) 姓名2： 黃繼晨 學(xué)號(hào)： 08101235 專業(yè)： 數(shù)應(yīng) 姓名3： 龔佳麗 學(xué)號(hào)： 08102106 專業(yè)： 信計(jì) 2010 年 05 月 03 日2010年第七屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了第六屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查

2、到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們愿意承擔(dān)由此引起的一切后果。我們的參賽報(bào)名號(hào)為： 參賽組別（本科或?qū)？疲罕究茀①愱?duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1：隊(duì)員2：隊(duì)員3：獲獎(jiǎng)證書郵寄地址：2010年第七屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽編 號(hào) 專 用 頁參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：（請各個(gè)參賽隊(duì)提前填寫好）：競賽統(tǒng)一編號(hào)（由競賽組委會(huì)送至評(píng)委團(tuán)前編號(hào)）：競賽評(píng)閱編號(hào)（由競賽評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010年第七屆蘇北數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽題 目 不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題摘要供應(yīng)鏈管理作為一種新型企

3、業(yè)關(guān)系管理模式在現(xiàn)代市場競爭中為企業(yè)生產(chǎn)和發(fā)展提供了一種工具，本文就A題給出的在不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)和訂購決策問題進(jìn)行研究，展開討論、分析和建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解。對于問題一：只考慮包含一個(gè)生產(chǎn)商和一個(gè)銷售商的供應(yīng)鏈，在假設(shè)商品的最終需求量是確定的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的情況下采用線性規(guī)劃的方法建立數(shù)學(xué)模型，分別建立生產(chǎn)商和銷售商獲得利潤的兩個(gè)方程式，針對兩個(gè)方程中的一些變量進(jìn)行限制，當(dāng)生產(chǎn)商和銷售商的利潤同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)就是該供應(yīng)鏈的最優(yōu)解，最后利用lingo軟件進(jìn)行編程和求解。對于問題二：在問題一的供應(yīng)鏈的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)條件那就是我們商品的市場需求量也是隨機(jī)的，并

4、且有一個(gè)商品市場需求量的期望值=400，需求量的波動(dòng)區(qū)間是0.8,1.2,利用正態(tài)分布中的3原則,求解出,再利用正態(tài)分布的密度公式=12*e-x-22*2,-<x<+列出一個(gè)相關(guān)式求解出求解出銷售商的最優(yōu)訂購量Oi再利用線性規(guī)劃的方法將所求的Oi做為一個(gè)已知數(shù)列解一個(gè)生產(chǎn)商所獲利潤的方程，并且加入相應(yīng)的限制條件就可求出生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量的最優(yōu)解.對于問題三：考慮在實(shí)際生產(chǎn)中，大多數(shù)供應(yīng)鏈具有兩級(jí)不確定性，即原產(chǎn)品生產(chǎn)的不確定性和產(chǎn)成品生產(chǎn)的不確定性；總體再利用線性規(guī)劃的相關(guān)性列出兩個(gè)線性方程，以及對其加入相應(yīng)的限制條件，求解出供應(yīng)鏈中二級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購量和一級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量

5、。 關(guān)鍵詞：供應(yīng)鏈 線性規(guī)劃 正態(tài)分布 最優(yōu)訂購量 最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量1 問題的重述1.1 背景隨著現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,在企業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中，不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的研究是使我們企業(yè)和銷售商能更好的協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上物料物、信息流、價(jià)值流、保持靈活和穩(wěn)定的需求關(guān)系，使整個(gè)供應(yīng)鏈上生產(chǎn)商和銷售商的效益達(dá)到最大，是一個(gè)關(guān)系到國計(jì)民生的重要問題。供應(yīng)鏈?zhǔn)且环N新的企業(yè)組織形態(tài)和運(yùn)營方式,包括從客戶需求信息開始經(jīng)過原材料供應(yīng)、生產(chǎn)批發(fā)銷售等環(huán)節(jié),到最后把產(chǎn)品送到最終用戶的各項(xiàng)制造和商業(yè)活動(dòng)。供應(yīng)鏈運(yùn)作過程中需要應(yīng)對生產(chǎn)和需求的不確定性。在不確定環(huán)境下，研究供應(yīng)鏈成員的生產(chǎn)與訂購決策問題，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

6、1.2 問題對于第一問和第二問，只考慮包含一個(gè)生產(chǎn)商和一個(gè)銷售商的供應(yīng)鏈，即銷售商向生產(chǎn)商訂購商品，生產(chǎn)商將商品按批發(fā)價(jià)格批發(fā)給銷售商，銷售商將商品按銷售價(jià)格銷售給最終顧客。其中相關(guān)已知條件有如下表所示： 生產(chǎn)成本/個(gè)庫存成本/個(gè)缺貨賠償金/個(gè) 出售價(jià)格/個(gè)生產(chǎn)商 20 5 15 40銷售商 5 25 60（1）若假設(shè)商品的最終需求量是確定的，即商品市場需求量為400。而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的，即由于受到各種隨機(jī)因素的影響，商品實(shí)際產(chǎn)量可能不等于計(jì)劃產(chǎn)量，呈隨機(jī)波動(dòng)，若生產(chǎn)商計(jì)劃生產(chǎn)量為Q，則商品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間為0.85,1.15 ，即產(chǎn)品實(shí)際產(chǎn)量的區(qū)間為0.85Q,1.15Q.。建立數(shù)

7、學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。（2）在問題（1）的供應(yīng)鏈中，如果商品的市場需求量也是隨機(jī)的，商品市場需求量的期望為400，市場需求量的波動(dòng)區(qū)間為0.8,1.2，即實(shí)際市場需求量的區(qū)間為320,480。請建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。對于第三問，考慮在實(shí)際上，大多數(shù)供應(yīng)鏈具有兩級(jí)生產(chǎn)不確定性，即原產(chǎn)品生產(chǎn)的不確定性和產(chǎn)成品生產(chǎn)的不確定性，一級(jí)生產(chǎn)商生產(chǎn)原產(chǎn)品（或原材料），二級(jí)生產(chǎn)商向一級(jí)生產(chǎn)商訂購

8、原產(chǎn)品（或原材料），并通過加工原產(chǎn)品（或原材料）生產(chǎn)產(chǎn)成品，進(jìn)而銷售給最終顧客，兩級(jí)生產(chǎn)均具有不確定性。相關(guān)的已知條件如下表所示： 生產(chǎn)成本/個(gè)庫存成本/個(gè)缺貨賠償/個(gè) 加工成本/個(gè)售價(jià)/個(gè)一級(jí)生產(chǎn)商20515 40二級(jí)生產(chǎn)商73010 95（3）若假設(shè)產(chǎn)成品的市場需求量是確定的，即產(chǎn)成品市場需求量為280。原產(chǎn)品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間為0.85,1.15，產(chǎn)成品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間為0.9,1.1。請建立數(shù)學(xué)模型，研究在兩級(jí)生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，二級(jí)生產(chǎn)商（產(chǎn)成品生產(chǎn)商）的最優(yōu)訂購量和一級(jí)生產(chǎn)商（原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn)商）的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中二級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購量和一級(jí)生產(chǎn)商的

9、最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量。2符號(hào)說明P1 銷售商的利潤P2 生產(chǎn)商的利潤P3 一級(jí)生產(chǎn)商利潤P4 二級(jí)生產(chǎn)商利潤Q1 銷售商訂購量Q2 二級(jí)生產(chǎn)商的訂購量X1 商品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間和原產(chǎn)品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間系數(shù)X2 產(chǎn)成品生產(chǎn)量的波動(dòng)區(qū)間系數(shù)X3實(shí)際市場需求量波動(dòng)系數(shù)Q 生產(chǎn)商和一級(jí)生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量 商品市場需求量的期望值3模型假設(shè)1. 生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量始終大于訂購量；2. 市場的最終需求是確定的；3. 商品生產(chǎn)量波動(dòng)是連續(xù)的；4. 市場需求量波動(dòng)是連續(xù)的且服從正態(tài)分布；5. 原材料生產(chǎn)量的波動(dòng)是連續(xù)的。4、問題分析這是一個(gè)優(yōu)化問題，要決策的是生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃量和銷售商的最優(yōu)訂購量，即所謂的優(yōu)化組合

10、，要達(dá)到的目標(biāo)有二，。一般來說這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，銷售商訂購的越多（在生產(chǎn)商的能力范圍之內(nèi)），生產(chǎn)商的凈收益越大，但銷售商的市場需求量是有約束的，銷售商賣不出去，就要儲(chǔ)存需要庫存成本，那銷售商的凈收益就會(huì)很小所以需要更多的約束條件使這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的即所謂的最優(yōu)決策，我們追求的只能是，在確定的訂購量下生產(chǎn)商的凈收益最大的決策，和在確定的生產(chǎn)量下銷售商凈收益最大的決策，使生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量和銷售商的訂購量按一定比例組合最優(yōu)的決策。這就是說在不同的約束條件下，只要建模合理，答案可以是多種。建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學(xué)符號(hào)和式子表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。對于本題決策變量是

11、明確的，即最優(yōu)計(jì)劃量、銷售商的最優(yōu)訂購量商品、生產(chǎn)量的波動(dòng)值和市場實(shí)際需求量的波動(dòng)值（題中第一問的該值為一），目標(biāo)函數(shù)之一是銷售商的總收益最大，目標(biāo)函數(shù)之二是生產(chǎn)商的總收益最大。而生產(chǎn)商的總收益用他的實(shí)際生產(chǎn)量和銷售商的訂購量衡量，銷售商的總收益用他的訂購量和市場的實(shí)際需求量衡量。5、模型建立5.1 問題一、二供應(yīng)鏈的相關(guān)關(guān)系圖如下所示： 計(jì)劃生產(chǎn)量實(shí)際生產(chǎn)量訂購量市場需求量 生產(chǎn)商 銷售商 批發(fā) 生產(chǎn) 銷售產(chǎn)品成本 產(chǎn)品銷售產(chǎn)品 批發(fā)價(jià)庫存成本庫存成本缺貨賠償金缺貨賠償金銷售單價(jià)5.2 問題一模型的建立對于問題1模型的建立，討論如何調(diào)整銷售商的訂購量和生產(chǎn)商計(jì)劃生產(chǎn)量使生產(chǎn)商和訂購商的利潤最

12、大。根據(jù)前面的模型假設(shè)，從生產(chǎn)商的角度考慮，由于單位商批發(fā)缺貨成本太大，所以不予考慮缺貨狀態(tài)下銷售商利潤和生產(chǎn)商的利潤。計(jì)劃生產(chǎn)量是假想情況下在規(guī)定的時(shí)間所能生產(chǎn)的產(chǎn)品量，但總有突發(fā)事件發(fā)生導(dǎo)致生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量與實(shí)際生產(chǎn)量有出入，生產(chǎn)商為了保證自己的利潤最大即花費(fèi)不至過大，一定不能缺貨，因?yàn)槿必浺粋€(gè)所損失的賠償金抵上多生產(chǎn)三個(gè)產(chǎn)品在儲(chǔ)存上的花費(fèi)。而不能缺貨，生產(chǎn)商的計(jì)劃產(chǎn)量就要始終大于訂購商的訂購量。而從銷售商的角度考慮，訂購量與上述生產(chǎn)商一致，不能缺貨，因?yàn)槿必浺粋€(gè)所損失的賠償金抵上多訂購五個(gè)產(chǎn)品在儲(chǔ)存上的花費(fèi)，而在成本方面，現(xiàn)在賣不出去以后搞促銷一樣可以賣出去。具體分析如下：1） 當(dāng) Q

13、 >400,既訂購量大于市場需求量，所以銷售商和訂購商的利潤分別為： max=60*400-40*Q1-5*(Q1-400); (1) max=40*Q1-20*X1*Q-5*(Q1-X1*Q)(2) 當(dāng)Q <400,即訂購量小于市場需求量，所以銷售商和訂購商的利潤分別為： max=60*400-40* Q1 -25*(400- Q1) (3) max=40* Q1-20*X1*Q-15*(X1*Q-Q1) (4) 針對上述描述分析中的各種范圍討論，我們采用的是線性規(guī)劃的方法，先利用供應(yīng)鏈中各種數(shù)據(jù)存在的關(guān)系,列出生產(chǎn)商和銷售商利潤求值關(guān)系式，如下所示：P1=60*400-40*Q

14、1-5*maxQ1-400,0-25*max400-Q1,0 (5)P2=40*Q1-20*X1*Q-5*maxQ1-X1*Q,0-15*maxX1*Q-Oi,0 (6)當(dāng)供應(yīng)鏈中生產(chǎn)商的利潤Pj 與銷售商的利潤Pi在應(yīng)鏈的限制條件中同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，我們就可以利用數(shù)學(xué)軟件編程求解出我們的銷售商的最優(yōu)訂購量Oi 和生產(chǎn)商的最優(yōu)計(jì)劃產(chǎn)量Q .5.3 問題二模型的建立對于問題2模型的建立，在問題一的基礎(chǔ)上，商品市場需求量變?yōu)殡S機(jī)的，討論如何調(diào)整銷售商的訂購量和生產(chǎn)商計(jì)劃生產(chǎn)量使生產(chǎn)商和訂購商的利潤最大。我們首先知道了商品市場需求量的期望值為400, 根據(jù)條件已知期望，屬于概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)范圍，又根據(jù)

15、前面模型假設(shè)知道了銷售商的實(shí)際訂購量符合正態(tài)分布根據(jù)正態(tài)分布中3原則即：設(shè)(,2),則-<k=k-(-k)=0.6826,k=1;0.9545,k=2;0.9973,k=3.從上式中可以看出：盡管正態(tài)變量的取值范圍是（-，+），但它的99.73%的值落在（-3,+3）內(nèi)。根據(jù)上述原則可求出=0.2/3=1/15;然后根據(jù)正態(tài)分布的密度公式=12*e-x-22*2,-<x<+有下列方程式：Q1=400=320480Q1*152*e-Q1-4002-1522dQ1 (9)利用此公式求解出銷售商的最優(yōu)訂購量Q1，運(yùn)用線性規(guī)劃，將幾個(gè)自變量限定區(qū)域，再將的值帶入生產(chǎn)商的利潤公式Pj=

16、40*Q1-20*X1*Q-5*maxQ1-X1*Q,0-15*maxX1*Q-Q1,0 (10)運(yùn)用LINGO編程，求出得到最大利潤時(shí)的生產(chǎn)商最優(yōu)計(jì)劃量Q。5.4 問題三供應(yīng)鏈的相關(guān)關(guān)系圖如下所示：一級(jí)生產(chǎn)商二級(jí)生產(chǎn)商 供貨銷售單價(jià)生產(chǎn)成本 生產(chǎn) 生產(chǎn) 原產(chǎn)品 產(chǎn)成品缺貨賠償金庫存成本銷售單價(jià)加工費(fèi)缺貨賠償金生產(chǎn)成本5.4 問題三模型的建立對于問題3模型的建立,在實(shí)P4=280*95-10*X2*Q2*0.7-40*X2*Q2 -7*maxQ2*X2*0.7-280,0 -30*max280-Q2*X2*0.7,0 (7)解出Q2 代入P3=40*Q2-20*X1*Q-5*maxX1*Q-Q

17、2,0-15*maxQ2-X1*Q,0(8)6、模型求解和分析6.1 根據(jù)我們我們建立的模型，用軟件求解。（程序代碼見附錄）6.2 模型結(jié)果分析 6.2.1 對于問題一：由軟件求解結(jié)果知，Linearization components added:Constraints: 13Variables: 8Integers: 5Local optimal solution found.Objective value: 7016000.Objective bound: 7016000.Infeasibilities: 0.1455192E-10Extended solver steps: 0Tota

18、l solver iterations: 14Variable Value Reduced CostQ2 400.0 0.000000Q1 400.0000 0.000000X1 1.150000 0.000000Q 417.8261 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7016000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.3000000 0.0000004 0.000000 0.000000從結(jié)果得出，最優(yōu)計(jì)劃生產(chǎn)量是418件，實(shí)際生產(chǎn)量為400，銷售商的訂購量為400時(shí)，整條供應(yīng)鏈的效益能到達(dá)最優(yōu)。6.2.2 對于問題

19、二,在中求解得到結(jié)果是：Linearization components added:Constraints: 20Variables: 12Integers: 8Local optimal solution found.Objective value: 7321000.Objective bound: 7321000.Infeasibilities: 0.2296809E-07Extended solver steps: 0Total solver iterations: 16Variable Value Reduced CostQ2 405.00000 0.000000Q1 409.000

20、00 0.000000 X1 1.2250000 0.000000 X2 1.015000 0.000000 Q 400.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7321000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.3000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 -0.2296809E-07 0.000000從結(jié)果中得到：生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量為400，實(shí)際生產(chǎn)量為405，銷售商的訂購量為405,在此時(shí)供應(yīng)鏈的效益達(dá)到最優(yōu).6.2.3 對于問題三，在軟件中

21、進(jìn)行編程并求解得到結(jié)果：Linearization components added:Constraints: 15Variables: 9Integers: 6Local optimal solution found.Objective value: 3023040.Objective bound: 3023040.Infeasibilities: 0.2349901E-05Extended solver steps: 1Total solver iterations: 22Variable ValueQ2 439.0000Q1 439.0000X2 1.0091954Q3 480.0000

22、 X1 1.0666667 Q 450.00000Row Slack or Surplus1 3023040.2 0.0000003 0.30000004 0.0000005 0.40000006 0.0000007 160.00008 0.000000從結(jié)果可知：生產(chǎn)商的計(jì)劃生產(chǎn)量為450實(shí)際生產(chǎn)量為439銷售商的訂購量為439時(shí)，整條供應(yīng)鏈上的效益最大。7、模型評(píng)價(jià) 供應(yīng)鏈?zhǔn)沁m應(yīng)市場全球化的客戶需求多樣化而產(chǎn)生的，它強(qiáng)調(diào)供應(yīng)鏈上各企業(yè)及其活動(dòng)的整體集成，從而更好的協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上各企業(yè)的需求，使更好的實(shí)施供應(yīng)鏈管理技術(shù)，讓我們的企業(yè)在競爭激烈的經(jīng)濟(jì)環(huán)境下存活下來并得到更好的發(fā)展。在企業(yè)生產(chǎn)中和

23、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中，人們常會(huì)遇到這樣的問題，例如：如何從一切可能的方案中選擇最好的、最優(yōu)的方案。在我們數(shù)學(xué)上把這類問題稱為最優(yōu)化問題，如何解決這類問題，在當(dāng)今商品經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，是關(guān)系到國計(jì)民生的問題。在解決上述不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題上，我們采用的是線性規(guī)劃和概率論中的正態(tài)分布的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟，并且是一個(gè)有廣泛應(yīng)用價(jià)值的統(tǒng)籌學(xué)分支，如果一個(gè)問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應(yīng)用lingo軟件將該線性規(guī)劃方程解出來得到最優(yōu)解。而對于正態(tài)分布，一個(gè)變量如果是大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果，此時(shí)很多隨機(jī)變量可以用正態(tài)分布描述或近似描述。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)中的線性規(guī)劃和正態(tài)分布對于解決該