新人民教育出版版高中數(shù)學(xué)必修四第二章平面向量平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)過(guò)程

1、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：平面向量基本定理(1) 平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使= 。我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)運(yùn)用定理時(shí)需注意：，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量。該平面內(nèi)的任一向量都可用，線性表示，且這種表示是唯一的?；撞晃ㄒ唬灰峭黄矫鎯?nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底。知識(shí)點(diǎn)二：兩向量的夾角與垂直（1） 定義：已知兩個(gè)非零向量，作,則AOB=叫做向量的夾角。（2）如果的夾角是90°，就說(shuō)垂直，記作。（3）注意：向量的夾角的范圍是，當(dāng)時(shí)，同向；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)

2、，反向。知識(shí)點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)表示（1）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地，如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若，則， 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差. 若，則一

3、個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).（3）若和實(shí)數(shù)，則.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)四：平面向量共線的坐標(biāo)表示（1） 設(shè)， 其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量共線。（2） 注意:遇到與共線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一般要考慮運(yùn)用兩向量共線的條件。運(yùn)用兩向量共線的條件，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，可證明三點(diǎn)共線等問(wèn)題。學(xué)習(xí)結(jié)論（1） 在解具體問(wèn)題時(shí)，要適當(dāng)?shù)倪x取基底。把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。（2） 向量共線的充要條件有兩種形式：（） （3） 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0°q180°。典型例題例1 。已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(

4、-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解析：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，由得D1=(2， 2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，得D2=(4， 6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí)，得D3=(-6， 0)例2已知三個(gè)力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐標(biāo).解析：由題設(shè)+= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)即： (-5，1)例3若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x解析：=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 與方向相同 x= 例4已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解析：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(