第2講基本初等函數(shù)

1、第2講基本初等函數(shù)考點(diǎn)解讀 1.掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算2.理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)3.能利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題4.了解冪函數(shù)的定義，熟悉常見(jiàn)冪函數(shù)的圖形與性質(zhì)基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.函數(shù)yloga(x2)1(a>0，a1)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)2.若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_3.若函數(shù)f(x)4xk·2xk3有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_4.定義：區(qū)間x1，x2(x1<x2)的長(zhǎng)度為x2x1.已知函數(shù)y|log0.5x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，2，則區(qū)間a，b的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)例題選講 題型一 函數(shù)解析式

2、及性質(zhì)討論例1.函數(shù)f(x)(a、b、cZ)是奇函數(shù)，且f(1)2，f(2)<3.(1)求a、b、c的值；(2)當(dāng)x<0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性（變式）已知函數(shù)f(x)a(aR)(1)試判斷f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若f(x)為定義域上的奇函數(shù)，求： 函數(shù)f(x)的值域； 滿足f(ax)<f(2ax2)的x的取值范圍題型二 函數(shù)中的恒成立問(wèn)題例2 設(shè)f(x)log2x為奇函數(shù)，a為常數(shù)(1) 求a的值；(2) 判斷并證明函數(shù)f(x)在x(1，)時(shí)的單調(diào)性；(3) 若對(duì)于區(qū)間2，3上的每一個(gè)x值，不等式f(x)>2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 已知定義域?yàn)?/p>

3、R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1) 求a、b的值；(2) 若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍題型三 函數(shù)中的存在性問(wèn)題例3 已知函數(shù)f(x)|xm|和函數(shù)g(x)x|xm|m27m.(1) 若方程f(x)|m|在4，)上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 若對(duì)任意x1(，4均存在x23，)，使得f(x1)>g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍已知a>0，且a1，函數(shù)f(x)loga(x1)，g(x)loga，記F(x)2f(x)g(x)(1) 求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn)；(2) 若關(guān)于x的方程F(x)m0在區(qū)間0，1)內(nèi)有解，求實(shí)

4、數(shù)m的取值范圍題型四 函數(shù)與方程、不等式綜合應(yīng)用問(wèn)題例4 已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0，b<1)，在區(qū)間2，3上有最大值4，最小值1，設(shè)f(x).(1) 求a、b的值；(2) 不等式f(2x)k·2x0在x1，1上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3) 方程f(|2x1|)k0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍已知函數(shù)g(x)mx22mx1n(n0)在1，2上有最大值1和最小值0.設(shè)f(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1) 求m、n的值；(2) 若不等式f(log2x)2klog2x0在x2，4上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3) 若方程f(|ex1|)3k0有三個(gè)不同的實(shí)

5、數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍1. (2013·全國(guó)卷)設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3)時(shí)，f(x)x2，則f(1)_2. (2014·山東卷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)3. (2013·天津卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是_4. 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)<0或g(x)<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_6. 設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1) 討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)

6、 當(dāng)x0，1時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值(本題模擬高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，滿分14分)(2014·南通一模)已知a為實(shí)常數(shù)，yf(x)是定義在(，0)(0，)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)2x1.(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x)a1對(duì)一切x0成立，求a的取值范圍1. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8，8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_2. 已知函數(shù)f(x)x3(k2k1)x25x2，g(x)k2x2kx1，其中kR.(1) 設(shè)函數(shù)p(x

7、)f(x)g(x)若p(x)在區(qū)間(0，3)上不單調(diào)，求k的取值范圍；(2) 設(shè)函數(shù)q(x)是否存在k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2(x2x1)，使得q(x2)q(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第2講基本初等函數(shù)考點(diǎn)解讀 1.掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算2.理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)3.能利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題4.了解冪函數(shù)的定義，熟悉常見(jiàn)冪函數(shù)的圖形與性質(zhì)基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.函數(shù)yloga(x2)1(a>0，a1)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)2.若函數(shù)y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_3.若函數(shù)f(x)4xk

8、·2xk3有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_4.定義：區(qū)間x1，x2(x1<x2)的長(zhǎng)度為x2x1.已知函數(shù)y|log0.5x|的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，2，則區(qū)間a，b的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)例題選講 題型一 函數(shù)解析式及性質(zhì)討論例1.函數(shù)f(x)(a、b、cZ)是奇函數(shù)，且f(1)2，f(2)<3.(1)求a、b、c的值；(2)當(dāng)x<0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性（變式）已知函數(shù)f(x)a(aR)(1)試判斷f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若f(x)為定義域上的奇函數(shù)，求： 函數(shù)f(x)的值域； 滿足f(ax)<f(2ax2)的x的取值范圍題型二 函數(shù)中的

9、恒成立問(wèn)題例2 設(shè)f(x)log2x為奇函數(shù)，a為常數(shù)(1) 求a的值；(2) 判斷并證明函數(shù)f(x)在x(1，)時(shí)的單調(diào)性；(3) 若對(duì)于區(qū)間2，3上的每一個(gè)x值，不等式f(x)>2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1) 由條件得f(x)f(x)0， log2log20，化簡(jiǎn)得(a21)x20，因此a210，a±1，但a1不符合題意，因此a1.(2) 判斷函數(shù)f(x)在x(1，)上為單調(diào)減函數(shù)；證明如下：設(shè)1<x1<x2，f(x1)f(x2)log2x1log2x2log2·(x2x1)， 1<x1<x2， x2x1>0，x1

10、7;1>0，x2±1>0. (x11)(x21)(x11)(x21)x1x2x1x21x1x2x1x212(x2x1)>0，又(x11)(x21)>0，(x11)(x21)>0， log2·>0， f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函數(shù)f(x)在x(1，)上為單調(diào)減函數(shù)(3) 不等式為m<f(x)2x恒成立， m<f(x)2xmin. f(x)在 x2，3上單調(diào)遞減，2x在x2，3上單調(diào)遞增， f(x)2x在 x2，3上單調(diào)遞減，當(dāng)x3時(shí)取得最小值為10， m(，10) 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(

11、x)是奇函數(shù)(1) 求a、b的值；(2) 若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解： (1) f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)， f(0)0，即0b1, f(x).又由f(1) f(1)，知a2.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意， a2，b1.(2) (解法1)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數(shù)又f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)f(2t2k)0等價(jià)于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)因?yàn)閒(x)為減函數(shù)，由上式推得t22tk2t2，即對(duì)一切tR有3t22tk0，從而判別式412k0k.(解法2)由(1)知f(x).又由題設(shè)條件得0，即(22t

12、2k12)(12t22t)(2t22t12)(122t2k)0，整理得23t22tk1.因底數(shù)21，故 3t22tk0對(duì)一切tR均成立，從而判別式412k0k.題型三 函數(shù)中的存在性問(wèn)題例3 已知函數(shù)f(x)|xm|和函數(shù)g(x)x|xm|m27m.(1) 若方程f(x)|m|在4，)上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 若對(duì)任意x1(，4均存在x23，)，使得f(x1)>g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1) 方程f(x)|m|，即|xm|m|.此方程在xR時(shí)的解為x0或x2m.要使方程|xm|m|在x4，)上有兩個(gè)不同的解，則2m4且2m0.所以m的取值范圍是m2且m0

13、.(2) 原命題等價(jià)于：對(duì)于任意x1(，4，任意x23，)，f(x1)ming(x2)min.對(duì)于任意x1(，4，f(x1)min對(duì)于任意x23，)，g(x2)min 當(dāng)m3時(shí)，0m210m9，解得1m3. 當(dāng)3m4時(shí)，0m27m，解得3m4. 當(dāng)m>4時(shí)，m4m27m，解得4<m42.綜上所述，m的取值范圍為1m42.已知a>0，且a1，函數(shù)f(x)loga(x1)，g(x)loga，記F(x)2f(x)g(x)(1) 求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn)；(2) 若關(guān)于x的方程F(x)m0在區(qū)間0，1)內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1) F(x)2f(x)g(x)2loga

14、(x1)loga(a>0且a1)，由解得1<x<1，所以函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?1，1)令F(x)0，則2loga(x1)loga0(*)方程變?yōu)閘oga(x1)2loga(1x)，即(x1)21x，即x23x0，解得x10，x23，經(jīng)檢驗(yàn)x3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解為x0，即函數(shù)F(x)的零點(diǎn)為0.(2) m2loga(x1)loga(0x<1)logaloga，am1x4，設(shè)1xt(0，1，函數(shù)yt在區(qū)間(0，1上是減函數(shù)，當(dāng)t1時(shí)，此時(shí)x0，ymin5，所以am1， 若a>1，則m0，方程有解； 若0<a<1，則m0，方程有解題型四

15、 函數(shù)與方程、不等式綜合應(yīng)用問(wèn)題例4 已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0，b<1)，在區(qū)間2，3上有最大值4，最小值1，設(shè)f(x).(1) 求a、b的值；(2) 不等式f(2x)k·2x0在x1，1上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3) 方程f(|2x1|)k0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1) g(x)a(x1)21ba，當(dāng)a0時(shí)，g(x)在2，3上為增函數(shù)，故當(dāng)a<0時(shí)，g(x)在2，3上為減函數(shù)故 b1， a1，b0，即g(x)x22x1，f(x)x2.(2) 不等式f(2x)k·2x0化為2x2k·2x，12·k，令t

16、，kt22t1. x1，1， t.記(t)t22t1， (t)min0， k0.(3) 由f(|2x1|)k0，得|2x1|(23k)0，|2x1|2(23k)|2x1|(12k)0，|2x1|0，令|2x1|t, 則方程化為t2(23k)t(12k)0(t0) 方程|2x1|(23k)0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 由t|2x1|的圖象(如下圖)知，t2(23k)t(12k)0有兩個(gè)根t1、t2，且0t11t2或0t11，t21，記(t)t2(23k)t(12k)，則或 k0.已知函數(shù)g(x)mx22mx1n(n0)在1，2上有最大值1和最小值0.設(shè)f(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1) 求m、n的值

17、；(2) 若不等式f(log2x)2klog2x0在x2，4上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3) 若方程f(|ex1|)3k0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1) g(x)m(x1)21nm，當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在1，2上是增函數(shù)， 即解得當(dāng)m0時(shí)， g(x)1n，無(wú)最大值和最小值；當(dāng)m<0時(shí)， g(x)在1，2上是減函數(shù)， 即解得 n0，n1舍去綜上，m、n的值分別為1、0.(2) 由(1)知f(x)x2， f(log2x)2klog2x0在x2，4上有解等價(jià)于log2x22klog2x在x2，4上有解，即2k1在x2，4上有解令t，則2kt22t1， x2，4， t.

18、記(t)t22t1， t1， (t)max， k的取值范圍為.(3) 原方程可化為|ex1|2(3k2)|ex1|(2k1)0.令|ex1|t，則t(0，)，由題意知t2(3k2)t2k10有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解t1、t2，其中0<t1<1，t2>1或0<t1<1，t21.記h(t)t2(3k2)t2k1，則或 解得k>0， 實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)1. (2013·全國(guó)卷)設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3)時(shí)，f(x)x2，則f(1)_答案：12. (2014·山東卷)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)答案：(2，)解析：由已知得(log

19、2x)21>0，即log2x>1或log2x<1，解得x>2或0<x<.3. (2013·天津卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是_答案：解析：f(log2a)f(loga)2f(1)即為2f(log2a)2f(1)，|log2a|1，所以a2.4. 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)<0或g(x)<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案：(4，0)解析：根據(jù)g(x)2x2<0x<1，由于題目中條件的

20、限制，導(dǎo)致g(x)在x1時(shí)必須是f(x)<0，當(dāng)m0時(shí)，f(x)0，不能做到g(x)在x1時(shí)，f(x)<0，所以舍去，因此f(x)作為二次函數(shù)開(kāi)口只能向下，故m<0，且此時(shí)f(x)的2個(gè)根為x12m，x2m3，為保證條件成立，只需和大前提m<0取交集結(jié)果為4<m<0.5. (2013·上海卷)甲廠以x kg/h的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是100元(1) 要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2 h獲得的利潤(rùn)不低于3 000元，求x的取值范圍；(2) 要使生產(chǎn)900 kg該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)解

21、：(1) 根據(jù)題意，2003 0005x140，又1x10，解得3x10.(2) 設(shè)利潤(rùn)為y元，則y·1009×104，故x6時(shí)，ymax457 500元6. 設(shè)函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1) 討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2) 當(dāng)x0，1時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值解：(1) f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)1a2x3x2，令f(x)0得x1，x2，x1<x2， f(x)3(xx1)(xx2)，當(dāng)x<x1或x>x2時(shí)f(x)<0；當(dāng)x1<x<x2時(shí)f(x)>0，故f(x)在和(，)

22、內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增(2) a>0， x1<0，x2>0， 當(dāng)a4時(shí)x21，由(1)知f(x)在0，1上單調(diào)遞增， f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值 當(dāng)4>a>0時(shí)，x2<1，由(1)知f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減， f(x)在xx2處取得最大值又f(0)1，f(1)a， 當(dāng)1>a>0時(shí)，f(x)在x1處取得最小值；當(dāng)a1時(shí)，f(x)在x0和x1處同時(shí)取得最小值；當(dāng)4>a>1時(shí)，f(x)在x0取得最小值(本題模擬高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，滿分14分)(2014·南通一模)已知a為實(shí)常數(shù)，yf(x)是

23、定義在(，0)(0，)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)2x1.(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x)a1對(duì)一切x0成立，求a的取值范圍解：(1) 由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，我們只要討論f(x)在區(qū)間(，0)上的單調(diào)性即可f(x)2，令f (x)0，得xa.(2分) 當(dāng)a0時(shí)，f (x)0，故f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增；(4分) 當(dāng)a0時(shí)，x (，a )，f (x)0，所以f(x)在區(qū)間(，a )上單調(diào)遞增x (a，0)，f (x)0，所以f(x)在區(qū)間(a，0)上單調(diào)遞減(6分)綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(0，)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間

24、為(，a )，(a ，)，單調(diào)減區(qū)間為(a，0)，(0，a)(7分)(2) 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x)2x1.(9分) 當(dāng)a0時(shí)，要使f(x)a1對(duì)一切x0成立，即2xa對(duì)一切x0成立而當(dāng)x0時(shí)，有a4aa，所以a0，則與a0矛盾所以a0不成立(11分) 當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x11a1對(duì)一切x0成立，故a0滿足題設(shè)要求(12分) 當(dāng)a0時(shí)，由(1)可知f(x)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，)上是增函數(shù)所以fmin(x)f(a)3a1a1，所以a0時(shí)也滿足題設(shè)要求(13分)綜上所述，a的取值范圍是0，)(14分)1. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8，8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_答案：8解析：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)又f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)又f(x)在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2，0上也