2016新課標三維人教B版數(shù)學選修4-41.2極坐標系

1、 _1.2極_坐_標_系對應學生用書P4 讀教材·填要點1平面上點的極坐標(1)極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，由O點出發(fā)的一條射線Ox，一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標系O點稱為極點，Ox稱為極軸(2)點的極坐標：平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫，這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐標，稱為極徑，稱為極角2極坐標與直角坐標的關(guān)系(1)極坐標和直角坐標變換的前提條件：極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標系取相同的長度單位(2)極坐標和直角坐標的變換公式：或小問題&#

2、183;大思維1平面上的點與這一點的極坐標是一一對應的嗎？為什么？提示：不是在極坐標系中，與給定的極坐標(，)相對應的點是唯一確定的；反過來，同一個點的極坐標卻可以有無窮多個如一點的極坐標是(，)(0)，那么這一點也可以表示為(，2n)或(，(2n1)(其中nZ)2若>0,0<2，則除極點外，點M(，)與平面內(nèi)的點之間是否是一一對應的？提示：如果我們規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(，)來表示這時，極坐標與平面內(nèi)的點之間就是一一對應的關(guān)系3若點M的極坐標為(，)，則M點關(guān)于極點、極軸、過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是什么？提示：設點M的極坐標是(，)

3、，則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標是(，)或(，)；M點關(guān)于極軸的對稱點的極坐標是(，)；M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是(，)或(，)對應學生用書P5極坐標系的概念例1已知定點P.(1)將極點移至O處，極軸方向不變，求P點的新坐標；(2)極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動，求P點的新坐標思路點撥本題考查極坐標系的建立及極坐標的求法解答本題需要根據(jù)題意要求建立正確的極坐標系，然后求相應的點的極坐標精解詳析(1)設P點新坐標為(，)，如圖所示，由題意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)22·4·2·cos1612244

4、，2.即|OP|2.|OP|2|OO|2|OP|2，OOP.OPO.OPP.PPx.POx.P點的新坐標為.(2)如圖，設P點新坐標為(，)，則4，.P點的新坐標為.建立極坐標系的要素是：極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向四者缺一不可極軸是以極點為端點的一條射線，它與極軸所在的直線是有區(qū)別的極角的始邊是極軸，它的終邊隨著的大小和正負而取得各個位置；的正方向通常取逆時針方向，的值一般是以弧度為單位的量數(shù)；點M的極徑表示點M與極點O的距離|OM|，因此0；但必要時，允許0.1在極坐標系中，點A的極坐標是，則(1)點A關(guān)于極軸的對稱點是_；(2)點A關(guān)于極點的對稱點的極坐標是_；(3)點A關(guān)

5、于直線的對稱點的極坐標是_(規(guī)定>0，0,2)解析：如圖所示，在對稱的過程中極徑的長度始終沒有變化，主要在于極角的變化另外，我們要注意：極角是以x軸正向為始邊，按照逆時針方向得到的答案：(1)(2)(3)點的極坐標和直角坐標的互化例2以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系(1)已知點A的極坐標為，求它的直角坐標；(2)已知點B和點C的直角坐標為(2，2)和(0，15)，求它們的極坐標(0,02)思路點撥本題考查極坐標和直角坐標的互化解答此題只需將已知條件代入相關(guān)公式即可精解詳析(1)xcos 4·cos2，ysin 4sin2，A點的直角坐標為(2，2)(2)2，tan

6、1，且點B位于第四象限內(nèi)，.點B的極坐標為.又x0，y0，15，點C的極坐標為.(1)將極坐標(，)化為直角坐標(x，y)的公式是：xcos ，ysin .(2)將直角坐標(x，y)化為極坐標(，)的公式是：2x2y2，tan (x0)在利用此公式時要注意和的取值范圍2(1)已知點的極坐標分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標；(2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B，C(2,2)，求它們的極坐標，其中極角0,2)解：(1)根據(jù)xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根據(jù)2x2y2，tan 得A，B，C.極坐標系中兩點間的距離例3ABC的頂點的極坐標為A，B，C.(1)

7、判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積；(3)求ABC的邊AB上的高思路點撥本題考查極坐標與直角坐標的互化、極坐標系中兩點間的距離公式解答此題可直接利用極坐標系中兩點間的距離公式求解，也可以先將極坐標化為直角坐標，然后利用兩點間的距離公式求解精解詳析AOB，BOC，COA.(O為極點)(1)|AB|2.|BC|2，|AC|4.ABC是等腰三角形(2)SAOB|OA|·|OB|12，SBOC|OB|·|OC|sinBOC12，SC OA|OC|·|OA|sinCOA8.SABCSBOCSC OASAOB124.(3)設AB邊上的高為h，則h.對于這類問題的解決方法，

8、可以直接用極坐標內(nèi)兩點間的距離公式d求得；也可以把A，B兩點由極坐標化為直角坐標，利用直角坐標中兩點間的距離公式d求得，極坐標與直角坐標的互化體現(xiàn)了化歸的解題思想；還可以考慮其對稱性，根據(jù)對稱性求得3在極坐標系中，如果等邊三角形的兩個頂點是A，B，求第三個頂點C的坐標解：由題設知，A，B兩點關(guān)于極點O對稱又|AB|4，所以由正三角形的性質(zhì)知，|CO|2，AOC，從而C的極坐標為或.對應學生用書P6一、選擇題1在極坐標系中，與點A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是()A.B.C. D.解析：選B與A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標可以表示為(kZ)，只有選項B滿足2在極坐標系中，若點A，B的

9、坐標分別是，則AOB為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形解析：選B由題意知AOB，故選B.3已知A，B的極坐標分別是和，則A和B之間的距離等于()A. B.C. D.解析：選CA，B在極坐標中的位置，如圖，則由圖可知AOB.在AOB中，|AO|BO|3，所以，由余弦定理，得|AB|2|OB|2|OA|22|OB|·|OA|·cos 992×9×189(1)2.|AB|.4已知極坐標平面內(nèi)的點P，則P關(guān)于極點的對稱點的極坐標與直角坐標分別為()A.， B.，C.，(1，) D.，(1，)解析：選D點P關(guān)于極點的對稱點為，即，且x2co

10、s2cos1，y2sin2sin，所以選D.二、填空題5限定>0,0<2時，若點M的極坐標與直角坐標相同，則點M的直角坐標為_解析：點M的極坐標為(，)，設其直角坐標為(x，y)依題意得x，y，即x2y2x2.y0，>0.M(，0)答案：(，0)6已知極坐標系中，極點為O,0<2，M，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標為_解析：如圖所示，|OM|3，xOM，在直線OM上取點P，Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ.顯然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.答案：或7直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到

11、直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置分析夾角大小因為|AO|BO|3，AOB，所以OAB.所以ACO.答案：8寫出與直角坐標系中的點(2,2)表示同一個點的所有點的極坐標_解析： 4，tan ，.點(2,2)用極坐標表示為(kZ)答案：(kZ)三、解答題9設點A，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求出點A關(guān)于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(限定0，)解：如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為B，關(guān)于直線l的對稱點為C，關(guān)于極點O的對稱點為D.10已知點P的直角坐標按伸縮變換變換為點P(6，3)，限定>0,02時，求點P的極坐標解：設點P的直角坐標為(x，y)，由題