向量代數(shù)與空間解析幾何

1、第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何本章的教學(xué)與考試基本要求：1. 理解向量的概念,掌握向量的坐標表示法,會求單位向量,方向余弦,向量在坐標軸上的投影；2. 會求兩向量的數(shù)量積、向量積，掌握兩向量平行、垂直的條件；3. 會求平面方程、一般方程、會判定平面的垂直、平行； 4. 會求直線的對稱式方程、參數(shù)方程，會判定兩直線平行、垂直，會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）；5. 了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖7.1 空間直角坐標系一、主要內(nèi)容回顧坐標系過空間一定點，按右手法則作三條相互垂直的數(shù)軸：軸（橫軸）、軸（縱軸）、軸（豎軸），這樣的三條坐標軸

2、稱為一個空間直角坐標系，點稱為坐標原點坐標面由任意兩條坐標軸確定的平面稱為坐標面，其中由軸與軸所確定的平面稱為坐標面由軸與軸所確定的平面稱為坐標面由軸和軸所確定的平面稱為坐標面卦限三個坐標面將空間分成八個部分,每一部分稱為一個卦限,分別稱為第I至第 VIII卦限點坐標空間上任意點在三條坐標軸上的投影在各自軸上的坐標記為, 則點與有序數(shù)組建立了一一對應(yīng)關(guān)系，稱為點的坐標，點稱為以為坐標的點距離公式設(shè)，為空間兩點，則與之間的距離為.二、基本考試題型及配套例題題型I 選擇題（1）點到軸的距離= ( )ABC D（2）點在第 卦限AI BIV CV D VIII解（1）選D點在軸上的投影為,故點到軸的

3、距離為.（2）選D.題型II 計算題(1) 求關(guān)于點的對稱點(2) 在第三卦限內(nèi)求一點M，已知它與三個坐標軸的距離分別為, 解 (1)設(shè)對稱點,由中點公式得解得 =-3, =7, =0，即所求點的坐標為（2）設(shè)所求點為，點在軸、軸、軸上的投影分別為A,B,C，則即有 解得 因為在第III卦限內(nèi)，故所求點的坐標為（-6，-4，3）題型III 證明題試證以點、為頂點的三角形是等腰直角三角形證因因為 ，且，故為等腰直角三角形三、習(xí)題選解 （習(xí)題7-1）3 求點與原點及各坐標軸之間的距離解 點在軸、軸、軸上的投影分別為、，故點到各坐標軸的距離分別為4求點關(guān)于各坐標面、坐標軸、坐標原點的對稱點的坐標解

4、點關(guān)于面的對稱點是();關(guān)于面的對稱點是();關(guān)于面的對稱點是()點關(guān)于軸的對稱點是(); 關(guān)于軸的對稱點是(); 關(guān)于軸的對稱點是()點關(guān)于坐標原點的對稱點是()6. 在平面上，求與三個點，和等距離的點解 設(shè)所求點為，其坐標為 , 按題意有，即 即 亦即 解得 故所求點的坐標為7.2 向量代數(shù)一、主要內(nèi)容回顧向量的概念既有大小又有方向的量，稱為向量（1）與起點位置無關(guān)而只與大小和方向有關(guān)的向量，稱為自由向量（2）向量的大小（或長度），稱為向量的模（3）模為1的向量，稱為單位向量（4）模為0的向量，稱為零向量，記作（5）與大小相等方向相反的向量稱為的負向量，記作（6）若兩向量模相等方向相同,

5、則與相等（7）若與方向相同或相反，則稱與平行，記作/ 向量的線性運算（1）把向量的起點移到向量的終點，則以的起點為起點b的終點為終點的向量,稱為與的和向量，記做.（2）向量的減法：若把兩向量與移到同一起點，則從的終點向的終點引向量，即是與的差（3）向量與數(shù)的乘法: 實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記做, 它的模為：|=|方向為如下規(guī)定：當時，與同向；當時, 與反向；當時, 為零向量性質(zhì)設(shè)為實數(shù)()=()=()()=,()=+設(shè)b是非零向量，則存在實數(shù),使二、基本考試題型及配套例題題型I 判斷題與非零向量同向的單位向量只有1個.與非零向量共線的單位向量只有1個.解對.錯.與非零向量共線的單位向量有兩

6、個為.題型II選擇題設(shè)為非零向量，且, 則必有（ ）A BC D(2)設(shè)向量相平行，但方向相反，則當時，必有（ ）AB C D 解(1)選C. 當為非零向量，且，則以 為兩鄰邊的平行四邊形是矩形。而矩形的兩條對角線長度相等，故必有(2)選A. 以及為三條邊的三角形的邊長，必須滿足關(guān)系式.但是，當互相平行，方向相反，且時，必有題型III 證明題如果平面上一個四邊形的對角線互相平分，試應(yīng)用向量證明它是平行四邊形證明設(shè)四邊形中與交于，如右圖由條件知因為所以是平行四邊形 （如圖）三、習(xí)題選解（習(xí)題7-2）1 .設(shè)，試用來表示解 3 .把的邊五等分，設(shè)分點依次為，再把各分點與點A連接，試以,表示向量、解

7、如右圖所示（如圖）7.3 向量的坐標表示法一、主要內(nèi)容回顧向量的坐標表示（1）向量的坐標表示式：.（2）向量按基本向量的分解式：分別稱為在軸上的分向量.向量運算的坐標表示設(shè)，則（1），（2），（3），（4）當時，；（其中為的方向角），（5）當時，與同向的單位向量為=二、考試題型及配套例題題型I判斷題(1)是單位向量；(2)是單位向量；(3) 與三坐標軸的正向夾角相等的向量,其方向角為解 (1)錯因為，所以不是單位向量(2)對由于，故是單位向量(3)錯因為任何一個向量的三個方向角應(yīng)滿足關(guān)系式，而，事實上，均以作為方向角的向量是根本不存在的題型II計算題設(shè)向量,(1)用的模及方向余弦表示；(2)求

8、與向量反向平行,且長度為75的向量.解（1）（2）按題意所求向量為且 解得 則有向量題型III 證明題設(shè)和為兩已知點，而在直線上的點分有向線段為兩個有向線段與，使它們滿足等式, 試證分點的坐標為：證由題意有 即亦即 解得 即證得分點的坐標為三、習(xí)題選解（習(xí)題7-3）1已知向量其終點在，求始點的坐標解設(shè)A的坐標為，則由已知條件得所以 故A點坐標2. 已知求的值解由 解得3. 已知向量求（）（）（，為常數(shù)）解（1）（2）4. 設(shè)已知兩點和，計算向量的模，方向余弦和方向角解 所以5. 設(shè)向量的方向余弦分別滿足，問這些向量與坐標軸或坐標面的位置關(guān)系如何？解（1），則向量與軸垂直、平行于面（2）， 則向

9、量與y軸同向、垂直面（3），則向量既垂直軸，又垂直于軸，即向量垂直于面，亦即與軸平行6. 已知向量試用正向與一致的單位向量來表示解 °.7. 求平行于向量的單位向量解 故平行于向量的單位向量為8一向量與軸和的夾角分別為和，求它與軸的夾角解設(shè)向量與各坐標軸間的夾角為.根據(jù)，由已知條件，得 所以 或7.4 數(shù)量積 向量積一、 主要內(nèi)容回顧數(shù)量積(1)稱為在上的投影，記作，即(2)稱為向量與的數(shù)量積(3)數(shù)量積的坐標表達式(4)兩向量夾角余弦的坐標表達式(5)數(shù)量積的性質(zhì)向量積(1)向量積定義若由與按下列方式?jīng)Q定的方向垂直與所確定的平面，且、符合右手法則，則稱為與的向量積，記作注：(2)向

10、量積坐標表示 （3）向量積性質(zhì) （）一、 基本考試題型及配套例題題型I 判斷題(1)； (2)或；(3)若 則；(4)若且則；(5)分析 這是一組關(guān)于向量的各種運算的等式.判定等式是否成立，先要看等式兩邊是否同時是數(shù)量，或同時是向量；其次，若同時是數(shù)量，則看數(shù)值是否相等，若同時是向量，則判斷模是否相等，方向是否相同；若一邊是數(shù)量，另一邊是向量，則顯然不相等.解(1)錯由于左端是向量，右端是數(shù)量，故等式不成立(2)錯因為 故結(jié)論不成立(3)錯兩向量與的模相等，但方向不一定相同，故結(jié)論不一定成立，如，但.(4)錯由可知，且，此等式成立，當且僅當,而不一定有，如，但.實際上，將的起點移到同一點，只要

11、的終點落在與平行的任一直線上，就有,從而，但.(5)錯.因為向量不能比較大小，該等式?jīng)]有意義.題型II選擇題（1）向量與的數(shù)量積=（ ）.A； B ； C ； D （2）非零向量滿足，則有（ ）A; B (為實數(shù))； C ； D （3）設(shè)與為非零向量，則是（ ）A的充要條件； B 的充要條件;C的充要條件； D 的必要但不充分的條件（4）設(shè)，則向量在軸上的分向量是（ ）A 7 B 7 C1； D -9解 （1）選C.因為（2）選C.因為（3）選A.因為.（4）選B.因為.題型III 計算題設(shè)其中且,試問：（1）為何值時，？(2）為何值時，以，為鄰邊的平行四邊形面積為6？解（1）由可知當時，亦即

12、（2）據(jù)題意知 即解之得 題型 IV 證明題設(shè)，向取何值時，最小？并證明當最小時，解令，而，所以 令得惟一駐點，而，故是的唯一小值點，因此當時，最小，此時也最小當時，因為 ，故 三、習(xí)題選解（習(xí)題7-4）1設(shè)，求（1）及；（2）夾角的余弦.解 （1）， （2）2設(shè)在下列條件下求的值（1），（2）解 解 （1）要使 ，需 ， 解得 （2）要使 ，需 ， 解得 3設(shè)向量的模為4，與軸的夾角分別為、，求向量的坐標解 °4已知四點、，求（1）；（2）與、同時垂直的單位向量.解 由題意可知 ，(1)°，°= （2）取 ，則設(shè)為垂直于向量和，從而與、同時垂直的單位向量為

13、76;5 已知向量和計算（1）； （2）； （3）解 （1）= （2） （3）7 .設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點沿直線移動到點，計算重力所做的功.（長度單位為m）解 8已知，求的面積解 利用向量積的幾何意義知， 而， 故= 9求以與為兩鄰邊的平行四邊形的面積解 由向量積的幾何意義有=，而，故=10已知,且,的夾角為,求.解 設(shè)=.則，由題意可知 ， = ，即 ，所以 11求同時垂直于和軸的單位向量.解 設(shè)為軸上向量，則由向量積的定義可知，若，則同時垂直于和，且 顯然，與平行的單位向量應(yīng)是兩個方向相反的向量，它們是 °7.7 空間曲線及其方程一、主要內(nèi)容回顧表示的空間曲線及其方程空間曲

14、線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程其中為參數(shù)常用空間曲線螺旋線二、基本考試題型及配套例題題型I選擇題（1）空間曲線的方程是（ ）.A 惟一的； B 不惟一的； C 可能不惟一； D 不能確定.（2）方程組 表示 （ ）.A 橢球面； B 平面上的橢圓；C 橢圓柱面； D 空間曲線在平面上的投影. （3）方程 在空間直角坐標系下表示 （ ）. A 坐標原點； B 坐標面的原點； C 軸； D 坐標面. 解（1）選B.因為空間曲線的一般方程是，即任何兩個包含該曲線的曲面方程聯(lián)立，都可以表示該曲線的曲線方程，如曲線也可以用 或等表示.（2）選B.因為該方程組表示一個橢球面與平面的交線，即平面上的橢圓.（

15、3）選C.因為 等價于，而表示坐標面，表示坐標面，這兩個坐標面的交線即為軸.題型II解答題指出下列方程組在空間解析幾何中表示怎樣的曲線：（1）；（2）；（3）解（1）表示平行于坐標面的平面，表示平行于坐標面的平面，方程組表示過點平行于軸的一條直線.（2）表示以原點為球心，以4為半徑的球面；表示平行于坐標面的平面，方程組表示平面上的一個圓，圓心為，半徑為.（3）表示橢圓拋物面，表示過軸的平面，方程組表示平面上的一條拋物線.三、習(xí)題選解（習(xí)題7-7）2.指出下列方程組在平面解析幾何與在空間解析幾何中分別表示什么圖形：（1）； （2）解（1）在平面解析幾何中表示兩條直線的交點；在空間解析中表示兩平面

16、的交線. （2）在平面解析幾何中表示橢圓與其一切線的交點；在空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線.7.8 空間的直線及其方程一、主要內(nèi)容回顧空間直線方程空間直線的一般方程兩平面交線，L的方向向量為.空間直線的對稱式方程，其中為上一點， 為L的方向向量.空間直線的參數(shù)式方程，其中是參數(shù).空間兩直線間關(guān)系兩直線的方向向量的夾角（銳角）稱為兩直線的夾角.設(shè)兩直線與的方向向量分別為；（為與的夾角）.空間直線與平面間的關(guān)系直線與它在平面上的投影直線的夾角(),稱為直線與平面的夾角.設(shè)直線L的方向向量為，平面的法向量為，則；（為直線與平面的夾角）；.二、基本考試題型及配套例題題型I 填空題（1）過點

17、且與直線垂直的平面方程是 _.（2）已知兩條直線的方程分別是，則過L1且平行于L2的平面方程是 _.解（1）化參數(shù)方程為對稱方程：，則所求平面的法向量為 ，依點法式得， 即 （2）取上的點，取.則由點法式可得所求平面方程為 題型II 選擇題（1）設(shè)空間直線的對稱式方程為 則該直線必（ ）.A 過原點且垂直于軸； B 過原點且垂直于軸；C 過原點且垂直于軸； D 過原點且平行于軸.（2）設(shè)空間三直線的方程分別為,則必有（ ）.A ； B ； C ； D .解（1）選A.由題設(shè)知給定直線的方向向量為 ，軸的方向向量為 ，由，知，即直線垂直于軸.又因給定直線 就是平面與的交線，該直線顯然通過原點.綜

18、上所述，知所給直線過原點且垂直于軸（2）選.設(shè)直線的方向向量分別為，則有.因為,所以 .題型III 計算題寫出滿足下列各條件的直線方程：（1）經(jīng)過點且垂直于平面；（2）經(jīng)過點且平行于軸；（3）經(jīng)過點且平行于直線.解（1）因為所求直線垂直于平面 ，所以直線平行于所給平面法向量 ，故可取直線的方向向量為 ，于是所求直線方程為 .（2）因為直線平行于軸，所以直線的方向向量平行于單位向量，故可取，于是所求直線方程為.（3）因為已知直線的方向向量, 故所求直線的方向向量可以取為，于是所求直線方程為.題型IV 解答題（1）求直線 與平面的夾角.（2）直線 在平面上，試求的值.解（1）直線的方向向量，平面的

19、法向量由直線與平面所成角的公式得 （2）分析 要使直線在平面上，只要平行于，且有一個點在上即可.的方向向量 的法向量 ，由平行于，得，即.又為上的點，把此點的坐標代入的方程得,解得 .三、習(xí)題選解（習(xí)題7-8）1 求過點且平行于直線的直線方程解 因為所求的直線與平行，所以其方向向量為，故直線方程為 2 求過兩點和的直線方程解 是所求直線的方向向量，故所求直線方程為3 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解 令，則 得，從而得直線上的一點直線的方向向量可取為 于是對稱式方程為 ，參數(shù)式方程為 4 求過點且與直線垂直的平面的方程解 取則所求平面方程為 ，即 5 求直線與直線的夾角的余弦解 即兩直線垂直6

20、 求直線與平面間的夾角解 ，所以，故直線與平面夾角為7 求過點且與兩平面和平行的直線方程解 取，則所求直線方程為8 .求過點且通過直線的平面方程解 顯然點也在所求平面上.，取，則所求平面方程為 ，即 9 試確定下列各組中的直線和平面間的位置關(guān)系：(1)和；(2) 和；（3）和解 (1) ，顯然 ，且直線上的點不在平面上，因此直線與平面平行(2) ,顯然/，因此直線與平面垂直.(3) 顯然又直線上的點在平面上，所以直線在平面上10 求直線與平面的交點解由 得 ，將代入，得 ，將代入 得 所以交點為11 求過點而與兩直線和平行的平面方程解 ，從而所求平面方程為 ，即 12求點在平面上的投影點的坐標

21、解 過點而垂直于平面的直線方程為，解聯(lián)立方程 ， 得 ，則即為所求的投影點坐標13求點到直線的距離解 直線的方向向量為,在已知直線上取點，于是已知直線的方程為,其參數(shù)方程為 （1）過點作已知直線的垂直平面 ，其方程為 ,即 （2）將（1）式代入（2）式，得，即得 ，從而得點P向已知直線所作垂線的垂足坐標為，因此點P到已知直線的距離為14求點到平面的距離解 由點到平面 的距離公式得所求距離 15 設(shè)一平面垂直于平面,并通過從點到直線的垂線,求平面的方程解 設(shè)所求平面的法向量為，則，從而，于是可設(shè)平面方程為 過點垂直于直線的平面方程為 直線與平面的交點（垂足）為于是點和點均在上，即 ，從而，故所求平面方程為 本章測試題一、 填空題1. 已知,則向量在軸方向上的分向量為_2. 過點和的直線方程為_3. 設(shè)，且，則4. 設(shè)空間兩直線與相交于一點，則5. 已知向量與平行且方向相反，若，則6. 方程在空間直角坐標系中表示的曲面是_7. 平面與平面的夾角為_8. 平面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為_二、 選擇題1. 設(shè)為三個任意向量,則( )A ； B； C ； D .2. 曲面與的交線是 ( )A 拋物線； B