常見幾個(gè)函數(shù)不等式與其應(yīng)用

1、WORD格式常見的幾個(gè)函數(shù)不等式及其應(yīng)用*市教育科學(xué)研究院孔峰在近幾年的高考中，無論是國(guó)家考試中心的數(shù)學(xué)命題，還是一些獨(dú)立命題省市的數(shù)學(xué)命題，有一些函數(shù)不等式在命題中出現(xiàn)的頻率很高，它們?cè)诤瘮?shù)的性質(zhì)的應(yīng)用中和函數(shù)不等式的證明中發(fā)揮著很重要的作用，下面分別介紹這些函數(shù)不等式.一、函數(shù)不等式的介紹1xln(1x)x( x1)1x1x證明 ：令 f ( x)ln(1x)x ，那么 f(x)1.xx11當(dāng) 1 x0 時(shí)， f ( x)0 ；當(dāng)x0 時(shí)，f ( x) 0 .所以 f (x) 在x0時(shí)取得極大值，故f (x)f (0) 0 ，所以 ln( 1x)x( x1) .令xg (x)1(1x)xx

2、g (x)ln(1x)1x ，那么1 x(1x)2(1x) 2 .當(dāng) 1 x0 時(shí)， f ( x)0 ；當(dāng)x0 時(shí)，f ( x) 0 .所以 f (x) 在x0 時(shí)取得極小值，故g( x)g (0) 0，xln(1x)( x1).1 x綜上可知，xln(1x)x( x1) .1x變式 ： ln xx1(x0) ，ln x11( x0) .x 2 ln x1 ( x1)( x1)2xln x11x1)( x)( 02x1)2證明 ：令 f ( x)ln x1 (x1) ，那么f ( x)11 (11)( x0 .2xx2x22x所以函數(shù) f ( x) 在 ( 0,) 單調(diào)遞減.所以，當(dāng) x1 時(shí)

3、， f (x)f (1) 0 ；當(dāng) 0x 1 時(shí)， f ( x)f (1)0 .所以，不等式，成立 .變式 ： ln(1x)x( x0)x1專業(yè)資料整理WORD格式 3 ln x2( x1) ( x1)x1ln x2( x1)x1)x(01證明 ：令 f ( x)ln x2( x1) ，那么x1所以函數(shù) f ( x) 在 ( 0,) 單調(diào)遞增.當(dāng) x 1 時(shí)， f (x) f (1)0；當(dāng) 0所以，不等式，成立 .411111 (0ln 2ln(1 x)x2f( x1) 20.(x)1) 2x( xx1時(shí)， f (x) f (1) 0 .x1)專業(yè)資料整理WORD格式1 / 7專業(yè)資料整理WO

4、RD格式證明 ：令1111f ( x)ln(1x)x，那么 f( x)( x 1) ln 2 (1 x)x2 ，ln 2 (1x2ln( 1 x)xln( 1x)xx)x11x而 f ( x)1x，x2 ln 2 (1x)x2ln 2(1 x)由式 ln(1x)x( x0) 知，f ( x)0 ，x1所以 f (x) 在 0x1 上為減函數(shù)，f (x)11 .f (1)ln 2由式 ln x2(x1)(x1) 知111x)x.x1ln(12綜上可知，不等式成立 .x(11 x) 5 ln(1x)2( x0)x1x(11 x)x2證明 ：令 f ( x)ln(1x)x2，那么 f( x)1) 2

5、0.12(x故 f (x) f (0)0 .所以，不等式成立 .變式 ： ln(11)1(11)( x0)"x 2 x x 1利用上述類似構(gòu)造函數(shù)方法，還可以得到以下一些重要不等式：（ 6貝努尼不等式：當(dāng) x 1 時(shí)，(1x)1x(1,或0) ，"(1x)1x(01)" 7 ln(1 x)x1x2 ( x0)"2二、常見的函數(shù)不等的作用利用上述介紹的函數(shù)不等式，無論是去研究函數(shù)性質(zhì)，還是去證明函數(shù)不等式或證明數(shù)列不等式都會(huì)帶來許多便利 .下面分別聯(lián)系近幾年高考的命題進(jìn)展說明。 1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值或最值例 12021年*卷，

6、理 21函數(shù)f ( x)ln 2 (1x)x2.f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；1 x求函數(shù)假設(shè)不等式(11)ne 對(duì)任意的 nN 都成立，求的最大值 .n解：對(duì)f ( x) 求導(dǎo)數(shù)，得f ( x)2 ln(1x)12x(1x)x21x(1x)2211( x 11) .ln(x)11 x2x由不等式 ln x1( x1 )( x1) ， ln x1(x1)(0x1)可知：2x2x當(dāng) x0時(shí)，1x1，有 ln(1x)1(x 11) ， f (x)0；21x當(dāng) 1x 0 時(shí)， 01x 1，有l(wèi)n(1x)1(x11) ， f (x) 0 .21x專業(yè)資料整理WORD格式2 / 7專業(yè)資料整理WORD格式因

7、此，當(dāng) x0時(shí)， f ( x) 為減函數(shù)；當(dāng)1x0 時(shí)， f ( x) 為增函數(shù) .由 (11 )ne 可知，(n) ln(11 )1 ，所以1n .1nnln(1)n記 1t (0,1 ，那么11， t( 0,1 .nln(1t )t由不等式111x)11 (0x1) ，可知1111 ，ln 2ln(1x2ln(1 t)tln 211 .ln 21所以，的最大值為1 .ln 2 2利用常用不等式求參數(shù)的取值X圍例 2 2021年全國(guó)卷，理22設(shè) f ( x)1e x .證明：x1 時(shí)， f (x)x；x1設(shè) x0 時(shí)，f ( x)x，求 a 的取值X圍 .ax1解：利用分析法，結(jié)合式xln(

8、1x) x( x1) 可以證明 .1x1x在 x0時(shí)恒成立，因?yàn)?0 1axex1所以 ax10 在x 0時(shí)恒成立，那么a 0.另一方面，由01x，得ae x11.令 e xexax1ex1xt ，由x0 知t 1 .at1(t 1) .t1ln t專業(yè)資料整理WORD格式由不等式 ln x所以 t1 時(shí)，tt又由導(dǎo)數(shù)定義可知2(x1) ( x1) 可知 ln t2(t1) (t 1) ，x1t11tt11 .1 ln tt1 2(t1)2lim ln t1 ，t1 t1專業(yè)資料整理WORD格式所以 lim(t1) ln t2 ，故t111 .t 1t1tln t2綜上，所求 a 的取值X圍為

9、 0,1 .2例 3 2021年*卷，理22常數(shù)a 0， f ( x)ln(1ax)2x .討論f ( x) 在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)性；x2假設(shè) f ( x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且 f (x1 )f ( x2 )0 ，求 a 的取值X圍 .解： f(x)a4ax24(1a )1 ax( x 2)2(1ax)( x2)2 .因?yàn)?(1ax)( x2)20 ，所以當(dāng) 1a0，即 a1 時(shí)， f ( x)0 恒成立，那么函數(shù) f (x)在區(qū)間 (0,) 上單調(diào)遞增 .專業(yè)資料整理WORD格式3 / 7專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) 0 a1 時(shí)，由 f (x)0 ，得 x2 a(1 a).那么

10、函數(shù) f (x) 在區(qū)間 (0,2 a (1a) ) 單aa調(diào)遞減，在 (2 a(1a) ,) 單調(diào)遞增 .a由知，0a1 時(shí)才可能出現(xiàn)兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2，且x1 x20 ， x1x24(a1) .a2x12 x2而 f (x1)f ( x2 )ln(1 ax1)ln(1ax2 )x1 2x22l n1a( x1x2 )2x1x24( x1 x24)4a2(x1x2 )x1 x24專業(yè)資料整理WORD格式ln( 2a1)2222a12(ln | 2a 1|1，此時(shí) 12a1)2a111(x 0) 可知：由不等式 ln xx要使 f ( x1)f(x2 )0 恒成立，必需02a1所以，所求

11、a 的取值X圍為(,1) .11 .1 1，從而1a 1 .2專業(yè)資料整理WORD格式 3利用常見不等式比較大小例 4 2021年*卷，理21函數(shù)f ( x)ex， xR .( ) 假設(shè)直線 ykx1 與 f ( x) 的反函數(shù)的圖像相切，*數(shù)k 的值；( ) 設(shè)x0 ，討論曲線yf (x)與曲線 ymx2 ( m0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；( ) 設(shè)ab ，比較f (a)f (b) 與 f (b)f (a)的大小，并說明理由 .2ba解：()f ( x) 的反函數(shù)g ( x)ln x .設(shè)直線 ykx1 與g( x)ln x 相切與點(diǎn)(x0, ln x0)，ln x0kx01,e 2 .那么 k g

12、( x)1,解之得 k0x0( ) 由 e xmx2，得 mexx2 .令 g (x)exex ( x 2).x2，那么 g ( x)x32 時(shí)，g ( x) 0 .當(dāng) 0 x2 時(shí)，g ( x)0 ；當(dāng)x所以 x 2 是極小值點(diǎn).從而可知，在 me2時(shí)無交點(diǎn)；在 me2時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)；在 me2時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn) .444() 記Mf ( a)2f (b)f (b)f (a )eaebebea，令 bat 0 ，ba2baeaebebeaeaea tea tea那么 M2ba2tea (1 etet1 )ea et (t 2) (t2) .2t2t專業(yè)資料整理WORD格式4 / 7專業(yè)資料整理WOR

13、D格式再令 h (t )et (t2)(t2), t0，在 t2時(shí)，可知 h(t)0 .在 0t2 時(shí)，可證明 et2t .2t事實(shí)上，令 t2t，那么 t1 ，且tt1.2t2t1只需證 2(t1)ln t (t1) .t1而由常見不等式ln x2( x1) ( x1) 可知上式恒成立 .et (tx1從而 h (t)2)(t2) 0 在 t0 時(shí)恒成立 .所以 M0，即 f (a) f (b)f (b)f (a) .2ba 4利用常用不等式研究存在性問題例 52021年*卷，文22設(shè)函數(shù)f ( x)x1a ln x(a R ) .討論f ( x) 的單調(diào)性；x假設(shè)f ( x) 有兩個(gè)極值點(diǎn)

14、x1和 x2，記過點(diǎn) A( x1 , f ( x1) ， B( x2 , f ( x2 ) 的直線的斜率為 k ，問：是否存在a ，使得k2a ？假設(shè)存在，求出a 的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解： f ( x) 的定義域?yàn)?(0,) .f'( x) 11ax2ax1x2xx2專業(yè)資料整理WORD格式令 g ( x)當(dāng) 2當(dāng) ax2ax1 ，其判別式a24 .a 2 時(shí)，0 ， f ( x)0 ，故 f (x) 在 (0,) 上單調(diào)遞增2 時(shí)，而x0 ，有f (x)0 ，故 f ( x) 在 ( 0,) 上單調(diào)遞增專業(yè)資料整理WORD格式當(dāng) a 2時(shí)，0 ， x2ax 10 的兩根為 x

15、aa 24， x2aa24122.故 f (x) 在 (0, x1) 上單調(diào)遞增，在( x1, x2 ) 上單調(diào)遞減，在( x2 , ) 上單調(diào)遞增 .由知， a2 ，且xx2a ， x x2111專業(yè)資料整理WORD格式f ( x1) f ( x2 ) ( x1x2 )x1x2x1x2因?yàn)樗?kf (x1)f ( x2 )11a ln x1x1x2x1 x2x1假設(shè)存在 a ，使得k 2a ，那么ln x1ln x2x1x2而 x1 x21，所以 2 ln x2x21.x2a(ln x1ln x2 )，ln x22 a ln x1ln x2x2x1x21.專業(yè)資料整理WORD格式由不等式

16、ln x1 ( x 1)( x 1)可知上式不可能成立，2 x故不存在 a ，使得k 2 a .（ 5利用常用不等式證明不等式例 6 2021年全國(guó)大綱卷，理22函數(shù) f (x) ln(1 x)x(1xx) .假設(shè) x 0 時(shí)，f ( x) 0，求1的最小值；設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng) a 1111，證明： aan1ln 2 .n23n2 n4n專業(yè)資料整理WORD格式5 / 7專業(yè)資料整理WORD格式解：由f (0)0 ， f( x)(12) xx2， f(0)0.(1x) 2假設(shè)1 ，那么當(dāng)0x2(12) 時(shí)， f (x)0 ，所以 f ( x)0.2假設(shè)1，那么當(dāng) x0時(shí)， f( x)0，所以

17、 f ( x)0 .2綜上，的最小值是1 .21 x)x(11 ，有由不等式ln(1x)x2( x0) ，令 x1nln(11 )1 ( 1n1) .n2n1于是 ln( n1)ln n1 ( 11) ，2 nn1ln( n2)ln( n1)1 (111) ，2nn2ln( 2n)ln( 2n111)，1)(12 2 n2n以上各式相加，得ln 2n ln n ( 111 )1aan1 .nn22n4n2 n4n所以 a2na1ln 2 .n4n例 72021全國(guó)卷，理21函數(shù)f ( x) ( x 2)exa( x1)2有兩個(gè)零點(diǎn) .求 a 的取值X圍；設(shè) x1， x2是 f ( x) 的兩個(gè)

18、零點(diǎn)，證明：x1x22 .解： 令 x1t ，那么 xt1 .因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) ( xxa( x2有兩個(gè)零點(diǎn)，2) e1)所以 g (t )(t1)et1at 2有兩個(gè)零點(diǎn)，而 t0 ，所以 a(1t) et1e(t 2t1) et.t 2記 m(t )e(t2t 1 )et，那么 m(t)e(2t3t2 )et(t2t1 )et 2 t 2et 1.t 3列表如下：t(,0)0( 0,)m (t )+不存在m(t)0而 h(1)0 ，所以，當(dāng) a0 時(shí)，g (t )有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)t10 ，另一個(gè)零點(diǎn)t0.2專業(yè)資料整理WORD格式6 / 7專業(yè)資料整理WORD格式綜上， a 的取值X圍為 (0,) 由 可 知 a0 時(shí) ，g (t)有 兩 個(gè) 零 點(diǎn)t1和t2， 其 中 t1 x11 0 ，t 2 x2 10，(1 t )et11(1 t)et 2 1即存在 t10 ， t 20 使得 a12m( t1 )22m(t2 ) .t1t2下面證明 t1t 20 .記 m(t )(1 t) et 1，那么 m(t )(1 t )e t 1t ) m(t ) 在 t0 時(shí)恒成t2t2，先證明不等式 m