變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)

1、第四章 變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)本章介紹變形體力學(xué)的基礎(chǔ)知識，包括變形體力學(xué)的基本假設(shè)、分析桿件內(nèi)力的截面法、應(yīng)力和應(yīng)變的初步概念以及單向胡克定律，最后還將討論材料的力學(xué)性能。4.1 變形體的基本概念 變形組成機械的零件和構(gòu)成結(jié)構(gòu)的元件，統(tǒng)稱構(gòu)件。制作構(gòu)件所用的材料多種多樣，其共同點是在受力后構(gòu)件的形狀和尺寸會產(chǎn)生改變，這種變化稱為變形。在外力作用下會發(fā)生變形的固體稱為變形體。在理論力學(xué)討論的剛體模型，實際上是變形很小時的理想模型。在外力撤去后，變形體的變形完全消失，變形體能恢復(fù)到未變形狀態(tài)，則該變形稱為彈性變形，變形體是處于彈性狀態(tài)，或變形體是彈性體；而卸載后在變形體內(nèi)遺留的或不能恢復(fù)的變形稱為塑性

2、變形。相對于構(gòu)件尺寸，變形按大小可分為小變形和大變形。對小變形構(gòu)件可不考慮變形對構(gòu)件尺寸的影響，仍按構(gòu)件的原始尺寸進行分析計算，從而使分析計算得到很大的簡化。本書只研究變形體在彈性狀態(tài)下的小變形問題。根據(jù)工程實踐的要求，在對構(gòu)件進行設(shè)計時要考慮以下三方面的要求：1.構(gòu)件應(yīng)具有足夠的抵抗破壞的能力，即強度，以保證在規(guī)定的使用條件下不發(fā)生破壞或產(chǎn)生塑性變形。2.構(gòu)件應(yīng)具備足夠的抵抗變形的能力，即剛度，以保證在規(guī)定的使用條件下不產(chǎn)生過度的變形。3.構(gòu)件應(yīng)具備足夠的保持原有平衡形式的能力，即穩(wěn)定性，以保證在規(guī)定的使用條件下不產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。 基本假設(shè)就其具體組成和微觀結(jié)構(gòu)來看，變形體是一個非常復(fù)雜的研究

3、對象。若只從宏觀的角度研究物體內(nèi)部的受力和變形規(guī)律，對材料的性質(zhì)的屬性作出了若干簡化假設(shè)。實踐表明，這些假設(shè)能滿足工程實際的需要。1.連續(xù)性假設(shè)根據(jù)物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論，固體是由不連續(xù)的粒子構(gòu)成的。粒子之間的空隙與構(gòu)件的尺寸相比極其微小，可以忽略不計，因此，認為構(gòu)件的整個體積內(nèi)毫無空隙地充滿了物質(zhì)，即連續(xù)性假設(shè)。這樣，物體內(nèi)諸如位移、溫度、密度等物理量可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示，并可采用無限小的分析方法。2.均勻性假設(shè)雖然組成固體的粒子，彼此的物理性質(zhì)并不完全相同，但因構(gòu)件的任一部分都包含為數(shù)極多的微小粒子，而且無規(guī)則地排列著，從統(tǒng)計平均的角度看，同一材料所組成的構(gòu)件，各處的物理性質(zhì)完全相同。因此，認為

4、構(gòu)件內(nèi)任取一部分，不論其體積大小如何，其力學(xué)性能完全相同，即均勻性假設(shè)。3.各向同性假設(shè)材料沿不同方向上的力學(xué)性能都相同，稱為各向同性；沿不同方向的力學(xué)性能不同，稱為各向異性。絕大多數(shù)材料，如金屬、工程塑料、攪拌均勻的混凝土等，都可視作各向同性材料。例如，金屬從微觀上看是多晶體材料，單個晶體是各向異性的，但由于各晶體是隨機排列的，在宏觀上表現(xiàn)為各向同性。 桿件變形的基本形式桿 板圖41 桿和板構(gòu)件的形狀是各種各樣的，按照其幾何特征可大致分為三類。一個方向的尺寸遠大于其它兩個方向的尺寸的構(gòu)件稱為桿件。一個方向的尺寸遠小于其它兩個方向的尺寸的構(gòu)件稱為板件；平分板件厚度的幾何面稱為中面，中面為平面的

5、板件稱為板，中面為曲面的板件成為殼。如圖41所示。若構(gòu)件三個方向的尺寸都相當(dāng)，則稱為塊體。桿件是工程實際中最常見、最基本的構(gòu)件。在桿件上某處的所有截面中，面積最小的截面稱為桿件的橫截面。若桿件各處橫截面都相同，則稱為等截面桿，反之為變截面桿。橫截面形心的連線稱為桿件的軸線。軸線為直線的桿件為直桿，反之為曲桿。顯然，軸線和橫截面正交，如圖42所示圖42 桿的橫截面與軸線 圖43 桿的基本變形作用在桿件上的外力是多種多樣的，所以，桿件的變形也是多種多樣的。但分析后發(fā)現(xiàn)，桿件的基本變形形式有三種：軸向拉伸或軸向壓縮、扭轉(zhuǎn)和彎曲。如圖43所示在力學(xué)中，將以桿件主要研究對象的學(xué)科分支稱為材料力學(xué)。4.2

6、 內(nèi)力和截面法為了研究桿件在外力作用下的變形，首先需要了解桿件內(nèi)部的受力情況。 內(nèi)力和截面法圖44 截面法構(gòu)件內(nèi)部各質(zhì)點之間存在著相互作用力，這種相互作用力使構(gòu)件保持一定的形狀。構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生變形，同時也引起內(nèi)部各質(zhì)點間相互作用力的改變。內(nèi)力是指桿件內(nèi)部兩相鄰部分之間的相互作用力。內(nèi)力是由于外力(或其它外部因素)作用而引起物體內(nèi)部作用力的改變量。嚴(yán)格地說，它是由外部因素所引起的附加內(nèi)力。構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性與內(nèi)力的大小及其在構(gòu)件內(nèi)的分布方式密切相關(guān)。所以，內(nèi)力分析是解決構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性問題的基礎(chǔ)。與理論力學(xué)里通過取分離體對物體進行受力分析的方法類似，分析構(gòu)件的內(nèi)力需采用截面法。

7、如圖44(a)，截面假想地將該構(gòu)件切開，即解除它們間的相互約束，相應(yīng)的內(nèi)力即顯示出來。由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開面上連續(xù)分布力，如圖44(b)。利用任一部分的平衡條件，便可確定其主矢和主矩的大小和方向。 內(nèi)力分量為研究方便起見，如圖44(c)，以橫截面形心為坐標(biāo)原點，以桿件軸線為軸，橫截面即為平面，建立右手系。將內(nèi)力向點簡化，并將得到的主矢和主矩沿坐標(biāo)軸分解，得到六個內(nèi)力分量：主矢分量、和；主矩分量、和。單個內(nèi)力分量將使桿件產(chǎn)生某一基本變形，如圖45，分別敘述如下。軸力沿桿件軸線，使桿件產(chǎn)生軸向伸長或縮短；使桿件受拉的軸力為正，反之為負，如圖45(a)。剪力、的在橫截面內(nèi)，使桿件的相鄰

8、橫截面產(chǎn)生相對錯動；當(dāng)剪力相對于橫截面的轉(zhuǎn)向為順時針時即為正，反之為負，如圖45(b)。彎矩、分別沿軸和軸，使桿件軸線變彎曲；使桿件發(fā)生上凹下凸的彎曲變形的彎矩即為正，反之為負, 如圖45(c)。圖45 內(nèi)力分量與基本變形扭矩沿桿件軸線，使橫截面繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)的趨勢；當(dāng)扭矩矢量的方向與橫截面的外法線方向一致時即為正，反之為負，如圖45(d)。例41：一等直桿承受軸向載荷如圖46所示，試求、截面上的內(nèi)力分量。圖46 例41圖解：將桿沿截面假想截開，并取截面左邊為研究對象。顯然，截面上只有軸力分量。設(shè)該截面上的軸力為，假設(shè)為正，由平衡方程 得同法，將桿沿截面假想截開，取截面右邊為研究對象，得該截

9、面上的軸力顯然，無論選擇切開后的哪一段作為研究對象，計算結(jié)果都相同。綜上所述，應(yīng)用截面法計算桿件的內(nèi)力的步驟可總結(jié)如下1.在需求內(nèi)力的橫截面處，將桿件假想地切斷，并任選一段為研究對象；2.畫出所選桿段的受力圖，為計算方便，可將所有的內(nèi)力分量設(shè)為正值；3.建立所選桿段的平衡方程，由已知外載荷計算所切截面上的內(nèi)力。 內(nèi)力的圖示若橫截面的位置以平行于桿件軸線的坐標(biāo)來表示，則可將內(nèi)力表示成的函數(shù)，稱為內(nèi)力方程；同時，用垂直于桿件軸線的坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上內(nèi)力的數(shù)值，由此繪出的圖線稱為內(nèi)力圖，如軸力圖、剪力圖、彎矩圖和扭矩形圖。例42：如圖47(a)，一簡支梁受集中力的作用，試求梁的剪力方程和彎矩方程，并

10、作出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。圖47 例42圖解：梁的約束力易由平衡條件求出以梁的左端為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系。由于梁上存在著集中載荷，因此應(yīng)分為兩段考慮。如圖47(b)，在段內(nèi)取位置為的任意截面，可得段的剪力和彎矩方程為 同法可求出段內(nèi)的剪力和彎矩方程，如圖47(c)， 根據(jù)剪力和彎矩方程繪制出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖，如圖47(d)和(e)所示。例43：如圖48(a)，簡支梁受集度為的均布載荷，試列出內(nèi)力方程并作出內(nèi)力圖。圖48 例43圖解：由平衡條件易求得梁的約束力取距梁左端為的任一截面，由截面法，其剪力和彎矩方程分別為剪力圖和彎矩圖如圖49(b)和(c)所示。從例42和例43的剪力圖中看到。在橫向

11、集中載荷作用處，即例42中的點和例43中的、點，剪力圖發(fā)生突變，其突變量等于橫向集中載荷的數(shù)值。容易驗證，只要有集中載荷作用在桿件上，相應(yīng)的內(nèi)力圖上就會有突變點。4.3 應(yīng)力、應(yīng)變及簡單胡克定律應(yīng)力和應(yīng)變是變形體力學(xué)中最重要的兩個基本概念。應(yīng)力刻畫了截面上任一點處內(nèi)力的強弱程度，應(yīng)變則描述了構(gòu)件內(nèi)一點在不同方向上的變形程度。對于大多數(shù)材料，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在線性關(guān)系。 應(yīng)力圖49 應(yīng)力如圖49(a)所示，在截面上任一點的周圍取微小面積，設(shè)作用在上的內(nèi)力為。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，當(dāng)趨近零時，與的比值應(yīng)存在一極限，該極限值稱為截面上點處的應(yīng)力或總應(yīng)力，即 (41)截面上一點處的應(yīng)力是一個矢量，為分析方便

12、，將應(yīng)力沿截面的法向和切向分解成兩個分量和，如圖49(b)所示。沿截面法向的分量稱為正應(yīng)力，沿截面切向的應(yīng)力分量稱為切應(yīng)力。圖410 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理指出：作用在相互垂直平面上的切應(yīng)力大小相等，且都指向或背離兩相互垂直平面的交線。如圖410，在物體內(nèi)某點處截取一微小正六面體，其中垂直于軸的平面上作用有正應(yīng)力和切應(yīng)力，垂直于軸的平面上有正應(yīng)力和。根據(jù)切應(yīng)力互等定理在國際單位中，應(yīng)力的基本單位是(牛頓/米2)，其代號為(帕斯卡，帕)，應(yīng)力的常用單位為(兆牛頓/米2，兆帕)和(牛頓/毫米2)，這些單位之間的關(guān)系為構(gòu)件內(nèi)的任意點沿不同的截面具有不同的應(yīng)力，一般隨著截面的方位不同而變化。一點

13、處各個截面上應(yīng)力的集合，統(tǒng)稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。 應(yīng)變圖411 應(yīng)變物體在受到外力作用而產(chǎn)生變形時，通常內(nèi)部各點的變形程度并不相同。為了研究物體內(nèi)某點處的變形，如圖411(a)，設(shè)想圍繞該點截取一微小的正方體，受力變形后，微體各棱邊的長度將發(fā)生改變。例如，平行于軸的棱邊原長為，變形之后長度為，如圖411。為上的總變形量，為精確描述點處的變形程度，定義極限值 (42)為點處沿方向的線應(yīng)變或正應(yīng)變，它表示在點處每單位長的伸長或縮短。線應(yīng)變是無量綱的量。另一方面，微體變形之后，原來相互垂直的各棱邊之間的直角也要發(fā)生改變，如圖411。直角的改變量稱為切應(yīng)變，用表示。例如，、方向直角的改變量，即剪應(yīng)變，用

14、來表示。切應(yīng)變用弧度表示，也是無量綱的量。一般來說，構(gòu)件內(nèi)任一點處沿不同方向線應(yīng)變的大小、任意兩正交線段的剪應(yīng)變的大小都是不相同的。構(gòu)件內(nèi)任一點所有線應(yīng)變和剪應(yīng)變的集合，統(tǒng)稱為該點的應(yīng)變狀態(tài)。 胡克定律圖412 胡克定律對于由特定材料制成的構(gòu)件受力變形后，應(yīng)力和應(yīng)變之間呈現(xiàn)出確定的函數(shù)關(guān)系，這是由材料本身性質(zhì)所確定的，稱為材料的本構(gòu)關(guān)系。對于工程中常用的材料，材料的力學(xué)性能實驗表明，當(dāng)應(yīng)力不超過某一限度時，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在正比關(guān)系，這一關(guān)系也稱為胡克定律。圖412(a)表示單向(單軸)應(yīng)力狀態(tài)，單向拉伸(壓縮)情況下的胡克定律為 (43)其中正比系數(shù)稱為彈性模量或楊氏模量。圖412(b)表示

15、純剪切應(yīng)力狀態(tài)，這種應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律為 (44)其中正比系數(shù)稱為剪切模量。和的量綱與應(yīng)力的量綱相同，單位是或()，其具體數(shù)值可通過材料力學(xué)性能實驗測定。滿足胡克定律的材料稱為線彈性材料。線彈性材料的力學(xué)性能由和完全確定。對于和存在如下關(guān)系 (45)其中，稱為材料的橫向收縮系數(shù)或泊松比，也是線彈性材料的物性參數(shù)。在實際應(yīng)用中，通常使用和來描述材料性質(zhì)。4.4 材料的力學(xué)性能材料在外力作用下表現(xiàn)出的與變形和破壞有關(guān)的特性，稱為材料力學(xué)性能。材料力學(xué)性能由試驗測定。此處討論低碳鋼在軸向靜載荷作用下的力學(xué)性能。 拉伸試驗和應(yīng)力應(yīng)變曲線圖413 標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件拉伸實驗是研究材料力學(xué)性能最常用、最基本的

16、試驗。常用的標(biāo)準(zhǔn)拉伸試件如圖413所示。根據(jù)GB22887金屬拉力試驗法，對于試驗段直徑為的圓截面試件，標(biāo)距或；對于試驗段橫截面面積為的矩形截面試件，則規(guī)定或。圖414 低碳鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線 圖416 頸縮圖415 滑移線將試樣安裝在材料試驗機上，緩慢加載，同時測定并記錄試樣的受力和標(biāo)距內(nèi)的變形。試驗一直進行到試件斷裂為止。為消除試件尺寸對試驗數(shù)據(jù)的影響，試件載荷和變形分別除以試樣的初始橫截面和標(biāo)距，便得到材料拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線，即曲線，如圖414所示。 低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能低碳鋼是工程中應(yīng)用最廣泛的金屬材料，同時，它在拉伸時所體現(xiàn)的力學(xué)性能也比較典型。因此首先研究低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性

17、能為主，討論其力學(xué)性能。圖414即為低碳鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線，從圖中可看出，整個拉伸過程大致可分為以下四個階段。1 彈性階段在應(yīng)力應(yīng)變曲線的段，材料只產(chǎn)生彈性變形，即當(dāng)試件上載荷卸除后，變形可完全恢復(fù)。只引起彈性變形的最高應(yīng)力值稱為彈性極限，用表示。低碳鋼在彈性階段的段內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變呈正比關(guān)系，即符合式(43)所表達的胡克定律。而彈性模量即為直線的斜率。而點所對應(yīng)的應(yīng)力稱為比例極限。實際上低碳鋼的彈性極限和比例極限十分接近，可以認為，對低碳鋼來說，2 屈服階段在超過彈性極限到達點以后，應(yīng)力只在很小的范圍內(nèi)波動或幾乎不變，但變形卻急劇增長，這種現(xiàn)象稱為屈服或流動。如果試件表面比較光滑，則當(dāng)材料屈服時

18、，試件表面將出現(xiàn)與軸線約成的條紋，稱為滑移線，它是金屬材料屈服時晶格發(fā)生錯動的結(jié)果，如圖415所示。屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服點和下屈服點。下屈服點比較穩(wěn)定，通常以下屈服點作為材料的屈服應(yīng)力，用表示。材料在屈服階段，會引起顯著的塑性變形，將會影響到構(gòu)件的正常使用。所以屈服應(yīng)力是衡量材料強度的重要指標(biāo)。3 強化階段經(jīng)過屈服階段以后，材料又增強了抵抗變形的能力。要使材料繼續(xù)變形需增大載荷，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強化階段的最高點所以對應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的強度極限或抗拉強度，用表示。強度極限是材料所能承受的最大正應(yīng)力，是衡量材料強度的另一重要指標(biāo)。4 局部變形階段從點開始，在試件的

19、某一局部范圍內(nèi)，橫截面顯著縮小，產(chǎn)生所謂頸縮現(xiàn)象。頸縮現(xiàn)象出現(xiàn)后，變形主要集中在細頸附近的局部進行，同時試件所能承受的載荷迅速減小，最后導(dǎo)致試件斷裂。試件拉斷后，試驗段的殘余變形相對于標(biāo)距的百分比，稱為材料的延伸率。延伸率是衡量材料塑性的重要指標(biāo)。低碳鋼的延伸率。通常將延伸率的材料稱為塑性材料，如結(jié)構(gòu)鋼、硬鋁等；反之為脆性材料，如高碳工具鋼、鑄鐵等。衡量材料塑性的另一重要指標(biāo)是斷面收縮率，它是試件斷裂后減少的橫截面積相對于試件原始橫截面積的百分比。低碳鋼的斷面收縮率 其它材料在拉伸時的力學(xué)性能圖417 常用材料拉伸曲線 圖418 名義屈服應(yīng)力 圖419 鑄鐵拉伸曲線圖417是一些常用塑性材料在拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線。它們斷裂時都具有較大的殘余變形。不同的是，有些塑性材料，如、和等，沒有明顯的屈服階段。對于此類塑性材料，工程中常以卸在載后產(chǎn)生塑性應(yīng)變的應(yīng)力值作為屈服應(yīng)力，此應(yīng)力稱為條件屈服應(yīng)力或