向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析1.新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀分析向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景，是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁,是重要的數(shù)學(xué)模型。在本模塊的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)探索和解決問題。在相應(yīng)的內(nèi)容中可以插入數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。2. 在整個(gè)高中教材中的地位和作用。向量，具有“數(shù)”與“行”的雙重身份，是處理問題的一種工具，作用非常大，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。3. 本章節(jié)地位、本節(jié)的邏輯關(guān)系。向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義位于人教版必修42.2.3節(jié)，在本章節(jié)中起著承前起后的作用。學(xué)生在掌握向量加法、減法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算已無多大困難。通過前面學(xué)

2、習(xí)兩個(gè)向量的運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為數(shù)與向量的聯(lián)系，是后面學(xué)習(xí)平面向量基本定理的基礎(chǔ)。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律,理解向量共線定理。難點(diǎn)：向量共線定理的探究及其應(yīng)用。（二）三維目標(biāo)設(shè)計(jì)1.知識與技能: 通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問題。2.過程與方法:理解掌握向量共線定理及其證明過程，會(huì)根據(jù)向量共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線。3.態(tài)度情感與價(jià)值觀：通過由實(shí)例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識形成的過程的能力，合作釋疑過程中合作交流的能力。

3、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，勇于創(chuàng)新的精神。（三）教情學(xué)情分析本節(jié)課是為高一8班的數(shù)學(xué)教學(xué)而設(shè)計(jì)的，因?yàn)槲胰谓痰氖歉呷詫Ρ景嗉壍囊恍┣闆r缺乏了解。通過與任課教師以及所在班學(xué)生的交流得知，前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)完向量的加減運(yùn)算，學(xué)生具備一定的獨(dú)立思考，合作釋疑的能力。因此，本節(jié)課采用“探究釋疑”的授課方式，既能充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，又能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的。 （四）教學(xué)預(yù)設(shè)前制定的預(yù)習(xí)提綱一、基本知識點(diǎn)1.一般地，我們規(guī)定 ，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 ，它的長度和方向規(guī)定如下：（1） （2） 2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律：（1） （結(jié)合律） （2） (第

4、一分配率) （3） （第二分配率） 3.向量共線定理 二、三基自測1.計(jì)算 5（3-2）+4（2-3）= 2.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，若 = +，=2+8，3（-） 求證：A、B、D三點(diǎn)共線。 （五）教學(xué)策略通過探究、啟發(fā)、當(dāng)堂訓(xùn)練的教學(xué)程序，采用啟發(fā)式講解、互動(dòng)式討論、反饋式評價(jià)的授課方式，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和分析解決問題的能力，借助多媒體輔助教學(xué)，達(dá)到增加課堂效率的目的，營造生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氛圍。三、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)課題：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義課型：復(fù)習(xí)課 教法：探究釋疑和多媒體輔助教學(xué)的方法教具：多媒體及課件輔助教學(xué)【教學(xué)程序】復(fù)習(xí)向量的加減法探究數(shù)乘向量的定義探究數(shù)乘向量的運(yùn)算律探究向

5、量共線定理例題與練習(xí)【教學(xué)過程】（一）引入1.復(fù)習(xí)向量的加法、減法，（溫故而知新），采用提問的形式。問題1：向量加法的運(yùn)算法則？問題2：向量減法的幾何意義？學(xué)生回答完畢后，教師通過多媒體上的圖像讓學(xué)生更直觀感受。 向量的加法：三角形法則（首尾相連）和平行四邊形法則（共起點(diǎn)）。向量的減法：， 則 。（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)）。2.問題情境 ：一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)過1s的位移對應(yīng)的向量用表示，那么在同方向上經(jīng)過3s的位移所對應(yīng)的向量可用 來表示。這是何種運(yùn)算的結(jié)果？啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系3.【探究1】已知非零向量，作出和，你能說處他們的幾何意義嗎？問題

6、1：相加后，和的長度和方向有什么變化？問題2：這些變化與哪些因素有關(guān)？將學(xué)生分成兩組，第一組：；第二組：。讓學(xué)生在白紙上作出圖像，并討論兩個(gè)問題。最后學(xué)生之間互相交流，總結(jié)結(jié)論。生：與方向相同且；生：與方向相反且?guī)煟悍浅：?！教師通過多媒體，看長度和方向的圖像變化形式。（二）新課講解1.實(shí)數(shù)與向量的積的定義請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實(shí)數(shù)與向量的積？啟發(fā)學(xué)生從以下角度思考：是向量？長度？方向？根據(jù)學(xué)生總結(jié)，讓學(xué)生看大屏幕。一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作： ，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0

7、時(shí)，的方向與的方向相反。由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，2.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律【探究2】問題一：求作向量和(為非零向量)，并進(jìn)行比較。問題二：已知向量、，求作向量和，并進(jìn)行比較。（將全班劃分為2個(gè)小組，組內(nèi)同學(xué)展開討論，提出方法并自主探究。教師在學(xué)生中進(jìn)行巡視，了解學(xué)生的進(jìn)展情況，并適時(shí)加以引導(dǎo)。在整個(gè)過程中，同學(xué)們都能積極思考問題，參與的熱情很高。）師：鼓勵(lì)學(xué)生踴躍回答生：結(jié)論： ， 生：類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則有：結(jié)合律： 第一分配律：第二分配律： 為了降低難度，教科書不要求對三個(gè)運(yùn)算律作出證明，只要求學(xué)生會(huì)用。小注：實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加

8、減運(yùn)算。例1：計(jì)算(口答) (1) (2) (3) 設(shè)計(jì)意圖：要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律。教學(xué)中，不能讓學(xué)生將本題簡單地看作字母的代數(shù)運(yùn)算，可以讓他們在代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)說出其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn)。解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= 剖析：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算。對于任意向量、及任意實(shí)數(shù)、,恒有。3、向量共線定理思考：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？生：數(shù)乘向量與原向量是共線的 ?！咎骄?】問題1：如果 (), 那么，向量與是否共線？問題2: 與非零向量共線， 那么， ？（學(xué)生分成兩組，各選一問進(jìn)行研究，然后同

9、學(xué)之間相互交流，最后提升結(jié)論。教師巡視，適時(shí)加以引導(dǎo)，了解學(xué)生進(jìn)展情況）生：對于向量()、，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 , 那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量與共線。生：若向量與共線，且向量的長度是的長度的倍，即有,當(dāng)與同方向時(shí)，有;當(dāng)與反方向時(shí)，有，所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)，使。師：如果沒有的限制，會(huì)有什么結(jié)果？（學(xué)生驚訝，沒有限制會(huì)怎么樣呢？馬上進(jìn)入思考狀態(tài)。）生：問題1成立。與任意向量都是共線向量。生：問題2不成立。向量共線定理 ： 向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 評析：1.讓學(xué)生正確理解定理包含的兩層意思。也就是將來我們在選修中學(xué)到的充要條件。2.讓學(xué)生自己先體驗(yàn)；若無此限制，會(huì)有什么

10、結(jié)果？再感悟到只有用非零向量 ，才能表示與它共線的所有向量。3.通過分組討論后，集同學(xué)們的勞動(dòng)成果、智慧于一體，彼此之間再進(jìn)行交流，充分體現(xiàn)了“眾人拾柴火焰高”。例2.已知任意兩非零向量、，試作, ，。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？設(shè)計(jì)意圖：利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法，這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法。教學(xué)中可以先讓學(xué)生作圖，通過觀察圖形得到A、B、C三點(diǎn)共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線，本題主要引導(dǎo)學(xué)生理清思路，具體過程可由學(xué)生完成。解：作圖如右（過程略） 依圖觀察，知A、B、C三點(diǎn)共線。CAoBCAoACAoOCAo證明如下：又 ，又

11、與有公共點(diǎn)A， A、B、C三點(diǎn)共線。評析：證明三點(diǎn)共線，可以直接運(yùn)用定理，找出兩向量間關(guān)系，再利用它們有一個(gè)公共點(diǎn)，得到三點(diǎn)共線。教學(xué)中利用多媒體作圖，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，揭示向量、變化過程中，A、B、C三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律?！咀兪骄毩?xí)】如圖，已知、，試判斷與是否共線?CEABD解： 、 又 與共線。評析：證明向量共線，可以直接運(yùn)用定理。思考：在本題中，若B、C分別是AD、AE的三等分點(diǎn)，你能否利用向量關(guān)系來證明BCDE呢？生：,即，又因?yàn)锽C、DE不重合，所以BCDE。（三）課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解向量共線定理，并能在解題中加

12、以運(yùn)用。1.概念與定理 的定義及運(yùn)算律。 向量共線定理：向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 。2.知識應(yīng)用： 證明 向量共線； 證明 三點(diǎn)共線: 兩向量共線且有一個(gè)公共點(diǎn)若，即與共線且有一個(gè)公共點(diǎn)B，則A、B、C三點(diǎn)共線； 證明 兩直線平行:直線AB直線CD。 AB、CD 不重合作業(yè)： 9、12（四）當(dāng)堂檢測 (知己知彼,才能百戰(zhàn)不殆)1.計(jì)算 8（2-+）-6（-2+-）-2（2+）= 2.設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 （A）與-的方向相反 （B）（C）與 的方向相同 （D） 3.設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，若 =2 -，=3+，-3求證：A、B、C三點(diǎn)共線。 （

13、五）課后拓展提高(不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層)（選做）在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段BD上,且BN= BD.求證M、N、C三點(diǎn)共線。四、教后剖析（一）學(xué)業(yè)評價(jià)自主性：注重發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，分層式練習(xí)和選擇性作業(yè)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。實(shí)踐性：通過學(xué)生評析中的變式訓(xùn)練，給學(xué)生提供了一個(gè)很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。（二）教學(xué)設(shè)計(jì)后預(yù)設(shè)性反思向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義是繼向量的加法、減法之后的基本運(yùn)算，為了正確的認(rèn)識向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，首先復(fù)習(xí)了向量的加法、減法，然后通過學(xué)生比較熟悉的例子，引入主題。本節(jié)課總共設(shè)置三個(gè)探究題，目的是通過學(xué)生自主探究、合作釋疑，參與知識形成的過程。我的教學(xué)的一個(gè)理念是：體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的探究能力。設(shè)計(jì)本節(jié)課之后