北師大版數(shù)學九年級上冊第四章 《圖形的相似》重點題型歸納

1、階段強化專題訓練專題一：平行線分線段成比例常見應用技巧類型一 證比例式技巧1 中間比代換法證比例式1.如圖，已知在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DEBC，EFAB.(1)求證：； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB的值.技巧2 等積代換法證比例式2.如圖，在ABC中，D是AB上一點，E是ABC內(nèi)一點，DEBC，過D作AC的平行線交CE的延長線于F，CF與AB交于P.求證：.技巧3 等比代換法證比例式3.如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，求證：.類型2 證線段相等技巧4 等比過渡證線段相等(等比例過渡法)4.如圖，在ABC中，ACB=90，BA，點D為邊AB的中

2、點，DEBC交AC于點E，CFBA交DE的延長線于點F.(1)求證：DE=EF；(2)連結(jié)CD，過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：B=A+DGC類型3 證比例和為1技巧5 同分母的中間比代換法5.如圖，已知ACFEBD.求證：專題二：證明相似三角形的方法名師點金要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點：(1)已知角相等時，找兩對對應角相等，若只能找到一對對應角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應成比例；(2)無法找到角相等時，判斷三邊是否對應成比例；(3)除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.方法1 利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似1.下面關(guān)于直角三角形

3、相似敘述錯誤的是( )A.有一銳角對應相等的兩個直角三角形相似B.兩直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似C.有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似D.兩個等腰直角三角形相似2.如圖，BCAD，垂足為C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求證：ABCDEC.方法2 利用角判定兩三角形相似3.如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長，與CE交于點E. (1)求證：ABDCED； (2)若AB6，AD2CD，求BE的長 方法3 利用邊角判定兩三角形相似4.如圖，AB3AC，BD3AE，又BDAC，點B，A，E在同一條直線上求證：ABDCAE.方法4

4、 利用三邊判定兩三角形相似5.如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點求證：DEFABC.專訓三巧作平行線構(gòu)造相似三角形名師點金：解題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點時，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形訓練角度1 巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1.如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF于點P，Q，求BP:PQ:QD. 訓練角度2 過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形2.如圖

5、，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BF:AF3:2，取CF的中點D，連接AD并延長交BC于點E，求BE:EC的值 3.如圖，過ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E.求證：AE:ED2AF:FB. 訓練角度3 過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形4.如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使ADAE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證: BP:CP=BD:EC. 訓練角度4 過一點作平行線構(gòu)造相似三角形5.如圖，在ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AE=AB，連接EM并延長交BC的延長線于點D.求證：BC2CD.作輔助

6、線的方法一： 作輔助線的方法二： 作輔助線的方法三： 作輔助線的方法四： 全章整合提升密碼專訓一：證比例式或等積式的技巧名師點金證比例式或等積式，若遇問題中無平行線或相似三角形時，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到等比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形或不在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個三角形中再證兩三角形相似，若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換技巧1 構(gòu)造平行線法1.如圖，在ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F，求證：AECFBFEC.2.如圖，已知ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且ADCE，

7、DE交AC于點F，試證明：ABDFBCEF.技巧2 三點找三角形相似法3.如圖，在ABCD中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于F.求證：.4.如圖，在ABC中，BAC90，M為BC的中點，DMBC交CA的延長線于D，交AB于E.求證：AM2MDME.技巧3 構(gòu)造相似三角形法5.如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N. 求證：BPCPBMCN.技巧4 等比過渡法6.如圖，在ABC中，ABAC，DEBC，點F在邊AC上，DF與BE相交于點G，且EDFABE. 求證：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.7.如圖，CE是RtABC斜邊

8、上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BGAP于點G，交CE于點D. 求證：CE2DEPE.技巧5 兩次相似法8.如圖，在RtABC中，AD是斜邊BC上的高，ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F. 求證：.9.如圖，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分別為M，N.求證：(1)AMBAND；(2).技巧6 等積代換法10.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求證：.技巧7 等線段代換法11.如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于點D，點P是AD上一點，CFAB，延長BP交AC于點E，交CF于點F，求證：BP2PEPF.12.已知：如圖，AD平分BAC，

9、AD的垂直平分線EP交BC的延長線于點P.求證：PD2PBPC.專訓二巧用“基本圖形”探索相似條件名師點金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準確地識別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖： 1.平行線型2.相交線型3.子母型4.旋轉(zhuǎn)型訓練角度1 平行線型1.如圖，在ABC中，BE平分ABC交AC于點E，過點E作EDBC交AB于點D.(1)求證：AEBCBDAC； (2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的長訓練角度2 相交線型2.如圖，點D，E分別為ABC的邊AC，AB上的點，BD，CE交于點O，且，試問ADE與ABC

10、相似嗎？請說明理由訓練角度3 子母型3.如圖，在ABC中，BAC90，ADBC于點D，E為AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F.求證：.訓練角度4 旋轉(zhuǎn)型4.如圖，已知DABEAC，ADEABC.求證：(1)ADEABC；(2).專訓三利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法訓練角度1 證明兩線段的數(shù)量關(guān)系類型1： 證明兩線段的相等關(guān)系1.如圖，已知在ABC中，DEBC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于點M，與DE交于

11、點N. 求證：BMMC.2.如圖，一直線和ABC的邊AB，AC分別交于點D，E，和BC的延長線交于點F，且AE:CEBF:CF. 求證：ADDB.類型2 證明兩線段的倍分關(guān)系3.如圖，在ABC中，BDAC于點D，CEAB于點E，A60，求證：DEBC.4.如圖，AM為ABC的角平分線，D為AB的中點，CEAB，CE交DM的延長線于E. 求證：AC2CE.訓練角度2 證明兩線段的位置關(guān)系類型1：證明兩線段平行5.如圖，已知點D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點，連接CD，DECD，DECD，連接CE，AE.求證：AEBC.6.在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC上的點，EFBC，DF

12、AB，連接CE和AD，分別交DF，EF于點N，M.(1)如圖，若E為AB的中點，圖中與MN平行的直線有哪幾條？請證明你的結(jié)論；(2)如圖，若E不為AB的中點，寫出與MN平行的直線，并證明 類型2 證明兩線垂直7.如圖，在ABC中，D是AB上一點，且AC2ABAD，BC2BABD，求證：CDAB.8.如圖，已知矩形ABCD，ADAB，點E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點G，求證：EGDF. 專訓四 巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題名師點金位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，位似圖形必須具備三個條件：(1)兩個圖形相似；(2)對應點的連線相交于一點；(3)對應邊互相平行或在同

13、一直線上.類型1 三角形的內(nèi)接正三角形問題1.如圖,用下面的方法可以畫AOB的內(nèi)接等邊三角形,閱讀后證明相應問題.畫法:在AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點C在OA上,點D在OB上；連接OE并延長,交AB于點E,過點E作ECEC,交OA于點C,作EDED,交OB于點D；連接CD,則CDE是AOB的內(nèi)接等邊三角形.求證:CDE是等邊三角形.類型2 三角形的內(nèi)接矩形問題2.求作:內(nèi)接于已知ABC的矩形DEFG,使它的邊EF在BC上,頂點D,G分別在AB,AC上,并且有DEEF=12.類型3 三角形的內(nèi)接正形問題(方程思想)3.如圖,ABC 是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm ,高AD=80mm

14、 ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊QM 在BC上,其余兩個頂點P ,N 分別在AB,AC上,則這個正方形零件的邊長是多少?4.(1)如圖,在ABC 中,點D ,E ,Q 分別在AB ,AC ,BC 上,且DE BC ,AQ交DE 于點P.求證:DP：BQ=PE：QC. (2)在ABC 中,BAC =90,正方形DEFG 的四個頂點在ABC 的邊上,連接AG ,AF ,分別交DE 于M ,N 兩點.如圖,若AB=AC=1,直接寫出MN的長； 如圖,求證:MN=DMEN. 專訓五： 圖形的相似中的五種熱門考點名師點金：相似是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是中考重點考查內(nèi)容之一，而對于成比例線段、相

15、似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點考點一： 比例線段及性質(zhì)1.下列各組長度的線段，成比例線段的是()A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2若0，則_.3如圖，樂器上的一根弦AB80 cm，兩個端點A，B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，則支撐點C到端點A的距離約為_(2.236，結(jié)果精確到0.01)考點二： 平行線分線段成比例4.如圖，若ABCDEF，則下列結(jié)論中，與相等的是() A. B. C. D.5.如

16、圖，在RtABC中，ACB90，ABC60，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF cm，則EF_. 6.如圖，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值考點三 相似三角形的性質(zhì)與判定7.已知ABCDEF，若ABC與DEF的相似比為34，則ABC與DEF的面積之比為() A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，且AEED31，CE的延長線與BA的延長線交于點F，則SAEFS四邊形ABCE為() A.34 B.43 C.79 D.97 9.若兩個相似多邊形的面積之比為14，周長之差為6，則這兩個相似多邊形的

17、周長分別是_10.如圖，ABC是直角三角形，ACB90，CDAB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.(1)求證：FD2FBFC； (2)若FB5，BC4，求FD的長11.如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，BE平分DBC交DC于點E，點F是BC的延長線上一點，且CECF，BE的延長線交DF于點M.(1)求證：BMDF； (2)若正方形ABCD的邊長為2，求MEMB.考點四 相似三角形的應用12.一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈的高度CD.如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點

18、B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB1.25 m，已知李明直立時的身高為1.75 m，求路燈的高度CD.(結(jié)果精確到0.1 m)13.某高中學校為高一新生設(shè)計的學生板凳的正面視圖如圖所示，其中BACD，BC20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm.為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF的長應為多少？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計)考點五 圖形的位似14.如圖，已知正方形ABCD，以點A為位似中心，把正方形ABCD的各邊縮小為原來的一半，得正方形ABCD，則點C的坐標為_15.如圖，在68的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長

19、均為1，點O和ABC的頂點均在小正方形的頂點上(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作ABC和ABC位似，且相似比為12；(2)連接(1)中的AA，求四邊形AACC的周長(結(jié)果保留根號)專訓六全章熱門考點整合應用名師點金：本章主要內(nèi)容為：平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，位似圖形及其畫法等，涉及考點、考法較多，是中考的高頻考點其主要考點可概括為：3個概念、2個性質(zhì)、1個判定、2個應用、1個作圖、1個技巧考點一：3個概念概念1：成比例線段1.下列各組線段，是成比例線段的是()A.3cm，6cm，7cm，9cm B.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cm D.

20、1cm，2cm，3cm，4cm2.有一塊三角形的草地，它的一條邊長為25m，在圖紙上，這條邊的長為5cm，其他兩條邊的長都為4cm，則其他兩邊的實際長度都是_m.概念2：相似多邊形3.如圖，已知11，22，33，44，DD，試判斷四邊形ABCD與四邊形ABCD是否相似，并說明理由概念3：位似圖形4.如圖，在ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(1，0)以點C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形，并把ABC的邊放大到原來的2倍，記所得的像是ABC.設(shè)點B的對應點B的坐標是(a，b)，求點B的坐標考點二： 2個性質(zhì)性質(zhì)1： 平行線分線段成比例的性質(zhì)5.如圖，在RtABC中，A90，AB8，AC6.若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度過點D作DEBC交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x秒，AE的長為y.(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，BDE的面積有最大值，最大值為多少？ 性質(zhì)2： 相似三角形的性質(zhì)6.如圖，已知D是BC邊上的中點，且ADAC，DEBC，DE與BA相交于點E，EC與AD相交于點F.(1)求證：AB