北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第四章 《圖形的相似》重點(diǎn)題型歸納

1、階段強(qiáng)化專題訓(xùn)練專題一：平行線分線段成比例常見應(yīng)用技巧類型一 證比例式技巧1 中間比代換法證比例式1.如圖，已知在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DEBC，EFAB.(1)求證：； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB的值.技巧2 等積代換法證比例式2.如圖，在ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是ABC內(nèi)一點(diǎn)，DEBC，過D作AC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，CF與AB交于P.求證：.技巧3 等比代換法證比例式3.如圖，在ABC中，DEBC，EFCD，求證：.類型2 證線段相等技巧4 等比過渡證線段相等(等比例過渡法)4.如圖，在ABC中，ACB=90，BA，點(diǎn)D為邊AB的中

2、點(diǎn)，DEBC交AC于點(diǎn)E，CFBA交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：DE=EF；(2)連結(jié)CD，過點(diǎn)D作DC的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：B=A+DGC類型3 證比例和為1技巧5 同分母的中間比代換法5.如圖，已知ACFEBD.求證：專題二：證明相似三角形的方法名師點(diǎn)金要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)：(1)已知角相等時(shí)，找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(2)無法找到角相等時(shí)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(3)除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.方法1 利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似1.下面關(guān)于直角三角形

3、相似敘述錯(cuò)誤的是( )A.有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似B.兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似C.有一條直角邊相等的兩個(gè)直角三角形相似D.兩個(gè)等腰直角三角形相似2.如圖，BCAD，垂足為C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求證：ABCDEC.方法2 利用角判定兩三角形相似3.如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)，與CE交于點(diǎn)E. (1)求證：ABDCED； (2)若AB6，AD2CD，求BE的長(zhǎng) 方法3 利用邊角判定兩三角形相似4.如圖，AB3AC，BD3AE，又BDAC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上求證：ABDCAE.方法4

4、 利用三邊判定兩三角形相似5.如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)求證：DEFABC.專訓(xùn)三巧作平行線構(gòu)造相似三角形名師點(diǎn)金：解題時(shí)，往往會(huì)遇到要證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點(diǎn)時(shí)，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形訓(xùn)練角度1 巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1.如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q，求BP:PQ:QD. 訓(xùn)練角度2 過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2.如圖

5、，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BF:AF3:2，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求BE:EC的值 3.如圖，過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E.求證：AE:ED2AF:FB. 訓(xùn)練角度3 過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4.如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使ADAE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.求證: BP:CP=BD:EC. 訓(xùn)練角度4 過一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形5.如圖，在ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC2CD.作輔助

6、線的方法一： 作輔助線的方法二： 作輔助線的方法三： 作輔助線的方法四： 全章整合提升密碼專訓(xùn)一：證比例式或等積式的技巧名師點(diǎn)金證比例式或等積式，若遇問題中無平行線或相似三角形時(shí)，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到等比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個(gè)三角形或不在兩個(gè)三角形中，可嘗試證這兩個(gè)三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形中再證兩三角形相似，若在兩個(gè)明顯不相似的三角形中，可運(yùn)用中間比代換技巧1 構(gòu)造平行線法1.如圖，在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AECFBFEC.2.如圖，已知ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且ADCE，

7、DE交AC于點(diǎn)F，試證明：ABDFBCEF.技巧2 三點(diǎn)找三角形相似法3.如圖，在ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F.求證：.4.如圖，在ABC中，BAC90，M為BC的中點(diǎn)，DMBC交CA的延長(zhǎng)線于D，交AB于E.求證：AM2MDME.技巧3 構(gòu)造相似三角形法5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N. 求證：BPCPBMCN.技巧4 等比過渡法6.如圖，在ABC中，ABAC，DEBC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且EDFABE. 求證：(1)DEFBDE；(2)DGDFDBEF.7.如圖，CE是RtABC斜邊

8、上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BGAP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D. 求證：CE2DEPE.技巧5 兩次相似法8.如圖，在RtABC中，AD是斜邊BC上的高，ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F. 求證：.9.如圖，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分別為M，N.求證：(1)AMBAND；(2).技巧6 等積代換法10.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求證：.技巧7 等線段代換法11.如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，CFAB，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F，求證：BP2PEPF.12.已知：如圖，AD平分BAC，

9、AD的垂直平分線EP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.求證：PD2PBPC.專訓(xùn)二巧用“基本圖形”探索相似條件名師點(diǎn)金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復(fù)合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準(zhǔn)確地識(shí)別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖： 1.平行線型2.相交線型3.子母型4.旋轉(zhuǎn)型訓(xùn)練角度1 平行線型1.如圖，在ABC中，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EDBC交AB于點(diǎn)D.(1)求證：AEBCBDAC； (2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的長(zhǎng)訓(xùn)練角度2 相交線型2.如圖，點(diǎn)D，E分別為ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)O，且，試問ADE與ABC

10、相似嗎？請(qǐng)說明理由訓(xùn)練角度3 子母型3.如圖，在ABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：.訓(xùn)練角度4 旋轉(zhuǎn)型4.如圖，已知DABEAC，ADEABC.求證：(1)ADEABC；(2).專訓(xùn)三利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點(diǎn)金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法訓(xùn)練角度1 證明兩線段的數(shù)量關(guān)系類型1： 證明兩線段的相等關(guān)系1.如圖，已知在ABC中，DEBC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于點(diǎn)M，與DE交于

11、點(diǎn)N. 求證：BMMC.2.如圖，一直線和ABC的邊AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且AE:CEBF:CF. 求證：ADDB.類型2 證明兩線段的倍分關(guān)系3.如圖，在ABC中，BDAC于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)E，A60，求證：DEBC.4.如圖，AM為ABC的角平分線，D為AB的中點(diǎn)，CEAB，CE交DM的延長(zhǎng)線于E. 求證：AC2CE.訓(xùn)練角度2 證明兩線段的位置關(guān)系類型1：證明兩線段平行5.如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，連接CD，DECD，DECD，連接CE，AE.求證：AEBC.6.在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AB，AC上的點(diǎn)，EFBC，DF

12、AB，連接CE和AD，分別交DF，EF于點(diǎn)N，M.(1)如圖，若E為AB的中點(diǎn)，圖中與MN平行的直線有哪幾條？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)如圖，若E不為AB的中點(diǎn)，寫出與MN平行的直線，并證明 類型2 證明兩線垂直7.如圖，在ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AC2ABAD，BC2BABD，求證：CDAB.8.如圖，已知矩形ABCD，ADAB，點(diǎn)E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點(diǎn)G，求證：EGDF. 專訓(xùn)四 巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題名師點(diǎn)金位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，位似圖形必須具備三個(gè)條件：(1)兩個(gè)圖形相似；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同

13、一直線上.類型1 三角形的內(nèi)接正三角形問題1.如圖,用下面的方法可以畫AOB的內(nèi)接等邊三角形,閱讀后證明相應(yīng)問題.畫法:在AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上；連接OE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作ECEC,交OA于點(diǎn)C,作EDED,交OB于點(diǎn)D；連接CD,則CDE是AOB的內(nèi)接等邊三角形.求證:CDE是等邊三角形.類型2 三角形的內(nèi)接矩形問題2.求作:內(nèi)接于已知ABC的矩形DEFG,使它的邊EF在BC上,頂點(diǎn)D,G分別在AB,AC上,并且有DEEF=12.類型3 三角形的內(nèi)接正形問題(方程思想)3.如圖,ABC 是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm ,高AD=80mm

14、 ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊QM 在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)P ,N 分別在AB,AC上,則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?4.(1)如圖,在ABC 中,點(diǎn)D ,E ,Q 分別在AB ,AC ,BC 上,且DE BC ,AQ交DE 于點(diǎn)P.求證:DP：BQ=PE：QC. (2)在ABC 中,BAC =90,正方形DEFG 的四個(gè)頂點(diǎn)在ABC 的邊上,連接AG ,AF ,分別交DE 于M ,N 兩點(diǎn).如圖,若AB=AC=1,直接寫出MN的長(zhǎng)； 如圖,求證:MN=DMEN. 專訓(xùn)五： 圖形的相似中的五種熱門考點(diǎn)名師點(diǎn)金：相似是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，而對(duì)于成比例線段、相

15、似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點(diǎn)考點(diǎn)一： 比例線段及性質(zhì)1.下列各組長(zhǎng)度的線段，成比例線段的是()A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2若0，則_.3如圖，樂器上的一根弦AB80 cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C到端點(diǎn)A的距離約為_(2.236，結(jié)果精確到0.01)考點(diǎn)二： 平行線分線段成比例4.如圖，若ABCDEF，則下列結(jié)論中，與相等的是() A. B. C. D.5.如

16、圖，在RtABC中，ACB90，ABC60，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF cm，則EF_. 6.如圖，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值考點(diǎn)三 相似三角形的性質(zhì)與判定7.已知ABCDEF，若ABC與DEF的相似比為34，則ABC與DEF的面積之比為() A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AEED31，CE的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則SAEFS四邊形ABCE為() A.34 B.43 C.79 D.97 9.若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為14，周長(zhǎng)之差為6，則這兩個(gè)相似多邊形的

17、周長(zhǎng)分別是_10.如圖，ABC是直角三角形，ACB90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)求證：FD2FBFC； (2)若FB5，BC4，求FD的長(zhǎng)11.如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，BE平分DBC交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECF，BE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.(1)求證：BMDF； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求MEMB.考點(diǎn)四 相似三角形的應(yīng)用12.一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長(zhǎng)來測(cè)量一路燈的高度CD.如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)

18、B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB1.25 m，已知李明直立時(shí)的身高為1.75 m，求路燈的高度CD.(結(jié)果精確到0.1 m)13.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BACD，BC20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm.為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF的長(zhǎng)應(yīng)為多少？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))考點(diǎn)五 圖形的位似14.如圖，已知正方形ABCD，以點(diǎn)A為位似中心，把正方形ABCD的各邊縮小為原來的一半，得正方形ABCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_15.如圖，在68的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

19、均為1，點(diǎn)O和ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作ABC和ABC位似，且相似比為12；(2)連接(1)中的AA，求四邊形AACC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))專訓(xùn)六全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：本章主要內(nèi)容為：平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，位似圖形及其畫法等，涉及考點(diǎn)、考法較多，是中考的高頻考點(diǎn)其主要考點(diǎn)可概括為：3個(gè)概念、2個(gè)性質(zhì)、1個(gè)判定、2個(gè)應(yīng)用、1個(gè)作圖、1個(gè)技巧考點(diǎn)一：3個(gè)概念概念1：成比例線段1.下列各組線段，是成比例線段的是()A.3cm，6cm，7cm，9cm B.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cm D.

20、1cm，2cm，3cm，4cm2.有一塊三角形的草地，它的一條邊長(zhǎng)為25m，在圖紙上，這條邊的長(zhǎng)為5cm，其他兩條邊的長(zhǎng)都為4cm，則其他兩邊的實(shí)際長(zhǎng)度都是_m.概念2：相似多邊形3.如圖，已知11，22，33，44，DD，試判斷四邊形ABCD與四邊形ABCD是否相似，并說明理由概念3：位似圖形4.如圖，在ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1，0)以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形，并把ABC的邊放大到原來的2倍，記所得的像是ABC.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(a，b)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)考點(diǎn)二： 2個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1： 平行線分線段成比例的性質(zhì)5.如圖，在RtABC中，A90，AB8，AC6.若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度過點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長(zhǎng)為y.(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，BDE的面積有最大值，最大值為多少？ 性質(zhì)2： 相似三角形的性質(zhì)6.如圖，已知D是BC邊上的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，DE與BA相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證：AB