向量錯(cuò)解剖析得真知

1、錯(cuò)解剖析得真知 第八章  平面向量與空間向量 §8.1平面向量及其運(yùn)算 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.模（長(zhǎng)度）：向量的大小，記作。長(zhǎng)度為的向量稱為零向量，長(zhǎng)度等于個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量。2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。3.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。4.相反向量：我們把與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。記作-。5.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算。已知，。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作=，=，則向量叫做與的和。記作+。6. 向量的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算。已知，。在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則向量叫做

2、與的差。記作-。7.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義： 實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，并規(guī)定：   的長(zhǎng)度|·；     當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同；       當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反；       當(dāng)0時(shí)，=  （2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則     ()=()      (+) =+ &#

3、160;   (+)=+8.向量共線的充分條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。另外，設(shè)=（x1 1）, = (x22)，則1y2x2y1=09.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2使12 ，其中不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。10.定比分點(diǎn)設(shè)P1，P2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是不同于P1，P2的任意一點(diǎn)則存在一個(gè)實(shí)數(shù),使=，叫做分有向線段所成的比。若點(diǎn)P1、P、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，()，(x22)，則有    &#

4、160;    特別當(dāng)=1，即當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，有11.平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作·，即·規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0。(2)幾何意義：數(shù)量積·等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積。(3)性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則··，·0   當(dāng)與同向時(shí)，· 當(dāng)與反向時(shí)，·  特別地，·2或   

5、    |·|(4)運(yùn)算律：   ·· (交換律)   ()·(·)·()   ()···（5）平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：設(shè)=（x1 1）, = (x22)，則··90°=0x1x21y2=012.平移公式：設(shè)P（x，y）是圖形F上的任意一點(diǎn)，它在平移后圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（，），且設(shè)的坐標(biāo)為（h，k），則由，得：（，）（x，y）+（h，k） 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1向

6、量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量向量的模是正數(shù)或0，是可以進(jìn)行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的兩個(gè)向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個(gè)向量相等，兩個(gè)零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；2在運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時(shí)要注意起點(diǎn)和終點(diǎn)；3對(duì)于坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量，在運(yùn)用平行與垂直的充要條件時(shí)，一定要區(qū)分好兩個(gè)公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時(shí)對(duì)比記憶；4定比分點(diǎn)公式中則要記清哪個(gè)點(diǎn)是分點(diǎn)；還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開計(jì)算的；5平移公式中首先要知道這個(gè)公式是點(diǎn)的平移公式，故在使用的過

7、程中須將起始點(diǎn)的坐標(biāo)給出，同時(shí)注意順序。 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1 和= (3,4)平行的單位向量是；錯(cuò)解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量就是，即 (，)錯(cuò)因：在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情況。正解：因?yàn)榈哪５扔?，所以與平行的單位向量是，即(，)或(，)點(diǎn)評(píng)：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和= (3,4)垂直的單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)。例2已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。錯(cuò)解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），則有21-3，1=4-2 ，即2，3。故所求D的坐標(biāo)為（-

8、2，3）。錯(cuò)因：思維定勢(shì)。習(xí)慣上，我們認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是按照的順序。其實(shí)，在這個(gè)題目中，根本就沒有指出四邊形。因此，還需要分類討論。正解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y）當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，有21-3，1= 4-2 ，即 -2， 3。解得D的坐標(biāo)為（-2，3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，有2=3-（-1），1= 2-4 ，即 6， -1。解得D的坐標(biāo)為（6，-1）；當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，有31-2，2= 4-1 ，即 0， 5。解得D的坐標(biāo)為（0，5）。故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。例3已知P1(3,2)，P2（8，3），若點(diǎn)P在直線P1P2上，且滿足122|

9、，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。錯(cuò)解：由122|得，點(diǎn)P 分P1P2所成的比為2，代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（）錯(cuò)因：對(duì)于122|這個(gè)等式，它所包含的不僅是點(diǎn)P為 P1，P2 的內(nèi)分點(diǎn)這一種情況，還有點(diǎn)P是 P1，P2的外分點(diǎn)。故須分情況討論。正解：當(dāng)點(diǎn)P為 P1，P2 的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，P 分P1P2所成的比為2，此時(shí)解得P（）；      當(dāng)點(diǎn)P為 P1，P2 的外分點(diǎn)時(shí)，P 分P1P2所成的比為-2，此時(shí)解得P（13，4）。      則所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）或（13，4）。點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要審清題

10、意，注意內(nèi)外分點(diǎn)的情況。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。例4 設(shè)向量 ，則“”是“”的  A.充分不必要條件                 B.必要不充分條件  C.充要條件                     

11、;  D.既不充分也不必要條件分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可解：若，則，代入坐標(biāo)得：，即且 消去，得；反之，若，則且，即  則，  故“”是“ ”的充要條件答案：C點(diǎn)評(píng)：本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示例5已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求實(shí)數(shù)x、y，使 分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可解：由題意有     x （1，-1）（-1，3）=（，3y）     又 =（3，5）     3且

12、35     解之得 7 且4點(diǎn)評(píng)：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中經(jīng)常要用到解方程的方法例6已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求點(diǎn)C、D和向量的坐標(biāo)分析：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 ， 和 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之 解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為、，由題意得 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6）  又= ，= -  （）=（3，6）， （）（-3，-6）  即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)  且，且  且 ，且   點(diǎn)C、D和向量

13、 的坐標(biāo)分別為（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小結(jié)：本題涉及到方程思想，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求較高 四、典型習(xí)題導(dǎo)練  1. ，則有（    ）    A.           B. C.            D. 2.（2006年高考浙江卷）設(shè)向量滿足,則 (A)1   

14、       (B)2            (C)4           (D)53. 將函數(shù) 4x8的圖象L按向量平移到，的函數(shù)表達(dá)式為 4x，則向量=      4. 從點(diǎn)沿向量方向取線段，使，則B點(diǎn)坐標(biāo)為    5. 、是單位向量，的夾角為，

15、以、為鄰邊作平行四邊形。求平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)。6.（2006年高考遼寧卷）已知的三內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為設(shè)向量,若,則角的大小為(A)         (B)          (C)            (D) 錯(cuò)解剖析得真知（二十六） §8.2平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

16、60;1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍,即2.正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即                二、疑難知識(shí)導(dǎo)析   1初中學(xué)過的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。如當(dāng)=時(shí)，=0，此時(shí)有；  2由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對(duì)解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線等知識(shí)非常熟悉方可。&

17、#160;三  經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1在中，已知a2b2c2，則角A為()A BCD或錯(cuò)解：選A錯(cuò)因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。正解：a2b2c2b2c22()b2c22· A 選C.例2在中，已知，試判別其形狀。錯(cuò)解：等腰三角形。錯(cuò)因：忽視了兩角互補(bǔ)，正弦值也相等的情形。直接由得，即，則。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形正解：由得，即       則或，故三角形為直角三角形或等腰三角形。例3在中，試求周長(zhǎng)的最大值。并判斷此時(shí)三角形的形狀。錯(cuò)解：由于題目中出現(xiàn)了角和對(duì)

18、邊，故使用余弦定理，進(jìn)一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯(cuò)因：其實(shí)這種思路從表面上看是可行的，實(shí)際上處理過程中回遇到無法進(jìn)行下去的困難。正解：由正弦定理,得2(),  2().     2()()=4()     75     ()2 ()2=8+4.     當(dāng)時(shí),三角形周長(zhǎng)最大,最大值為8+4+. 此時(shí)三角形為等腰三角形.例4在中，其內(nèi)切圓面積為，求面積。分析：題中涉及到內(nèi)切圓，而內(nèi)切圓直接與正弦定理聯(lián)系起來了，同時(shí)正弦定理

19、和余弦定理又由邊聯(lián)系起來了。解：由已知,得內(nèi)切圓半徑為2. 由余弦定理,得三角形三邊分別為16,10,14.例5已知定點(diǎn)A(2,1)與定直線:35=0,點(diǎn)B在上移動(dòng),點(diǎn)M在線段上,且分的比為2,求點(diǎn)M的軌跡方程.分析:向量的坐標(biāo)為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁,形成了代數(shù)與幾何聯(lián)系的新紐帶 .解:設(shè)B(x00)()=(21)(x00),由題知=2    由于3x00+5=0,3×5=0化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為935=0例6過拋物線2=2(p>0)頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦、(如圖),求證:直線過一定點(diǎn),并求出這一定點(diǎn).分析: 對(duì)于向量(x11)

20、(x22),有1y22y1=0.可以用來處理解析幾何中的三點(diǎn)共線與兩直線平行問題.證明:由題意知可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(1)點(diǎn)坐標(biāo)為(2)  =(1), =(2),012=0t124p2    設(shè)直線過點(diǎn)M(),則=(2)(12),由于向量與是共線向量,（）(t12)= (2)(-) 化簡(jiǎn)得2p(2p)(t12)  顯然當(dāng)20時(shí)等式對(duì)任意的成立直線過定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為M(2p,0) 四  典型習(xí)題導(dǎo)練 1已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則第三邊x的取值范圍是（  ）A1x5Bx   Cx

21、5 D1x2三頂點(diǎn)，則的面積為      _。3中，若邊a：b：c：(1)：2，則內(nèi)角A          。4某人在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到0，測(cè)得塔頂A仰角為30°，則塔高。 5在中，已知B30°，b50，c150，解三角形并判斷三角形的形狀。         

22、    6在中，已知，判定是什么三角形。 §8.3空間向量及其運(yùn)算   一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)： 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，

23、有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長(zhǎng)公式：若， 則5夾角公式：6兩點(diǎn)間的距離公式：若，則 二、疑難知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.對(duì)于這部分的一些知識(shí)點(diǎn)，讀者可以對(duì)照平面向量的知識(shí)，看哪些知識(shí)可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶；2.空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于掌握應(yīng)用空間向量的常

24、用技巧與方法，特別是體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化的思想方法如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)是問題的關(guān)鍵3.向量運(yùn)算的主要應(yīng)用在于如下幾個(gè)方面：(1)判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；(2)求空間兩點(diǎn)間的距離；(3)求兩條異面直線所成的角.  4.本節(jié)內(nèi)容對(duì)于立體幾何的應(yīng)用，讀者需自行復(fù)習(xí)，這里不再贅述。 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1下列所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，不正確的是（）錯(cuò)解：B、C、D中任選一個(gè)錯(cuò)因：對(duì)于空間直角坐標(biāo)系的表示不清楚。有共同的原點(diǎn)，且兩兩垂

25、直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定，就可以作為空間直角坐標(biāo)系正解：易知(C)不符合右手系的規(guī)定，應(yīng)選(C)例2已知點(diǎn)A(3，1，1)，點(diǎn)B(2，2，3)，在、軸上分別取點(diǎn)L、M、N，使它們與A、B兩點(diǎn)等距離錯(cuò)因：對(duì)于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征不明；使用方程解題的思想意識(shí)不夠。分析：設(shè)軸上的點(diǎn)L的坐標(biāo)為(x，0，0)，由題意可得關(guān)于x的一元方程，從而解得x的值類似可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)解：設(shè)L、M、N的坐標(biāo)分別為(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)由題意，得(x3)211(x2)249，9(y1)214(y2)29，91(z1)244(z3)2分別解得，故評(píng)注：空間兩點(diǎn)的距離公式是平面內(nèi)兩點(diǎn)的

26、距離公式的推廣：若點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，則P、Q的距離為必須熟練掌握這個(gè)公式例3設(shè)，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值錯(cuò)解：取軸上的任一向量，設(shè)所求夾角為，即余弦值為錯(cuò)因：審題不清。沒有看清“軸正方向”，并不是軸正解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，即為所求例4在中，已知(2,4,0),(1,3,0)，則解：                             =135°例5已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)(2,1,6)(1,1,5)，求以向量為