增強(qiáng)模型意識口算解立體幾何

1、增強(qiáng)模型意識，口算解題不再是夢想新課標(biāo)教材對高中立體幾何的教學(xué)分成了兩套思路。一套是傳統(tǒng)思路，以歐式幾何中的公理、定理及推論作為一條主線，靈活添加輔助線，數(shù)形結(jié)合求得題解；另一套則是借助空間直角坐標(biāo)系，將立體圖形坐標(biāo)化，從而將幾何問題完全轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，再通過方程來解決問題。在此，我愿意另辟蹊徑，用模型的意識來看待立體幾何問題，利用補(bǔ)形法，力爭將高考立體幾何大題變?yōu)榭谒泐}！為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們先來熟悉一下幾個(gè)模型：1、 長方體的“一角”模型在三棱錐中，且. 三棱錐的高證明：設(shè)直線AH交BC于D點(diǎn)，由于H點(diǎn)一定在ABC內(nèi)部，所以D點(diǎn)一定在BC上，連結(jié)PD. 在PAD中：的平面角分別是：.例1、

2、四棱錐中，底面是邊長為的正方形，求的大小. 分析：考慮三棱錐，它就是模型1長方體的“一個(gè)角”.本來我們可以利用結(jié)論解：設(shè)二面角的大小為.則：，故我們看到象例1這樣本來是高考中大題目，可是抓到了長方體“一角”，做起來就變得很輕松了.例2、直二面角中，ABCD是邊長為2的正方形（見圖）AEBE，求B點(diǎn)到面ACE的距離.分析：這是一道高考中的大題.因?yàn)镈ABE是直二面角，BC面ABE，當(dāng)然面ABCD面ABE，又因?yàn)锳BCD是正方形，BC要垂直于面ABE. 在ABE中，AE就是面內(nèi)的一條線，而BE就是BF在該面內(nèi)的射影，而AE是垂直于BF，這是因?yàn)锽F垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以A

3、E垂直于BF，又有AEBE，所以ABE是等腰直角三角形.這一小段是熟悉幾何環(huán)境的過程.圖形中特殊的位置關(guān)系約束ABE的形狀.補(bǔ)充圖形，在正方體看問題.在這里看直二面角的局部圖形.問題就轉(zhuǎn)化為：求D到面ACE的距離，就是求O點(diǎn)到面AB1C的距離.因?yàn)镺，B到面ACB1的距離相等，所以只須求B到面ACB1的距離即可，考慮三棱錐BACB1，它是模型2.所以，D到面ACE的距離為.點(diǎn)評：比起高考評分標(biāo)準(zhǔn)給的答案那要簡單得多了.這兒要注意：一個(gè)是把局部的直二面角根據(jù)它的AEB是以E為直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的圖形特征，補(bǔ)足正方體，這就是一種擴(kuò)大的幾何環(huán)境，而正方體也就是長方體模型，另一方面

4、又抓到這正方體的一個(gè)角BACB1，那么這個(gè)角的模型更高，這就使我們在運(yùn)算過程中得以簡化.所以說一道看起來很復(fù)雜的幾何題，用典型幾何模型做就顯得輕松.例3底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截，AB4，BC2，CC13，BE1（見圖），求C點(diǎn)到面AEC1F的距離.分析：這也是一道高考題，在評分標(biāo)準(zhǔn)中給出了很多的輔助線.現(xiàn)在我們用典型的空間模型，再對這道題解解看.解：延長C1E交CB延長線于M，延長CD，交C1F延長線于N，CC1NM是模型2.因?yàn)橥?所以，C到面C1MN的距離為：.2、公式的幾何模型AB是PB在內(nèi)的射影，BC是內(nèi)一條直線則有.AAD大家要注意搞清楚那個(gè)是，那個(gè)是，那個(gè)是，實(shí)

5、際上只要搞清那個(gè)是，另外兩個(gè)就是.特別的，內(nèi)的直線不一定過B，如上面的右圖所示：在直線AB上有一點(diǎn)D，過D在畫一直線DC，則是直線PB與DC所成的角，則那么這樣的有可能利用這樣的模型計(jì)算出異面直線成角.PB和DC的成角.例4EA面ABCD，ABCD是邊長為的正方形，EA1，在AC上是否存在P點(diǎn)，使PE、BC成角.E分析：即所以.可見AC中點(diǎn)即是要找的點(diǎn)P例5長方體中，AB2，AA11，BD與面AA1B1B成30°角.AEBD于E，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)，求AE，BF成角.解：所以AE，BF成角為.這樣的一個(gè)題目，最重要的是位.在高考評分標(biāo)準(zhǔn)中，都要有很長的解題過程中.這些結(jié)論在高考中，教

6、材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把結(jié)論來源說明.這樣可以減少思考的時(shí)間與計(jì)算量.這就相當(dāng)于電腦中的集成塊一樣，減少空間.3、雙垂四面體模型如圖3，四面體ABCD，AB面BCD，CD面BCA，這種四面體構(gòu)成許多簡單多面體的基本圖形，不妨稱為雙垂四面體，主要性質(zhì)：；以BD、BC和AC為棱的二面角都是直二面角，以AB、BC為棱的二面角的平面角，分別是與以AD為棱的二面角為，則；對棱AB與CD垂直，且BC是它們的公垂線；對棱AD與BC為異面直線，它們夾角為，則例3如圖4，ABCD是上下底長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1拆成直二面角，如圖5. （1）證明：ACBO1；（2）求二面

7、角OACO1的大小.解：（1）略（2）平面AOO1平面OO1C，又AOO1C，AO平面OO1C，同理CO1平面AOO1，四面體AOO1C是一個(gè)雙垂四面體，若二面角OACO1的平面角為，則，根據(jù)條件，從圖5中可知AO3，OC2，CO11，即可自得.例4如圖6，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEEB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE. （1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大?。唬?）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.分析：當(dāng)（1）證明后，我們很容易識別四面體AEBC是一個(gè)雙垂四面體，若二面角BACE的平面角為，則，由條件可以計(jì)算出ABCB=2,AE=，.值得注意的是

8、此題的（3）并不需要用等積變換，根據(jù)平面斜線上兩點(diǎn)到平面的距離等于它們的斜線長的比，點(diǎn)D到平面ACE的距離等于B點(diǎn)到平面ACE的距離，也就是線段BF的長為利用典型立體幾何模型解高考題1（本小題滿分13分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，是的中點(diǎn)（1）求點(diǎn)到面的距離；（2）求異面直線與所成的角；（3）求二面角的大小 解：顯然三棱錐和都是長方體一腳模型，（1）設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則由結(jié)論1， （2）設(shè)與所成的角為，則由模型二，由勾股定理，所以， 故， （3）設(shè)二面角、的大小分別為，則，由結(jié)論1， ， 所以2、（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，E

9、是AB上一點(diǎn)，PEEC. 已知求二面角EPCD的大小.解：過E點(diǎn)作，則顯然三棱錐是長方體一角模型，設(shè)二面角EPCD的大小為，則由結(jié)論1可知：，下面就只剩下計(jì)算問題了因?yàn)镻D底面，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD內(nèi)的射影，故由三垂直線定理的逆定理知：ECDE，設(shè)DE=x，因?yàn)镈AECED，故（負(fù)根舍去）.從而DE=1，故有勾股定理，又因?yàn)椋?，故，二面角EPCD的大小為3、（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）異面直線AB與EB1的距離； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值.解（）顯然四面體是雙垂四面體模型 由結(jié)論3，BE是異面直線AB與EB1的公垂線在平行四邊形BCC1B1中，設(shè)EB=x，則EB1=，作BDCC1，交CC1于D，則BD=BC·在BEB1中，由面積關(guān)系得.（負(fù)根舍去）解之得CE=2，故此時(shí)E與C1重合，由題意舍去.因此x=1，即異