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文檔簡介
1、復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法一:有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法,使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個自然的結(jié)論:(1)對電路中任何一個節(jié)點,流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個閉合回路,都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1:對稱性簡化所謂的對稱性簡化,就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對稱性簡化等效電阻的計算。它的效果是使計算得以簡化,計算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式;電流分布法;極限法等來完成。在一個復(fù)雜的電路中,如果能找到一些完全對稱的點,那么當(dāng)在這個電路兩端加上電壓時,這些點的電勢一定是相等的,即使用導(dǎo)線把這些點連接起來也不會有電流(或
2、把連接這些點的導(dǎo)線去掉也不會對電路構(gòu)成影響),充分的利用這一點我們就可以使電路大為簡化。例(1)如圖1所示的四面體框架由電阻都為R的6根電阻絲連接而成,求兩頂點A、B間的等效電阻。圖1 圖2分析:假設(shè)在A、B兩點之間加上電壓,并且電流從A電流入、B點流處。因為對稱性,圖中CD兩點等電勢,或者說C、D 間的電壓為零。因此,CD間的電阻實際上不起作用,可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò),使問題迎刃而解。解:根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖2所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò),由串、并聯(lián)規(guī)律得RAB=R/2例(2)三個相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀,若每一個金屬圈的原長電阻為R,試求圖中A、B兩點
3、之間的等效電阻。圖3 圖4 圖5 分析:從圖3中可以看出,整個電阻網(wǎng)絡(luò)相對于AB的電流流入、流出方式上具有上下對稱性,因此可上下壓縮成如圖所時的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出,從A點流到O電流與從O點到B電流必相同;從A1點流到O電流與從O點到B1電流必相同。據(jù)此可以將O點斷開,等效成如圖5所示的簡單網(wǎng)絡(luò),使問題得以求解。解:根據(jù)以上分析求得RAB=5R/48例(3)如圖6所示的立方體型電路,每條邊的電阻都是R。求A、G之間的電阻是多少?分析: 假設(shè)在A 、G兩點之間加上電壓時,顯然由于對稱性D、B、E 的電勢是相等的,C、F、H的電勢也是相等的,把這些點各自連起來,原電路就變成了
4、如圖7所示的簡單電路。解:由簡化電路,根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG=5R/6(同學(xué)們想一想,若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡化?)例(4)在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中,每一小段電阻均為R,試求A、B之間的等效電阻RAB。圖8 圖9圖10 圖11分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對于過A、B對角線的對稱性,可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢點之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法(a):簡化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)以后,將3、O兩個等勢點短接,在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻,使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法(
5、b):簡化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后,將圖中的O點上下斷開,如圖11所示,最后不難算得RAB=5R/72:電流分布法設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入,B 電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點之間不同路徑等電壓的思想,建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組,解出各電流I的比例關(guān)系,然后選取A到B的某一路經(jīng)計算A、B 間的電壓,再由RAB=UAB/IAB即可算出RAB例:有如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò),求A、B之間的電阻RAB分析:要求A、B之間的電阻RAB按照電流分布法的思想,只要設(shè)上電流以后,求得A、B 間的電壓即可。圖12解:設(shè)電流由A流入,B流出,各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得I2=I-I1
6、I3=I2-I1=I-2I1A、O間的電壓,不論是從AO看,還是從ACO看,都應(yīng)該是一樣的,因此I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得I1=2I/5取AOB路徑,可得AB間的電壓UAB=I1*2R+I4*R根據(jù)對稱性I4=I2=I-I1=3I/5所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5這種電流分布法事實上已經(jīng)引進了基爾霍夫定律的思想,所以有一定的一般性。3:Y 變換復(fù)雜電路經(jīng)過Y 變換,可以變成簡單電路。如圖13和14所示分別為網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò),兩個網(wǎng)絡(luò)中得6個電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個網(wǎng)絡(luò)完全等效呢 ?所謂完全等效,就是要求Uab=Uab,
7、Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IC在Y網(wǎng)絡(luò)中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+Ib+Ic=0圖13 圖14解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在網(wǎng)絡(luò)中有IAB=UAB/RABICA=UCA/RCAIA=IAB-ICA解得IA= (UAB/RAB)-( UCA/RCA)因為要求Ia=IA ,所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)= (UAB/RAB)-( UCA/RCA)又因為要求Uab= UAB ,Uca= UCA
8、所以要求上示中對應(yīng)項系數(shù)相等,即RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc -(1)RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb-(2)用類似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra-(3)(1)、(2)、(3)三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在(1)、(2)、(3)三式中將RAB 、RBC、RCA作為已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-(4)Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA) -(5)Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA) -(6)(4)、(5)、(6)三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組
9、變換式。例(1)求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻RAB。圖15 圖16分析:此題無法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解,需要將雙T橋網(wǎng)絡(luò)中兩個小的Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個小的網(wǎng)絡(luò)元,再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò),由此可以算得RAB=118/93例(2)有7個電阻同為R的網(wǎng)絡(luò)如圖17所示,試求A、B間的等效電阻RAB。圖17 圖18解:將Y網(wǎng)絡(luò)O-ABC變換成網(wǎng)絡(luò)如圖18所示其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5R這樣就是一個簡單電路了,很容易算
10、得RAB=7R/54:電橋平衡法圖19如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋,圖中R1、R2、R3、R4分別叫電橋的臂,G是靈敏電流計。當(dāng)電橋平衡(即靈敏電流計的示數(shù)為零)的時候,我們稱之為電橋平衡。這時有I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4有這些關(guān)系可以得到R1/R2=R3/R4上式稱之為電橋平衡條件,利用此式簡化對稱性不明顯的電路,十分方便。例:有n 個接線柱,任意兩個接線柱之間都接有一個電阻R求任意兩個接線柱之間的電阻。圖20分析:粗看本題根本無法求解,但是能充分利用電橋平衡的知識,則能十分方便得求解。解:如圖20所示,設(shè)想本題求兩接線柱A、B之間的等效電阻,根
11、據(jù)對稱性易知,其余的接線柱CDE- 中,任意兩個接線柱之間的電阻無電流通過,故這些電阻都可以刪除,這樣電路簡化為:A、B之間連有電阻R,其余(n-2)個接線柱之間僅有電阻分別與A、B兩點相連,它們之間沒有電阻相連。即1/RAB=1/R+1/2R/(n-2)所以 RAB=2R/n二:無限電阻網(wǎng)絡(luò)無限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無限網(wǎng)絡(luò)和面型無限網(wǎng)絡(luò),下面我們就這兩個方面展開討論1:線型無限網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無限網(wǎng)絡(luò),既然研究對象是無限的,就可以利用“無限”這個條件,再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。例(1)如圖所示的電路是一個單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò),每個電阻的阻值都是R,求A、B之間
12、的等效電阻RAB .圖21解:因為是“無限”的,所以去掉一個單元或增加一個單元不影響等效電阻即RAB應(yīng)該等于從CD往右看的電阻RCDRAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0解得:RCD=(1+31/2)R= RAB例(2)一兩端無窮的電路如圖22所示,其中每個電阻均為r求a、b兩點之間的電阻。圖22 圖23解:此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò),整個電路可以看作是由三個部分組成的,如圖所示,則Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)即是無窮網(wǎng)絡(luò),bb1之間的電阻仍為Rx則 Rx=(31/2-1)r代入上式中解得Rab=(6-31/2)*r/6例(3)電阻絲
13、無限網(wǎng)絡(luò)如圖24所示,每一段金屬絲的電阻均為r,求A、B之間的等效電阻RAB .圖24圖25 圖26解:根據(jù)對稱性可知,網(wǎng)絡(luò)中背面那根無限長的電阻絲中 各點等勢,故可以刪去這根電阻絲,這樣原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖25所示的網(wǎng)絡(luò)。又因為網(wǎng)絡(luò)相對AB連線具有左右對稱性,故可以折疊成如圖26所示的網(wǎng)絡(luò),再利用例(1)的方法可得 RCD=REF=Rx 即Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)解得:Rx=(3+211/2)r/6RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+Rx)=2(21)1/2r/212:面型無限網(wǎng)絡(luò)解線性無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性,而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個方向的對稱性。例(1)如圖27所示是一個無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分,其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個結(jié)點A、B之間的等效電阻。分析:假設(shè)電流I從A點流入,向四面八方流到無窮遠處,根據(jù)對稱性,有I/4電流由A點流到B點。假設(shè)電流I經(jīng)過無限長時間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到 B點后流出,根據(jù)對稱性,同樣有I/4電流經(jīng)A點流到B點。圖27解:從以上分析看出,AB段的電流便由兩個I/4疊加而成,為I/2因此 UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2例(2)有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò),它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成,如圖28所示。所有正六邊型每邊的電阻均為R0,求間位結(jié)點a
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