數(shù)感及其培養(yǎng)的探索

1、數(shù)感及其培養(yǎng)的探究數(shù)感，是指人們對(duì)數(shù)、數(shù)據(jù)和數(shù)字系統(tǒng)和其運(yùn)算等形成的一般理解力，以及靈敏應(yīng)用這種理解力的認(rèn)知傾向和認(rèn)知才能。運(yùn)用數(shù)感可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開(kāi)發(fā)出應(yīng)用數(shù)和運(yùn)算法那么的有關(guān)策略。根據(jù)麥金托什等人的分析，數(shù)感主要在三個(gè)領(lǐng)域起重要作用：一是數(shù)據(jù)知識(shí)和數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)便性，二是運(yùn)算知識(shí)和運(yùn)算的簡(jiǎn)便性，三是把數(shù)、運(yùn)算的知識(shí)及其簡(jiǎn)便性應(yīng)用到需要用數(shù)據(jù)進(jìn)展推理的問(wèn)題中。大家都經(jīng)歷過(guò)這樣的教學(xué)現(xiàn)象：在明確簡(jiǎn)便運(yùn)算要求時(shí)，學(xué)生都能根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)展簡(jiǎn)便運(yùn)算，而當(dāng)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有許多學(xué)生只知道按一般運(yùn)算順序計(jì)算，對(duì)于有可能簡(jiǎn)便的卻想不到簡(jiǎn)便計(jì)算。這是令許多老師頭疼的問(wèn)題。這種現(xiàn)象，究其本

2、質(zhì)是學(xué)生缺乏自覺(jué)簡(jiǎn)便計(jì)算的意識(shí)，數(shù)感較弱。我覺(jué)得其中主要是兩方面的原因：一是數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)意識(shí)不夠強(qiáng)，因此不可以自動(dòng)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)展簡(jiǎn)便計(jì)算；二是心算練習(xí)較少。平時(shí)對(duì)稍大數(shù)值的計(jì)算，為了準(zhǔn)確，一般都會(huì)要求學(xué)生列豎式計(jì)算，而豎式計(jì)算很少需要學(xué)生去考察數(shù)據(jù)的特點(diǎn)、數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)。長(zhǎng)此以往，學(xué)生在計(jì)算時(shí)，看到較大的數(shù)就習(xí)慣性地列豎式計(jì)算，很難想到簡(jiǎn)便計(jì)算。反之，假如我們經(jīng)常注意引導(dǎo)學(xué)生探究認(rèn)識(shí)并理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)，經(jīng)常讓學(xué)生利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)展心算，那么學(xué)第 10 頁(yè)生的數(shù)感可能就會(huì)大大增強(qiáng)。那么他們?cè)谟?jì)算時(shí)，看到一些數(shù)據(jù)就會(huì)自然而然地想到它們之間的關(guān)聯(lián)，以及使之計(jì)算簡(jiǎn)便的相關(guān)聯(lián)的數(shù)，從而

3、自動(dòng)自覺(jué)地進(jìn)展簡(jiǎn)便計(jì)算，而不管是否要求簡(jiǎn)便計(jì)算。這就是說(shuō)，要擅長(zhǎng)把按一般計(jì)算程序的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽寣W(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)形式和數(shù)量關(guān)系，加以積極探究并在兩者之間生成聯(lián)絡(luò)的教學(xué)。只有這樣，學(xué)生才能逐漸形成對(duì)數(shù)的洞察力，并對(duì)數(shù)和數(shù)量產(chǎn)生敏銳的“感覺(jué)。因此，筆者認(rèn)為培養(yǎng)數(shù)感的著力點(diǎn)應(yīng)是培養(yǎng)孩子們對(duì)數(shù)和數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)意識(shí)以及心算才能。一、在計(jì)數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)對(duì)于數(shù)的關(guān)聯(lián)意識(shí)在教學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，筆者注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)值大小的把握。通過(guò)經(jīng)常性的點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)，用差比、倍比法比較數(shù)之間的大小，強(qiáng)化計(jì)數(shù)單位的形象感知體驗(yàn)如十指、一捆小棒、百數(shù)表、千數(shù)方塊等、動(dòng)感模擬體驗(yàn)如撥算珠、跳繩以及比較計(jì)算想象訓(xùn)練如對(duì)折紙30次，紙厚有多少層樓高，

4、每人一粒米，十三億粒米夠多少人吃多久等。在此根底上，培養(yǎng)學(xué)生間隔計(jì)數(shù)的數(shù)列建構(gòu)方式。這些計(jì)數(shù)可以從任意數(shù)開(kāi)場(chǎng)，可以往前數(shù)也可以往后數(shù)。雖然不同的計(jì)數(shù)形式最初對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可能都是毫無(wú)意義的數(shù)列，但是這些數(shù)列建構(gòu)的方式會(huì)讓他們熟悉隱含著數(shù)列規(guī)律的數(shù)字系統(tǒng)形式。當(dāng)這些數(shù)字形式和算術(shù)運(yùn)算相聯(lián)絡(luò)的時(shí)候，這些數(shù)字形式便能促使學(xué)生找到有效的計(jì)算策略。筆者是這樣教學(xué)千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)的：1以100為間隔，從100數(shù)到1000，從1000數(shù)到100；2以50為間隔，從50數(shù)到1000，從1000數(shù)到50；3以20為間隔，從800數(shù)到1000，從500數(shù)到300；4以10為間隔從600數(shù)到800，從1000數(shù)到800；

5、5以5為間隔，從900數(shù)到1000，從900數(shù)到800；6以1為間隔，從180數(shù)到220，從710數(shù)到690。學(xué)習(xí)不同的計(jì)數(shù)形式和計(jì)數(shù)順序，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，對(duì)計(jì)算起到積極的促進(jìn)作用。對(duì)于單個(gè)的數(shù)，筆者也注重讓學(xué)生學(xué)會(huì)以不同的方式進(jìn)展數(shù)的組合。如，28可以由兩個(gè)數(shù)相加減得到：208、1018、302、4012，也可以由兩個(gè)數(shù)相乘或相除得到：4×7、14×2、56÷2、84÷3等。再如，125可以寫(xiě)成10025、15025、20075，也可以寫(xiě)成25×5、1000÷8

6、等。在學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)了小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之后，還可以再進(jìn)展相應(yīng)的擴(kuò)展聯(lián)想。運(yùn)用數(shù)之間互相關(guān)聯(lián)聯(lián)想的方式可以產(chǎn)生不同的可能表達(dá)形式及其與不同運(yùn)算相聯(lián)絡(luò)的意義，所有這些在學(xué)生建立起數(shù)與計(jì)算之間的聯(lián)絡(luò)中起著至關(guān)重要的作用，而數(shù)與計(jì)算之間的聯(lián)絡(luò)又恰巧對(duì)數(shù)感的形成有著重要的積極影響。page->二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化意識(shí)在加法教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)的關(guān)聯(lián)意識(shí)，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)加數(shù)不同數(shù)位上數(shù)字的變化引起和的變化，以及兩個(gè)加數(shù)的變化、拆分，和始終不變。同樣，在減法教學(xué)中，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)變化被減數(shù)、減數(shù)不同數(shù)位數(shù)字引起差的變化，以及變化、拆分被減數(shù)或減數(shù)，差卻始終不變。建立這種數(shù)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系

7、不僅有助于學(xué)生從數(shù)據(jù)事實(shí)中推斷出新的數(shù)據(jù)，而且也有助于他們建立新的計(jì)算策略。讓他們花時(shí)間考慮同一問(wèn)題的不同方法，比讓他們?nèi)ビ?jì)算各不相干的許多問(wèn)題，其效果要好得多。如，出示算式325524，采取小組競(jìng)賽的形式，讓學(xué)生積極聯(lián)想，寫(xiě)出相關(guān)聯(lián)的算式。大家積極參與，開(kāi)動(dòng)腦筋，寫(xiě)出了許多：在此根底上，讓學(xué)生說(shuō)出這些算式的關(guān)聯(lián)之處，引導(dǎo)他們將自己的發(fā)現(xiàn)與同伴的成果進(jìn)展比較，分享算式中有關(guān)數(shù)據(jù)增減相聯(lián)的數(shù)量變化，開(kāi)展數(shù)感。三、在計(jì)算過(guò)程中培養(yǎng)靈敏多樣的心算策略計(jì)算才能的培養(yǎng)不僅需要學(xué)生學(xué)會(huì)筆算的方法，還要學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用心算和估算的方法，從而得到正確的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于如何選擇適宜的計(jì)算策略，反思并解釋計(jì)算的過(guò)程和結(jié)

8、果而言，心算在其中所起的作用是非常重要的。數(shù)感是高度個(gè)性化的產(chǎn)物。教給學(xué)生多種心算策略，可以使他們根據(jù)自身的特點(diǎn)靈敏地選用，從而開(kāi)展數(shù)感。如，加法和減法的心算策略主要有：順序法。順序法就是保持算式中的一個(gè)數(shù)不變，然后順著從大到小的次序逐次加上或減去另一個(gè)數(shù)的一局部，得到局部和，漸次趨于原來(lái)的數(shù)，最終完成原式的計(jì)算。如325+476的心算：325+400+70+6=801，325+400+75+1=801。非常法。非常法就是拆分算式中的兩個(gè)數(shù)，并根據(jù)位值關(guān)系計(jì)算局部和。如325+476的心算：320+470+5+6=801，300+400+20+70+5+6=801。page->轉(zhuǎn)換形式法

9、。轉(zhuǎn)換形式法就是根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)展調(diào)整，把計(jì)算簡(jiǎn)化。如，325+476=325+475+1=801。再如，311-214=311-211-3，300-186=299-186+1=114。這樣的調(diào)整不僅使計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，而且也反映出靈敏有效的數(shù)學(xué)思維。目前，言及在計(jì)算中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，更多地談到的是培養(yǎng)學(xué)生的估算才能。這是一個(gè)認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。估算反映了學(xué)生對(duì)實(shí)際情境中數(shù)及其大小范圍的理解和把握。而心算卻是運(yùn)用各種策略直接算出準(zhǔn)確得數(shù)，心算要求學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)非常敏感，數(shù)的轉(zhuǎn)換與關(guān)聯(lián)意識(shí)非常強(qiáng)，能靈敏地運(yùn)用數(shù)據(jù)的特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)快速簡(jiǎn)捷地計(jì)算。經(jīng)常性地進(jìn)展心算練習(xí)，學(xué)生的數(shù)感會(huì)大大增強(qiáng)。雖說(shuō)一般

10、根本的豎式計(jì)算是必要的，但學(xué)生心算才能的進(jìn)步卻不容無(wú)視。數(shù)感除了對(duì)于數(shù)的大小的把握之外，其要義主要指的就是計(jì)算策略中的靈敏性和創(chuàng)造性。教學(xué)中要減少過(guò)分強(qiáng)調(diào)沒(méi)有思維要求的計(jì)算程序演繹。雖說(shuō)如今為了防止學(xué)活力械地進(jìn)展豎式計(jì)算，重視理解豎式計(jì)算的算理，但學(xué)生學(xué)會(huì)豎式計(jì)算后，計(jì)算的高度抽象與概括使得他們更多的是機(jī)械計(jì)算。數(shù)學(xué)教育家普朗科特認(rèn)為教授一般根本的筆算方法容易造成“認(rèn)知的被動(dòng)性和“理解的終止。因?yàn)檫@些方法與人們通常把握數(shù)據(jù)的考慮方式不一樣。教材安排的口算，一般都是在豎式之前，只出現(xiàn)較小的數(shù)或整十、整百數(shù)的加、減、乘、除。對(duì)較大的一些數(shù)，都是直接教學(xué)一般根本的豎式計(jì)算。如三位數(shù)加減三位數(shù)豎式計(jì)算

11、，是在兩位數(shù)加減兩位數(shù)的根底上直接學(xué)習(xí)的。這樣造成的后果就是看到如325+476的計(jì)算題，學(xué)生很自然地就習(xí)慣于列豎式計(jì)算，不需要也不擅長(zhǎng)考察數(shù)的大小及其數(shù)據(jù)特點(diǎn)，幾乎不涉及對(duì)于數(shù)感的把握，使得計(jì)算缺乏靈敏性。假如在教學(xué)豎式計(jì)算之前，先補(bǔ)充進(jìn)展數(shù)的組成和分解的訓(xùn)練，讓學(xué)生接觸這方面的心算技能，在這之后再教學(xué)豎式計(jì)算，學(xué)生在選擇算法時(shí)，可能就不會(huì)只局限在刻板地按照豎式計(jì)算了，而會(huì)根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)靈敏地運(yùn)用自己喜歡的算法。當(dāng)我們把計(jì)算學(xué)習(xí)看作是過(guò)程和結(jié)果互相聯(lián)絡(luò)的邏輯構(gòu)造，而不僅僅是傳授和承受計(jì)算程序的時(shí)候，學(xué)生就容易對(duì)數(shù)具有敏銳的感知，使解題過(guò)程具有靈敏性和選擇性的特征。因此，學(xué)生會(huì)自主地選擇適宜的解題方法，并在計(jì)算過(guò)程中推斷問(wèn)題的實(shí)際意義。解題過(guò)程中的這種