數(shù)學(xué)江蘇專用新設(shè)計(jì)大一輪講義+習(xí)題：第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第4講

1、第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用解決恒成立、存在性問題考試要求1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（B級(jí)要求）；2.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值與最值的方法（B級(jí)要求）；3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的包成立問題、存在性問題；4.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決涉及函數(shù)零點(diǎn)的一些問題.血識(shí)份證體驗(yàn)I回顧教材1存實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理運(yùn)用不等式求解包成立、存在性問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系不等式類型與最值的關(guān)系任意的xCD,f(x)>M任意的xCD,f(x)min>M任意的xCD,f(x)<M任意的xD,f(x)max<M存在xD,f(x)>M任意的xCD,f(x)max>M存在xD,f(x)

2、<M任意的xCD,f(x)min<M任意的xCD,f(x)>g(x)任意的xCD,f(x)-g(x)min>0任意的xCD,f(x)<g(x)任意的xD,f(x)g(x)max<0任意的xiDi,任意的x26D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)min>g(x)max任意的xiCDi,存在x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)min>g(x)min存在xiDi,任意的x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)max>g(x)max存在x

3、MDi,存在x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)max>g(x)min診斷自測(cè)1 .已知g（x）=2+x2+2alnx在1,2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為x.一22a解析gx)=-?+2x+,xx由已知得g'x廣0在1,2上恒成立,可得a01x2在1,2上包成立.x又當(dāng)xC 1 , 2時(shí),"min=2-4=-7.2 .(2019蘇北四市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3ax2+4,若f(x)的圖象與x軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析由題意知f'x)=3x22ax=x(3x2a),當(dāng)a00時(shí)，不符合題意.當(dāng)a

4、>o時(shí)，”)在(0,2a"單調(diào)遞減，在管，+8卜單調(diào)遞增，2a一所以由題意知f6尸0且f(0)=4>0,解得a>3.答案(3,+oo)乙1+lnx3 .已知函數(shù)f(x)=1.x(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間%,a+2卜存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；k(2)如果當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)>一恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.x+1解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),1- 1-lnxlnxfxhx2令f'x)=0,得x=1;當(dāng)xC(0,1)時(shí)，f'x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xC(1,+oo)時(shí)，fx)<0,f(x)單調(diào)遞減.1所以x=

5、1為極大值點(diǎn)，所以0<a<1<a+2,故2<a<1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1：(x+1)(1+lnx)tr(2)當(dāng)x>1時(shí)，k<la成立，x人，、(x+1)(1+lnx)令g(x)=，x(1+lnx+1+】)x(x+1)(1+lnx)則g'x)=-2xxInx=.x再令h(x)=xInx,則h'x)=11>0,x所以h(x戶h(1)=1,所以g'x)>0,所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)>g(1)=2,故k02.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(8,2.I考點(diǎn)聚焦突破分類洪結(jié)，以例求法考點(diǎn)一分離參數(shù)法求解包成立問題【

6、例11設(shè)函數(shù)f(x)=exax-2.求f(x)的單調(diào)區(qū)問；(2)若a=1,k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(xk)f'xl+x+1>0,求k的最大值.解(1)f(x)的定義域?yàn)?一8,+oo),f，x)=exa.若a<0,則f'x)>0,所以f(x)在(_oo,+oo)上單調(diào)遞增；若a>0,則當(dāng)xC(oo,ina)時(shí)，fx)<0；當(dāng)xC(Ina，+00)時(shí)，f'x)>0,所以，f(x)在(8,ina)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.(2)由于a=1,所以(xk)f'x)+x+1=(xk)(ex-1)+x+1.故當(dāng)x&g

7、t;0時(shí)，(xk)f'x)+x+1>0等價(jià)于x+1k<ex_1+x(x>0).x+1,e (ex x2)(ex1) 2令g(x)=exr1+x,_xe_1則gx)=(ex1)2+1由(1)知，函數(shù)h(x)=exx2在(0,+8)上單調(diào)遞增.而h(i)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn).故g'x)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為%則小(1,2).當(dāng)x(0,a)時(shí)，g'x)<0;當(dāng)x(%+°°)時(shí)，g，x)>0.所以g(x)在(0,+°°)±的最

8、小值為g(o).又由g'R=0,可得6"=升2,所以g(c)=a+1C(2,3).由于式等價(jià)于k<g(,故整數(shù)k的最大值為2.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的不等式問題，若能分離參數(shù)，則轉(zhuǎn)化為形如af(x)(或a&f(x)的形式，通過求函數(shù)y=f(x)的最值求得參數(shù)范圍.何成立問題的求解方法如下:(1)f(x)a恒成立？f(x)min>a；(2)f(x)Wb恒成立？f(x)max<b.【訓(xùn)練11(2019新海中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3,其中a為實(shí)數(shù).對(duì)一切xC(0,+8),2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

9、由題知2xlnx>x2+ax3,即a021nx+x+-,x對(duì)一切x(0,+oo)恒成立.設(shè)h(x)=21nx+x+3(x>0),、x'則 h'x)=(x+3)(x-1)2x當(dāng)xC(0,1)時(shí)，h'x)<0,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)xC(1,+oo)時(shí)，h，x)>0,故h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.所以h(x)在(0,+8)上有唯一極小值h(1),即為最小值，所以h(x)min=h(1)=4,因?yàn)閷?duì)一切xC(0,+00),a&h(x)恒成立，所以a<4.考點(diǎn)二不等式包成立問題例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)

10、=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值.若x2時(shí)，f(x)<kg(x),求k的取值范圍.解(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,(0)4,g'(劣4.而f'x)=2x+a,g'x)=ex(cx+d+c).故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.2x(2)由(1)知f(x)=x+4x+2,g(x)=2e(x+1).設(shè)F(x)=kg(x)f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F'x)=2kex(x+2)2x4=2(

11、x+2)(kex1).由題設(shè)可得F(0)>0,即k>1.令F'x)=0,即2(x+2)(kex1)=0,得xi=Ink,x2=2.若1&k<e2,則一2<x100,從而當(dāng)xC(2,x)時(shí)，F(xiàn)'x)<0,當(dāng)x(x1，+8)時(shí)，Lx)>0,即F(x)在x(2,x1)上單調(diào)遞減，在xC(x1，+8)上單調(diào)遞增，故F(x)在-2,+8)上有最小值為F(x1).2F(x)=2x+2x14x12=x(x+2)>0.故當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)(x)0恒成立，即f(x)<kg(x).若當(dāng)k=e2,則F'x)=2e2(x+2)(exe2

12、),當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)'x)>0,則F(x)在(一2,+8)上單調(diào)遞增，而F(2)=0,故當(dāng)且僅當(dāng)x>-2時(shí)，F(xiàn)(x)>0恒成立，即f(x)<kg(x).若k>e2,貝UF(2)=2ke2+2=2e2(ke2)<0.從而當(dāng)x>2時(shí)，f(x)&kg(x)不可能恒成立.綜上，k的取值范圍為1，e2.規(guī)律方法含參數(shù)的不等式恒成立問題，除了分離參數(shù)外，常用構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化法求參數(shù)，常見方法如下：(1)f(x)>0在區(qū)間D上恒成立，則f(x)min>0在D上恒成立；(2)f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立，則f(x)ming(x)max在

13、D上恒成立或h(x)=f(x)g(x),則h(x)min>0在D上恒成立.(3)在處理含參數(shù)的恒成立問題時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用【訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2alnx,其中aR.討論f(x)的單調(diào)性；(2)確定a的所有可能取值，使得f(x)>1e1x在區(qū)間(1,十°0)內(nèi)恒成立仁=2.718x為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).一12a01解(1)fx)=2axx=x(x>0).當(dāng)a00時(shí)，f'x)<0,f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.1當(dāng)a>0時(shí)，由fx)=0,有x=12a.此時(shí)，當(dāng)xC |0,j2a 1 時(shí),f'x)<。，f(x)單調(diào)遞減;

14、當(dāng)x-k OO) I，時(shí),f'x)>0, f(x)單調(diào)遞增.(2)令g(x)=(一e1r,s(x)=ex1x.則s'x)=e"11.而當(dāng)x>1時(shí)，s'x)>0,所以S(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.又由s(1)=0,有s(x)>0,從而當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0.當(dāng)a00,x>1時(shí)，f(x)=a(x21)lnx<0.故當(dāng)f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+°0)內(nèi)恒成立時(shí)，必有a>0.當(dāng)0<a<2時(shí)，2a>1.由有，/卜(1)=0,而g忘，0，所以此時(shí)f(x)>g(x

15、)在區(qū)間(1,十°0)內(nèi)不恒成立.一1一/當(dāng)a2時(shí)，令h(x)=f(x)-g(x)(x>1).32、“I,V111x111x-2x+1x-2x+1當(dāng)x>1時(shí)，hx)=2axx+x2e1>xx+整一x=x2>x2>0.因此，h(x)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(1)=0,所以當(dāng)x>1時(shí)，h(x)=f(x)g(x)>0,即f(x)>g(x)包成立.綜上，aj2,+8j考點(diǎn)三存在性問題【例3】已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(aR).求f(x)的單調(diào)區(qū)問；(2)設(shè)g(x)=x22x+2,若對(duì)任意x1C(0,+oo),均存在x260,1使

16、得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.1ax1斛0fx)=a+-=(x>0),xx當(dāng)a0時(shí)，由于x>0,故ax+1>0,f'x)>0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+oo).當(dāng)a<0時(shí)，由f'x)=0,得x=1.a在區(qū)間jo,a止，f'x)>0,在區(qū)間1a，+°°止，f'x)<o,所以函數(shù)”)的單調(diào)遞增區(qū)間為b，a；單調(diào)遞減區(qū)間為(一：，十".(2)由已知得所求可轉(zhuǎn)化為f(x)max<g(x)max,g(x)=(x1)2+1,x0,1,所以g(x)max2,由知，當(dāng)a0時(shí),

17、f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,值域?yàn)镽,故不符合題意.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在2，-a卜單調(diào)遞增，在1,+00卜單調(diào)遞減，故f(x)的極大值即為最大值，是fa)=1+ln1j=-1-ln(-a),所以2>1ln(a),解得a<3.e規(guī)律方法含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法：af(x)在區(qū)間D上能成立？a>f(x)min；a&f(x)在區(qū)間D上能成立？a<f(x)max.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=x(a+1)lnx-x(aeR且a<e),g(x)=|x2+exxex.當(dāng)xC1,e時(shí),求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a<1時(shí),若存在xee,e

18、2,使得對(duì)任意的x22,0,f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范圍.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/x)=(x1)2*a，.x若a01,當(dāng)xC1,e時(shí)，ffx)>0,則f(x)在1,e上為增函數(shù),f(x)min=f(1)=1a.若1<a<e,當(dāng)xC1,a時(shí)，f'x)&0,f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xCa,e時(shí)，fx)0,f(x)為增函數(shù).所以f(x)min=f(a)=a(a+1)lna1.綜上，當(dāng)a<1時(shí)，f(x)min=1a；當(dāng)1<a<e時(shí)，f(x)min=a(a+1)lna1"由題意知：f(x)(xCe,e2)的

19、最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.由知f(x)在e,e2上單調(diào)遞增,f(x)min=f(e)=e(a+1),又g'x)=(1ex)x.e當(dāng)xC2,0時(shí)，gx)<0,g(x)為減函數(shù)，則g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-a<1,ee2e解得a>7H,eiie2-2e)所以a的取值范圍為,1.<e+1J出層限時(shí)訓(xùn)練I事矍分層訓(xùn)練個(gè)提升能力，一、必做題1 .若函數(shù)f(x)=x32cx2+x有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.解析f'x=3x24cx+1,由f'x)=0有兩個(gè)不同的根，可得A=(-4c)2-12>0,c>中

20、或c<-呼.答案8,號(hào)ju但，+co)2 .(2018泰州期末)函數(shù)f(x)=x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是解析f'xl=3x23a=3(x2a).當(dāng)a00時(shí)，f'x)>0,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，無最小值.當(dāng)a>0時(shí)，f'x)=3(xya)(x+，a).當(dāng)xC(oo,g)和h/a,+oo)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xC(g)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)g<1,即0Va<1時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值.答案(0,1)3.設(shè)函數(shù) f(x)=ln x+mm(mC R),若對(duì)任意的 b>a>0,f (

21、b) f (a)b a<1包成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.f(b)f(a)解析對(duì)任意的b>a>0,<1包成立，等價(jià)于f(b)b<f(a)a恒成ba設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)x=lnx+x,則h(x)在(0,+°°)上是單調(diào)減函數(shù)，即h，x)=xm1100在(0,+8)上包成立，得m>x2+x=32，+；(x>0)恒成立，得m>".471所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是由+8一、二1、答案4,+°°J4.(2018南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào))設(shè)f(x)=4x3+mx2+(m3)x+n(m,nCR)是R上的單調(diào)增

22、函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.解析因?yàn)閒'xl=12x，2mx+(m-3),又函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以22212x+2mx+(m-3)>0在R上恒成立，所以(2m)-4X12(m-3)<0,整理得m12m+36<0,即(m6)200.又因?yàn)?m6)20,所以(m6)2=0,所以m=6.答案6一，3x25 .設(shè)函數(shù)f(x)=x萬一2x+5,右對(duì)任息的xC1,2,都有f(x)>a,則頭數(shù)a的取值范圍是.解析f'x=3x2x2,令f'x)=0,得3x2x2=0,解得x=1或x=2,又3f(1)=,f-3i=157,f(1)=11,f(2)=7,故f

23、(x)min=7,所以a<7.21327222答案(?7)6 .函數(shù)f(x)=x33x1,若對(duì)于區(qū)間3,2上的任意xi,x2,都有|f(xi)f(x2)gt,則實(shí)數(shù)t的最小值是.解析因?yàn)閒'x)=3x23=3(x-1)(x+1),令f'x)=0,得乂=土，可知一1,1為函數(shù)的極值點(diǎn).又f(3)=19,f(1)=1,f(1)=3,f(2)=1,所以在區(qū)間3,2上,f(x)max=1,f(x)min=19.由題設(shè)知在區(qū)I可3,2上,f(x)maxf(x)min&t,從而t120,所以t的最小值是20.答案207 .若函數(shù)f(x)=1x3+x22在區(qū)間(a,a+5)上存

24、在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是33.解析由題意得f'x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(一8,2),(0,+8)上是增函數(shù)，在（一2,0）上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示,令gx3+x22=2，得x=0或x=3,則結(jié)合圖象可知，3<a<0,S解得aC3,0).a+5>0,答案3,0)8.(2018徐州考前,K擬檢測(cè))當(dāng)乂2,1時(shí)，不等式ax3x2+4x+30何成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析當(dāng)xC(0,1時(shí)，得a»3s一4甘+1,令t=1,則tC1,+8),a>xxxx 3t3-4t2+t,令g(t)=3t34t2+t,tC1,+8),則g&#

25、39;t)(=9t28t+1=(t+1)(9t1),顯然在1,+00)上,g't)<0,g(t)單調(diào)遞減,所以g(t)max=g(1)= 6,因此a>-6;同理，當(dāng)x-2,0)時(shí)，得a<2.由以上兩種情況得一6<a< 2,顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為6,-2.答案6,-29 .若函數(shù)f(x)=；x3+2x2+2ax在弓，+°°/存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是.解析對(duì)f(x)求導(dǎo)得fx)=-x2+x+2a1 2I。=-廠2)+4+2a.當(dāng)xC13，+8口寸，f'xl的最大值為f'tU2+2a.令9+2a&

26、gt;0,解得a>9，99所以a的取值范圍是9,+°°j答案9，+°°)10 .已知函數(shù)f(x)=aexlnx1.設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)問；(2)證明：當(dāng)a>；時(shí)，f(x)>0.e(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,+8),f，x)=aex1.x由題設(shè)知，f(2)0,所以a=2e2.從而f(x)=2e2exlnx-1,f'x)=2e2exx.當(dāng)0<x<2時(shí)，f'x)<0;當(dāng)x>2時(shí)，f'x)>0.所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞

27、增.、,1一.ex(2)證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)>-lnx1(x>0).exex1設(shè)g(x)=Zlnx-1(x>0),則gx)=-(x>0).eex當(dāng)0<x<1時(shí)，g'x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，g'x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(1)=0.一一,1-因此，當(dāng)a>-時(shí)，f(x)>0.e11 .已知函數(shù)f(x)=xlnxa(x1)2x+1(aR).當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)<0對(duì)x(1,+oo)包成立，求a的取值范圍.解(1)若a=0,f(x)=x

28、lnxx+1,f'x)=lnx,x(0,1)時(shí),f'x)v0,f(x)為減函數(shù)，x(1,+oo)時(shí)，x)>0,f(x)為增函數(shù)，.f(x)有極小值，f(1)=0,無極大值.(2)f(x)=xlnxa(x1)2x+1<0在(1,+00)恒成立.若a=0,f(x)=xlnxx+1,f'x)=lnx,x(1,+00),f，x)>0,f(x)為增函數(shù)，.f(x)>f(1)=0,即f(x)<0不成立，.二a=0不成立.:41,lnx(X"一(:xa”<0在(i,+oo)恒成立，X(x1)(axa+1)不妨設(shè)h(x)=lnx-x，xC(1,+00),(x1)(ax+a1)h'x)=-2,x(1,+8),x，/31-ahx)=0,x=1或F-,a若a<0,則與a<1,x>1,h'x)>0,h(x)為增函數(shù)，h(x)>h=0(不合題意)；a,1f1a、，,一一一右0<a<2,xJ,a!,hx)>0,h(x)為增函數(shù)，h(x)>h(1)=0(不合題息)；-1右a2,x(1,+00),hx)<0,h(x)為減函數(shù)，h(x)<h(1)=0(符合題息).，、一，、一，1綜上所述，右x>1時(shí)，f(x