數(shù)學(xué)同步優(yōu)化指導(dǎo)(湘教選修45)練習(xí)：階段質(zhì)量評(píng)估3

1、階段質(zhì)量評(píng)估（三）數(shù)學(xué)歸納法與不等式證明平均值不等式三個(gè)重要不等式（時(shí)間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若10gxy=2,則x+y的最小值是B.2V33c. 23D.32解析：由10gxy=2,得y=2.x-x+y=x+4=x+x+-123x22x答案：A1111*,-,、.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+23+33+.-+芾2,nCN）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式().11A.1+了2, nCN，第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí)，1+*bc0,所以 a3b3 c3.233.1 十為十方支-111D. 1+2由排序

2、不等式，得a3xa+b3x b+ c3xca3b+b3c+ c3a.又知 abacbc, a2b2c2,+22a2bc+b2ca+c2ab.即a(abc)+b(bac)+c(cab)0.答案：B4,若5xi+6x2-7x3+4x4=1,貝U3x2+2x2+5x3+x2的最小值是()782A，彳5B.15782C. 3解析：二學(xué)+18+生+163525D. V3(3x2 + 2x2 + 5x2 + x4) 3x1x- + 3-2 X 2x2+,5x3 + 43x2+ 2x2 + 5x3+ x4 5-.782X 乂 / = (5x1 + 6x2 7x3 + 4x4)2=1,答案：B5.學(xué)校要開運(yùn)動(dòng)

3、會(huì)，需要買價(jià)格不同的獎(jiǎng)品40件，50件，20件，現(xiàn)選擇商店中單價(jià)元，3元，2元的商品作為獎(jiǎng)品，則至少要花（）A.300元B.360元C.320元D.340元解析：由排序原理可知，反序和最小，最小值為50X2+40X3+20X5=320（元）.答案：C6.已知x,y,zCR+,且1+2+3=1,則xyz的最小值是(xyz1A. 27B.27C. 162D.1162解析：x,. 1x -x -(x+y+z+t)2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=t=1時(shí)，取最小值4.答案：48.已知aC(0,+00)不等式x+12,x+423,，x+4n+1(nCN*),則a的xxx值為.解析：,.x+12,x+4?=X+x

4、+23xx22x. a x , x , x , x+ -n= 一+ +一+x n n nW5=(n+1)(=門+1.a=nn(nN*).答案：nn(nCN*)9.設(shè)xi,x2,，xn為不同的正整數(shù)，則m=L+%的最小值是解析：設(shè)a1，a2,，an是x1，x2,，xn的一個(gè)排列，且滿足aia2-1,a22,，ann.，111又1孑孑n7.我+拳+x3+-+x2a1+a+a2+喉1X1+2X+3x72+nx2=1+1I23n23n23n2+二+一3n、111答案：1+1+1+123n三、解答題(本大題共3小題，共35分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)10.(本小題滿分10分)設(shè)a

5、,b,cCR+,求證：丁111、9(a+b+c)日+b+b+c+a+c廠2.證明：.a,b,cR+,.2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3(a+b1(b+c1(c+a0,_J1、o3111-a+bb+ca+；a+bb+ca+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.11.(本小題滿分12分)設(shè)x0,求證：1 +x+x2+x2n(2n+1)xn.證明：(1)當(dāng)x1時(shí)，1WxWx2WWxn,由排序不等式，得1x1+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn1+xnTx+xn1,即1+x2+x4+x2nA(n+1)xn.又x,x2,x3,，xn,1為序列1,x,x2,，xn的一個(gè)排列，由排序不

6、等式，得1x+xx2+xnTxn+xn11xn+xxn-1+xnTx+xn1.即x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.將和相加，得1+x+x2+x2n(2n+1)xn.(2)當(dāng)0xxx2-xn.仍然成立，于是也成立.綜合(1)(2)可知，原不等式成立.12.(本小題滿分13分)已知正數(shù)x,y,z滿足5x+4y+3z=10.25x216y29z2(1)求證：/+q+J5.4y+3z3z+5x5x+4y(2)求9x2+9y2+z2的最小值.(1)證明：根據(jù)柯西不等式，得-25x216y29z212(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)4y+3z+3z+5x+5x+4y.(5x+4y+3

7、z).-.15x+4y+3z=10,.上+3+上送=5.4y+3z3z+5x5x+4y20(2)解：根據(jù)平均值不等式，得9x2+9y2+z22,9x29y2+z2=23x2+y2+z2.當(dāng)且僅當(dāng)*2=/+/時(shí)，等號(hào)成立.根據(jù)柯西不等式，得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100,1P(x2+y2+z2)2.當(dāng)且僅當(dāng)5=4=z時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，9x2+9y2+z2232=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=4,z=5時(shí)，等號(hào)成立，9x2+9y2+z2的最小值為18.B卷（時(shí)間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

8、中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.一32.一.1 .右n0,則n+孑的取小值為（）A.2B.4C.6D.1632nn32解析：n+32=2+2+32,應(yīng)用平均值不等式即可求出答案.答案：C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明111111,/42+E力Qn=k時(shí)，不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)是（）A1.1.11，A-22+32+(k+222-k+3.1.1.111B。22+32+(k+122k+2c.+禺T1 1111D-尹相+丹力k解析：當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式變?yōu)槭?心1-23(k+1j(k+2)2(k+1汁2答案：A3,已知a2+a2+a2=1,x2+x2+X2=1,則ax+a2X2+anXn

9、的最大值為()A.1B.nC.5D,2解析：由柯西不等式，得(a2+a2+a2)(x2+x2+-+x2)(a1x1+a2x2+j+anxn)2.即11(ax+a2x2+anxn)2.ax+a2x2+anxnW1.故所求的最大值為1.答案：A4.一長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c且a+b+c=9,當(dāng)長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，長(zhǎng)方體的表面積為（）B. 54A.27C. 52D.563一斛析： 9= a + b+ c 3,abc,，abcw 27.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 3時(shí)取得最大值 27,此時(shí)其表面積為 6X 32=54.答案：B5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意x0和正整數(shù)n,者B有 xn + xn 2+

10、xn 4+hn4 + x1, 一 jn+1”時(shí)，需要驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值 Xno應(yīng)為（）B. n0=2C. no= 1,2D.以上答案均不正確1. .一 1斛析：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=x+ X,右邊=1+1,而x+x”即n=1時(shí)不等式成上答案：A6.設(shè)a, b, c為正數(shù)，且a+2b+ 3c= 13,求V3a+亞b+五的最大值為（）13 3A3解析：(a+2b + 3c)(* 2 +12+D, 613賭 j I fya V3+v2b 1+怎左/= (V3a+V2b+c)2. .(強(qiáng)+亞+黃)2W呼. 3當(dāng)且僅當(dāng)去=尊=空時(shí)取,3又 a + 2b+3c= 13,.3a+ - 2b+ c有最

11、大值 今13 3答案：A二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上 ）7.函數(shù) y= 1 +sin a ,A1 + cos a J解析：由柯西不等式，得y= 12+ f-r=) k/sin a)12 +COCOS a(1+#)2=3+2倨當(dāng)且僅當(dāng)11I)sin2(X1)“cosasjnin民即“=n寸等號(hào)成立答案：3+22(a,)上恒成立，則實(shí)數(shù) a的最小值18.已知關(guān)于x的不等式2x+；27在區(qū)間2a,我+c)x-a，ha+hb+hc9r,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).故ha+hb+hc=9r時(shí)，三角形為等邊三角形.答案：等邊三、解答題(本大題共3小題，共3

12、5分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)10 .(本小題滿分10分)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1.222,(1)求證.+-y+-(刁y+2zz+2xx+2y3.(2)求4x+4y+4z2的最小值.證明：x0,y0,z0,由柯西不等式，得x2.y2z22(y+2z)+(z+2x)+(x+冽冒豆+為十仁廣(x+y+z).又x+y+z=1,2222J段Oxz)Jy+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3(2)解：由平均值不等式，得4x+4y+4z2334x+y+z2,.x+y+z=1,x+y+z2=1z+z2=!z+3-3244故4X+4y+4z2A3-3y4|=3V2,1

13、1當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4,z=2時(shí)等號(hào)成立.4x+4y+4z2的最小值為3m11 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,mCR,且關(guān)于x的不等式f(x+2)0的解集為1,1.(1)求m的值._一一1,1.1(2)若a,b,cCR,且&+3+獲=m，求證：a+2b+3c9.(1)解：.f(x+2)=m-|x|,.f(x+2)0等價(jià)于|x|wm.由|x|Wm有解，得m0,且其解集為x|mwxwm.又f(x+2)0的解集為1,1,故m=1.111(2)證明:由(1)知;,+2b+3：=1，a2b3c又a,b,cCR+,由柯西不等式，得a+2b+3c=(a+2b+3c)6+21b+力帆/

14、通盤+相意2=9.12 .(本小題滿分13分)已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，bi=1,bi+b2+bio=145(neN*).(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=logab1,(其中a0且aw1),記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較SnTlOgabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.3解：(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意，得10X1+10%20TXd=145.d=3,bn=3n2.(2)由bn=3n-2,得Sn=lOga(1+1)+lOga1+4戶+a+3n1jToga”11).3nb)又110gabn+1=loga3/3n+1,31要比較Sn與110gabn+1的大小，可先比較3(

15、1+1)卜+4(1+37132,占3/3n+1的大小.取n=1,有(1+1)知31,nCN*時(shí)，有(1+1力+9,力+372V3.下面用數(shù)學(xué)歸納法說明：當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(kCN)時(shí)，不等式成立，即(1+1)-4卜卜+3k1_2；33k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí)，仙11，%(3k+2).1:工3/3k+13k+1廠3k+1_3k+11313k+2-A3k+4)332=(3k+2j(3k+4(3k+1)3k+129k+4=20,3k+1.弧+13r-3y-3k+1(3k+2)3k+4=3k+1+1.（1+1）+4,Ai1+3；l1+3（k+當(dāng) 0a1 時(shí)，Sn1+S23/3R都成立再由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得1當(dāng)a1時(shí)，Sn-logabn+1；3l-a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.1.1解析：2x+2=(xa)+(xa)+2+(xa)(xa)2x+/丁3濟(jì)京二+2a=3+2a.當(dāng)且僅當(dāng)x-a=-