數(shù)學(xué)分析教案(完整)

1、教案2006-2007學(xué)年第1學(xué)期課程名稱：數(shù)學(xué)分析3課程編號(hào)：4081103學(xué)院、專業(yè)、年級(jí):數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、05級(jí)任課教師：姜子文教師所在單位：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山東師范大學(xué)3教案課程簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)分析課程是高等師范院校和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本、?？频囊婚T重要基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、概率論、實(shí)變分析與泛函分析等后繼課程的階梯，是考取數(shù)學(xué)類碩士研究生的必考基礎(chǔ)課之一。本課程內(nèi)容包括極限論、函數(shù)微分學(xué)、函數(shù)積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)等方面的系統(tǒng)知識(shí)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具極限的思想與方法研究函數(shù)的分析特性連續(xù)性、可微性、可積性。本課程所講授

2、的這些內(nèi)容和方法是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生必須具備的最基礎(chǔ)的基本訓(xùn)練，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)類專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的重要基礎(chǔ)課。數(shù)學(xué)分析課程在大學(xué)低年級(jí)開設(shè)，它集科學(xué)性、嚴(yán)密性與連貫性于一體，系統(tǒng)性與邏輯性強(qiáng)，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，也是區(qū)分初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的標(biāo)志。對(duì)于剛上大學(xué)的大學(xué)生來說，在從初等數(shù)學(xué)(用非極限方法研究常量數(shù)學(xué))到高等數(shù)學(xué)(用極限方法研究變量數(shù)學(xué))的轉(zhuǎn)變過程中，本課程的學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵的作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對(duì)近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展有一個(gè)初步的了解，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力與意識(shí)。通過本課程的講授，可以引導(dǎo)學(xué)生了解當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新發(fā)

3、展?fàn)顩r，培養(yǎng)學(xué)生探索新知識(shí)的意識(shí)和能力。數(shù)學(xué)分析課程授課時(shí)間為三個(gè)學(xué)期，各學(xué)期課程名稱分別為：數(shù)學(xué)分析(1)、數(shù)學(xué)分析(2)、數(shù)學(xué)分析(3)。其中數(shù)學(xué)分析(1)主要包括如下內(nèi)容：函數(shù)；數(shù)列極限；函數(shù)極限；函數(shù)連續(xù)性；實(shí)數(shù)連續(xù)性的基本定理；導(dǎo)數(shù)與微分。授課學(xué)期：第一學(xué)期；授課總時(shí)數(shù)：108學(xué)時(shí)；學(xué)分：6學(xué)分。數(shù)學(xué)分析(2)主要包括如下的內(nèi)容：不定積分；定積分；定積分的應(yīng)用；級(jí)數(shù)理論。授課學(xué)期：第二學(xué)期；授課總時(shí)數(shù)：108學(xué)時(shí)；學(xué)分：6學(xué)分。數(shù)學(xué)分析(3)主要包括如下的內(nèi)容：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)可微性，多元函數(shù)Taylor公式，多元函數(shù)極值，多元函數(shù)定積分、面積分、線積分及格林公式，高斯公式，

4、斯托克斯公式。授課學(xué)期：第三學(xué)期；授課總時(shí)數(shù)：98學(xué)時(shí)；學(xué)分：6學(xué)分。現(xiàn)用教材：數(shù)學(xué)分析課程現(xiàn)在所用教材為面向21世紀(jì)課程教材和國家九五重點(diǎn)教材華東師范大學(xué)主編的數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版）。同步參考教材：數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），吳良森等編著；數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指南（自編）（上、下及下下冊(cè)）；數(shù)學(xué)分析研究，馬順業(yè)編著；數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊(cè)），劉玉璉等等編著等教材或教學(xué)參考書。數(shù)學(xué)分析3教案教學(xué)大綱1 、說明數(shù)學(xué)分析（3）的教學(xué)內(nèi)容為多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)的微分學(xué)、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參量正常積分、曲線積分、重積分、曲面積分等七章內(nèi)容。通過教學(xué)，可使學(xué)生了解到多元函數(shù)與

5、一元函數(shù)的差異與聯(lián)系，理解到積分學(xué)多方面的應(yīng)用。另外，由于學(xué)期的差異所造成的原因，本學(xué)期的數(shù)學(xué)分析3這門課程還將講述傅立葉（Fourier）級(jí)數(shù)這一章內(nèi)容。本課程授課學(xué)期：第三學(xué)期；授課總時(shí)數(shù)：108學(xué)時(shí)；學(xué)分：6學(xué)分。2 、課程內(nèi)容及課時(shí)分配一、傅立葉（Fourier）級(jí)數(shù)（11學(xué)時(shí)）三角級(jí)數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅立葉級(jí)數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼勒貝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立葉級(jí)數(shù)的部分和公式，按段光滑且以2冗為周期的函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù)的收斂定理，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，以2l為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，致收斂性定理，傅立葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分，維

6、爾斯特拉斯的函數(shù)逼近定理二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)（13學(xué)時(shí)）平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域等），平面點(diǎn)集的基本定理一區(qū)域套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限，累次極限，二元函數(shù)連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n維空間與n元函數(shù)（距離、三角形不等式、極限、連續(xù)性等）*。注：建議用映射觀點(diǎn)定義多元函數(shù)。三、多元函數(shù)的微分學(xué)（19學(xué)時(shí)）偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式的不變性，高階導(dǎo)數(shù)及其與順序無關(guān)性，高階微分，二元

7、函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值。注：在極值舉例中可介紹“最小二乘法”。四、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用（13學(xué)時(shí)）隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關(guān)*。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。注：建議用映射觀點(diǎn)闡述函數(shù)組、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換的概念。五、含參量積分（13學(xué)時(shí)）含參量積分概念，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換*。r函數(shù)與b函數(shù)。六、曲線積分（10學(xué)時(shí)）第一型和第二型曲線積分概念與計(jì)算，格林（Gree

8、n）公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。七、重積分（16學(xué)時(shí)）平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計(jì)算（化為累次積分）二重積分的換元法（極坐標(biāo)變換與一般變換）。三重積分定義與計(jì)算，三重積分的換元法（柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換與一般變換）。重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）。n重積分*。無界區(qū)域上反常二重積分的收斂性概念，無界函數(shù)的反常二重積分。注1：用微元法講重積分應(yīng)用。2注1:在講授無界區(qū)域上非正常二重積分時(shí)，介紹oexdx的計(jì)算。八、曲面積分（13學(xué)時(shí)）曲面的側(cè)，第一型和第二型曲面積分概念與計(jì)算，奧斯特羅格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。場(chǎng)論初步（場(chǎng)

9、的概念、梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)、旋度場(chǎng)、管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng)）楔積、微分形式、外微分與一般斯托克斯公式*0注1:本單元最后的*號(hào)部分僅作形式的處理。注2:為了與數(shù)學(xué)分析其它分支聯(lián)系的更緊密，我們建議主要介紹康托爾的基本序列說,對(duì)戴德金德分割說僅介紹其大意。數(shù)學(xué)分析3教案授課時(shí)間2006.9.12第1次課授課章節(jié)釬五章第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講

10、義（第三版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：1 .明確認(rèn)識(shí)三角級(jí)數(shù)的產(chǎn)生及有關(guān)概念；2 .理解以2/為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的有關(guān)概念、定義和收斂定理.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：將一個(gè)函數(shù)展開成Fourier級(jí)w難點(diǎn)：Fourier級(jí)數(shù)的收斂性的判別.數(shù)；教學(xué)內(nèi)容：一、傅立葉級(jí)數(shù)1.三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)的定義形如曳(ancosnxbnsinnx)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)，它是由三角函數(shù)2n1列(也稱為三角函數(shù)系)1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).注：是由三角函數(shù)列(或三角函數(shù)系)1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,所產(chǎn)生的函

11、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一a般形式A0(AncosnxBnsinnx),之所以表不為為一(ancosnxbnsinnx),正為了討論n12n1該級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)系數(shù)an,bn與其和函數(shù)之間關(guān)系表述方便.數(shù)學(xué)分析3教案三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用背景在自然界中周期現(xiàn)象是很多的，如單擺運(yùn)動(dòng)、無線電波等，都可以用周期函數(shù)一一正、余弦函數(shù)來表示，這是因?yàn)橹芷诂F(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是周期函數(shù).但是較復(fù)雜的周期現(xiàn)象如熱傳導(dǎo)、電流傳播、機(jī)械振動(dòng)等不僅需要正、余弦函數(shù)表示，而且需要很多以至于無窮多個(gè)正、余弦函數(shù)疊加來表示，這在數(shù)學(xué)上就是將周期函數(shù)展開成無窮多個(gè)正、余弦函數(shù)之和的問題.因此要研究由三角函數(shù)列所產(chǎn)生的級(jí)數(shù)即三角級(jí)數(shù)，特別必須研究由一個(gè)

12、函數(shù)做出的三角級(jí)數(shù)即傅立葉級(jí)數(shù)2.正交函數(shù)系bb9定義設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)定義于區(qū)間a,b上.若有f(x)g(x)dx0,且f2(x)dx0,aabg2(x)dx0,則稱函數(shù)f(x)與g(x)定義于區(qū)間a,b上是正交的.若定義于區(qū)間a,b上的函數(shù)列abb2Un(x)滿足Un(x)Um(x)dx0(nm),且un(x)dx0,則稱函數(shù)列un(x)在區(qū)間a,b上具有aa正交性，或稱函數(shù)列un(x)在區(qū)間a,b上是正交函數(shù)系.例如，三角函數(shù)系1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,是區(qū)間,上的正交函數(shù)系.事實(shí)上，1cosnxdx0,1sinnxdx0,cosnxcosmxdx0(nm),

13、sinnxsinmxdx0(nm),222cosnxsinmxdx0,而1dx2,cosnxdx,sinnxdx.容易看出，三角函數(shù)系1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,中所有函數(shù)具有共同周期2,故容易驗(yàn)證若三角級(jí)數(shù)a_(ancosnxbnsinnx)收斂，則它的和函數(shù)一定是一個(gè)以2為周期的函數(shù).2 n13 .三角級(jí)數(shù)收斂定理及其性質(zhì)定理15.1若級(jí)數(shù)|且(|an|bn|)收斂，則三角級(jí)數(shù)%(ancosnxbnsinnx)在整個(gè)數(shù)軸2n12n1上絕對(duì)收斂且一致收斂.證明：利用優(yōu)級(jí)數(shù)判別法.性質(zhì)：定理15.2若在整個(gè)數(shù)軸上f(x)曳(ancosnxbnsinnx)且等式右邊級(jí)數(shù)一致收

14、斂，則則有20n1如下關(guān)系式：1anf(x)cosnxdx,n0,1,2,數(shù)學(xué)分析3»教案bnf(x)sinnxdx,n1,2,證明：利用一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性、第十三章第一節(jié)習(xí)題4、三角函數(shù)系的正交性即可二、以2為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)1 .傅立葉級(jí)數(shù)的定義設(shè)£(刈是(，)上以2為周期的函數(shù)，且f(x)在,上可積，稱形如a0一(ancosnxbnsinnx)2 n1的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為f (x)的傅立葉級(jí)數(shù)(或f(x)的傅立葉展開式)，其中1一、，1a0 f (x)dx , an1f (x)sin nxdx, n 1,2，f(x)cosnxdx,n1,2，bn稱為f(x

15、)的傅立葉系數(shù)，記為f(x)曳(ancosnxbnsinnx).2n1注：1)在未討論收斂性，即證明電(ancosnxbnsinnx)一致收斂到f(x)之前，不能將“”改2n1bn sinnx)是f (x)的傅立為“=”；此處“”也不包含“等價(jià)”之意，而僅僅表示巴(ancosnx2ni葉級(jí)數(shù)，或者說f (x)的傅立葉級(jí)數(shù)是ao(an cosnx bn sin nx). n 12)求,上f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)，只需求出傅立葉系數(shù)例1設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，其在,上可表示為f(x) 1,00,，求f (x)的傅立0葉展開式.三、收斂定理1 .按段光滑的定義設(shè)函數(shù)f(x)定義于區(qū)間a, b上.若

16、函數(shù)f (x)在a, b上至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)在a, b上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存在且連續(xù)，在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù)的左、右極限存在，則稱f(x)在區(qū)間a, b上按段光滑.(注：導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)只能是第二類間斷點(diǎn)數(shù)學(xué)分析3教案注：區(qū)間a, b上的按段光滑函數(shù)f(x)具有性質(zhì)：(1) f (x)在區(qū)間a, b上可積.(2) f (x)在區(qū)間a, b上沒一點(diǎn)都存在左右極限f (x 0),且有l(wèi)im f(x_t)_f(x_0)f (x °), Hm f(xJ)f(x 0) f(x 0).x 0tx 0t(3)補(bǔ)充定義f在區(qū)間a, b上那些至多有限個(gè)不存在點(diǎn)上的值后(仍記為f ),則f

17、在區(qū)間a,b上可積.2 .收斂定理定理15.3 以2為周期的函數(shù)f (x)在區(qū)間,上按段光滑，則在每一點(diǎn) x , , f的傅立a葉系數(shù) (an cosnx bn sin nx)收斂于f在點(diǎn)x的左、右極限的算術(shù)平均值，即2 n 1f(x 0) f(x 0)a0(ancosnxbnsinnx),n1其中an,bn為f的傅立葉系數(shù).(證明放到以后進(jìn)行)推論若函數(shù)f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間,上按段光滑，則f的傅立葉級(jí)數(shù)在(,)上收斂于f.注：3)計(jì)算f(x)的傅立葉系數(shù)的積分也可以沿別的長(zhǎng)度為2的區(qū)間來積.如121212a0一0f(x)dx,an。f(x)cosnxdx,n1,2,，bn

18、。f(x)sinnxdx,n1,2,例2設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，其在0,2)上等于x,求f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)注：4)在具體討論函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式時(shí)，通常只給出f(x)在長(zhǎng)為2的區(qū)間上的解析表達(dá)式，例如在0,2)上的解析表達(dá)式，此時(shí)我們應(yīng)對(duì)f(x)作解析延拓，即定義f(x)f(x2n),x2n,2(n1),n0,1,2,使其以2為周期，它有下述性質(zhì)：a)x0,2)時(shí)，f(x)f(x)；b)f(x)以2為周期.因此f的傅立葉級(jí)數(shù)就是指f的傅立葉級(jí)數(shù).例3把函數(shù)f(x)x,x,展開為Fourier級(jí)數(shù).數(shù)學(xué)分析3»教案解參閱例1,有2(n1八n1sinnx1)nf(x),Qxx,

19、.例4展開函數(shù)f(x)|x|,x,.解bn0；a02Hxdx0.a2n0xcosnxdx2.xsinnxn20nsinxdx022cosnxn(cos n 1)42 n0,n為奇數(shù),n為偶數(shù)。函數(shù)f(x)在,上連續(xù)且按段光滑，又f( ) f(),因此有( 倘令x在區(qū)間(解法(直接展開)2an x2 cos nxdx o函數(shù)f(x)2 .x在區(qū)間(|x| 24 cos(2k 1)x.2 , x k 1 (2k 1)2k 1 (2k11)12 ,2 k 1(2k1)2)內(nèi)把函數(shù)f (x)2x展開成Fouriera02x2dx0022x sinnx nxsin xdx on 4(1)n 2. n 1

20、,2, n,)內(nèi)連續(xù)且按段光滑).2ncosnx4(1)2k1n數(shù)學(xué)分析3教案由于f()f(),該展開式在,上成立.(在該展開式中，取x，得12；取x0,得"2.)k1n6k1n12解法二(間接展開：對(duì)例3中f(x)x的展開式作積分運(yùn)算)由例3,在區(qū)間(，)內(nèi)有八 n 1 sinnx1)xtdt1)xsinntdt0c 11) f (cosnx 1) n1)n 12 n1)cosnx2n為求得n(1)n2n上式兩端在,上積分，2x-dx21)n12ndxL? cosnxdx n(1)n(1)n12n12因此，x2(1)n1cosnx2n注：若題目中給定的函數(shù)只是在長(zhǎng)度為的區(qū)間上,解題

21、時(shí)一定要先延拓，再按收斂定理判斷傅立葉級(jí)對(duì)該式兩端積分,由Fourier級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,有數(shù)是否收斂，然后進(jìn)行展開.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判斷函數(shù)是否按段光滑，即傅立葉級(jí)數(shù)是否收斂，然后進(jìn)行展開數(shù)學(xué)分析3»教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:1(1),2(2),3(1),7(1),8下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)15.2以21為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對(duì)本次課講授的知識(shí)基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日數(shù)學(xué)分析3教案授課時(shí)間2006.9.14第2次課授課章節(jié)釬五章第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時(shí)安排3使用

22、教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：（1）掌握以21為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開的基本方法.（2）掌握通過對(duì)函數(shù)做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)的基本方法.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：將一個(gè)以21為周期的函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)；難點(diǎn)：理解將一個(gè)函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù).教學(xué)內(nèi)容：一.以21為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)

23、：設(shè)函數(shù)f(x)以21為周期，在區(qū)間1,1上(R)可積.作代換x",則函數(shù)F(t)f(U)以2為周期.由x七是線性函數(shù)，F(xiàn)(t)在區(qū)間,上，)可積.函數(shù)F(t)的Fourier系數(shù)為1anF(t)cosntdt,n0,1,2,1bn一F(t)sinntdt,n1,2,a0F(t)(ancosntbnsinnt).2 n1數(shù)學(xué)分析3教案還原為自變量x,F到F(t)f(-)f(x),就有f(x)F(t)(ancos2n1lxnxbnsin-),其中an1,、.1一F(t)cosntdtl.nx.f(x)cosdx,nQ1,2,bn11iF(t)sinntdtnxf(x)sindx,n1,

24、2,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間l,l上按段光滑時(shí)，f(x)可展開為Fourier級(jí)數(shù).注三角函數(shù)系1,cos,sin,cosn-x,sinn-x,是區(qū)間l,l上的正交函llll數(shù)系.把函數(shù)f(x)0,5x3,0x0,展開成Fourier級(jí)數(shù).P72例15正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)：1.區(qū)間,上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù):設(shè)函數(shù)f以21為周期的偶函數(shù)，或是定義于1,1上的偶函數(shù)，則f的傅立葉級(jí)數(shù)為a0f(x)一2nx2lnxancos'j,an0f(x)cosdx,n0,1,2,同理，設(shè)函數(shù)f以21為周期的奇函數(shù)，或是定義于l,l上的齊函數(shù)，則f的傅立葉級(jí)數(shù)為nxf(x)bnsinn1l，bn

25、2.nx.-pof(x)sindx,n1,2,數(shù)學(xué)分析3教案2牛寸力Ll時(shí)有f(x)bnsinnx,bnof(x)sinnxdx,n1,2,.n12.奇展開和偶展開：在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)需把定義在0,l(或0,)上的函數(shù)f展開成余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù).可先把定義在0,l(或0,)上的函數(shù)作偶式延拓或作齊式延拓到l,l(或,)上，然后求延拓后函數(shù)的傅anx2lnx立葉級(jí)數(shù).也可不必做延拓，直接按公式f(x)一acos,anf(x)cosdx,2n1nll0lnx2inxn0,1,2,或f(x)bnsin,bn-0f(x)sindx,n1,2,直接計(jì)算出f的傅立葉系n1111數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù).把定義在0,

26、l(或0,)上的函數(shù)f展開成余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù)通常稱為偶展開和奇展開例2設(shè)f(x)|sinx|,x,.求f的Fourier級(jí)數(shù)展開式.P74例2例3把定義在0,上的函數(shù)1,0xh,-1f(x)-,xh,(其中之一0h)0,hx展開成正弦級(jí)數(shù).例4把函數(shù)f(x)x在(0,2)內(nèi)展開成：1)正弦級(jí)數(shù)；2)余弦級(jí)數(shù).P76例4數(shù)學(xué)分析3»教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1(1)、(2),2,4,5,6.下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)15.3收斂定理的證明實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對(duì)本次課講授的知識(shí)基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日數(shù)學(xué)分析3教案授課章節(jié)釬五章第二節(jié)任課

27、教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社1982年版第二_次課授課時(shí)間2006.9.19教學(xué)目的與要求:(1)掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；了解收斂定理的證明要點(diǎn).(2)理解收斂定理的證明.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn):重點(diǎn)：貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理、預(yù)備定理2.難點(diǎn)：收斂定理的證明.教學(xué)內(nèi)容:定理15.3 ( D

28、ini定理)以2為周期的函數(shù)f(x)在區(qū)間,上按段光滑，則在每一點(diǎn)x , , f的傅立葉系數(shù)ao(an cosnx1bn sin nx)收斂于f在點(diǎn)x的左、右極限的算術(shù)平均值，即f(x 0) f(x 0)ao(an cosnx1bn sin nx)，其中an,bn為f的傅立葉系數(shù).a-證明思路：設(shè)f(x)a02(an cosnxn 1bnsinnx),對(duì)每一點(diǎn)x ,我們要證明a0 (an cosnx bn sin nx)2 n 1f(x 0)-f(x 0).即證明數(shù)學(xué)分析3»教案a0 nlim (一 (an cosnx bn sin nx) n 2 n 1f(x 0) f(x 0)0

29、.方法是把該極限表達(dá)式化為積分，利用RiemanrLebesgue定理證明相應(yīng)積分的極限為零施證方案：1.寫出Sn(X)a0(an cosnx2 n 1bn sin nx)的簡(jiǎn)縮形式.稱這一簡(jiǎn)縮形式為Sn(X)的積分形式，或稱為Dirichlet 積分，即C1Sn(X)f (xt)sin2n 1t2dt.2sin - 2利用該表示式，式"X 0)2f(x 0)Sn (x)可化為f (x 0) f (x 0)2Sn(x)f (x 0) f (x 0)2f(x2n 1sin1t) 2 t dt2sin2f(x 0)2f(xt)sin2n 1t22sin t2dtf(x 0)21 0 f(

30、xt)sin2n 1t22sint2于是把問題歸結(jié)為證明一n1sin1lim(-f(xt)2dt)0,no0t2sin2_2n1.-f(x0)1osin2t和Jm(-f(xt)2dt)0.n22sint2數(shù)學(xué)分析3教案這兩式的證明是相同的，只證第一式.2.為證上述第一式，先利用三角公式12cost2cos2tcosnt.2n1sint2.tsin2建立所謂Dirichlet八1積分.2n1sin12dt1,利用該式把f(x0)表示為積分，即把f(x0)表示為Dirichlet積分0.tsin222f(x 0)2f(x 0).2nsin21t2sin t2dt1.于是又把上述1中所指的第一式左端

31、化為n-f(x20)f(xsin2n，)2t2sin1tdt)3.利用所謂Riemannlimn1.10(f(x0)f(x,2n1sin少t2sintdt.Lebesgue定理證明上述極限為零.為此，先證明Bessel不等式(P78預(yù)備定理1),再建立Riemann-Lebesgue定理.4.把上式化為應(yīng)用RiemannLebesgue定理的形式，即令(t)f(xt)f(x0)t丹，t(0,1,sin2數(shù)學(xué)分析3教案.2n11sint則lim1(f(x0)f(xt)2dtn0t2sin2lim1no(t)sinn2tdt.為使最后這一極限等于零，由RiemannLebesgue定理，只要函數(shù)在

32、區(qū)間0,上可積.因此希望(00)存在.由函數(shù)f在區(qū)間,上按段光滑，可以驗(yàn)證(00)存在.預(yù)備定理及其推論：為實(shí)施以上證明方案，我們先建立以下預(yù)備定理和其推論預(yù)備定理1(Bessel不等式)若函數(shù)f在區(qū)間,上可積，則有Bessel不等式其中an,bn為證P78.2a。2(a2b2)11f的傅立葉系數(shù).推論1(Riemann-Lebesgue定理)limnf(x)cosnxdx0,證P79.推論2若函數(shù)limn證P79.預(yù)備定理2f2(x)dx,若函數(shù)f在區(qū)間上可積，則有l(wèi)imf(x)sinnxdxnf在區(qū)間,上可積，則有f(x)sin(n1)xdx0,limn0f(x)sin(n若函數(shù)f(x)是

33、以2為周期的周期函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)部分和Sn(x)有積分表示式0.12)xdx0.,且在區(qū)間,上可積，則函數(shù)f(x)的數(shù)學(xué)分析3教案2n1sin1Sn(X)f(xt)2dt.2sin2當(dāng)t0時(shí)，被積函數(shù)中的不定式由極限limsin(n為n2sin；t1，一、，來確定.2Dirichlet 積分:.2nsin2.tsin21tdt1.證由三角公式12cost2cos2t.2n1sint,2cosnt.tsin2.2n1sint2dt.tsin21.Dini定理的證明：P8182.數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1Fourier級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系2設(shè)可積函數(shù)方）的Fourier級(jí)數(shù)在

34、區(qū)間-石，后上一致收斂于丁,則成立Parseval等式.汽卜2公下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)16.1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對(duì)本次課講授的知識(shí)基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日授課時(shí)間2006.9.21第4次課授課章節(jié)弟十八F第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊(cè)），

35、高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：1了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義_22了解R的完備性教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義難點(diǎn)：掌握R2的完備性定理教學(xué)內(nèi)容：§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)在前面各章中，我們所討論的函數(shù)都只限于一個(gè)自變量的函數(shù)，簡(jiǎn)稱一元函數(shù).但是在更多的問題中所遇到的是多個(gè)自變量的函數(shù).例如，矩形的面積sxy,描述了面積s和長(zhǎng)x、寬y這兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系.又如，燒熱的鐵塊中每一點(diǎn)的溫度T與該點(diǎn)的位置之間有著確定的函數(shù)關(guān)系，即當(dāng)鐵塊中點(diǎn)的位置用坐標(biāo)x,y,z表示時(shí)，溫度T由x,y,z這三個(gè)變量所確定.如果進(jìn)一步考慮上述鐵塊

36、的冷卻過程，那么溫度T還與時(shí)間t有關(guān)，即T的值由x,y,z,t這四個(gè)變量所確定.這種兩個(gè)、三個(gè)或四個(gè)自變量的函數(shù)，分別稱為二元、三元或四元函數(shù)，一般統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但也由于自變量由一個(gè)增加到多了，產(chǎn)生了某些新的內(nèi)容，讀者對(duì)這些內(nèi)容尤其要加以注意.對(duì)于多元函數(shù)，我們將著重討論二元函數(shù)在掌握了二元函數(shù)的有關(guān)理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數(shù)中去一元函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)集；二元函數(shù)的定義域?qū)⑹亲鴺?biāo)平面上的點(diǎn)集.因此，在討論二元函數(shù)之前，有必要了解有關(guān)平面點(diǎn)集的一些基本概念一平面點(diǎn)集由平面解析幾何知道，當(dāng)在平面上確定了一個(gè)

37、坐標(biāo)系(今后如不特別指出，都假定是直角坐標(biāo)系)數(shù)學(xué)分析3教案之后，所有有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)與平面上所有的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng).因此，今后將把“數(shù)對(duì)”與“平面上的點(diǎn)”這兩種說法看作是完全等同的.這種確定了坐標(biāo)系的平面，成為坐標(biāo)平面.坐標(biāo)平面上滿足某種條件P的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，并記作E(x,y)|(x,y)滿足條件P.例如全平面上的點(diǎn)所組成的點(diǎn)集是R2(x,y)|x,y.(1)平面上以原點(diǎn)為中心，r為半徑的圓內(nèi)所有的點(diǎn)的集合是222-C(x,y)|xyr.(2)而集合S(x,y)|axb,cyd.(3)則為一矩形及其內(nèi)部所有點(diǎn)的全體，為書寫上的方便，也常把它記作a,bc,d.平面點(diǎn)集(x,y

38、)|(xXo)2(yy。)22與(x,y)|xXo|,|yyo|分別稱為為以點(diǎn)A(xo,yo)為中心的圓鄰域與方鄰域(圖16-1).由于點(diǎn)A的任一圓鄰域可以包含在點(diǎn)A的某一方鄰域之內(nèi)(反之亦然)，因此，通常用“點(diǎn)A的鄰域”或“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域，并以記號(hào)U(A;)或U(A)來表示，點(diǎn)A的空心鄰域是指222(x,y)|0(xxo)2(yyo)22或(x,y)|xxo|,|yyo|,(x,y)(x°,yo)并用記號(hào)U(A;)或U(A)來表示.下面利用鄰域來描述點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系.任意一點(diǎn)AR2與任意一個(gè)點(diǎn)集ER2之間必有以下三種關(guān)系之一：(i)內(nèi)點(diǎn)一若存在點(diǎn)A的某鄰域U(A

39、),使得U(A)E,則稱點(diǎn)A是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)；E的全體內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合成為E的內(nèi)部，記作intE.(ii) 外點(diǎn)一若存在點(diǎn)A的某鄰域U(A),使得U(A)PE,則稱A是點(diǎn)集E的外點(diǎn).(iii) 界點(diǎn)一若在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)既含有屬于E的點(diǎn)，又含有不屬于E的點(diǎn)，則稱A是集合E的界點(diǎn).即對(duì)任何正數(shù)，恒有數(shù)學(xué)分析3教案U(A;)AE且U(A;)ACE,其中匚ER2E是E關(guān)于全平面的余集，£的全體界點(diǎn)構(gòu)成E的邊界，記作E.E的內(nèi)點(diǎn)必定屬于E；E的外點(diǎn)必定不屬于E；E的界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.點(diǎn)A與點(diǎn)集E的上述關(guān)系是按“點(diǎn)A在E內(nèi)或在E外”來區(qū)分的.此外，還可按在點(diǎn)A的近旁是否密集著E中無窮

40、多個(gè)點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系：(i) 聚點(diǎn)一若在點(diǎn)A的任何空心鄰域U(A)內(nèi)都含有E中的點(diǎn)，則稱A是E的聚點(diǎn)，聚點(diǎn)本身可能屬于E,也可能不屬于E.(ii) 孤立點(diǎn)一若點(diǎn)AE，但不是E的聚點(diǎn)，即存在某一正數(shù)，使U(A)IE,則稱點(diǎn)A是E的孤立點(diǎn).顯然，孤立點(diǎn)一定是界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)和非孤立的界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；既不是聚點(diǎn)，又不是孤立點(diǎn)，則必為外點(diǎn).例1設(shè)平面點(diǎn)集_一.、.，22-D(x,y)|1xy4.(4)滿足1x2y24的一切點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn)；滿足x2y21的一切點(diǎn)是D的界點(diǎn)，它們都屬于D；滿足x2y24的一切點(diǎn)也是D的界點(diǎn)，但它們都不屬于D；點(diǎn)集D連同它外圓邊界上的一切點(diǎn)都是D的聚點(diǎn).根據(jù)點(diǎn)集中所屬點(diǎn)的特征，

41、我們?cè)賮矶x一些重要的平面點(diǎn)集開集一若平面點(diǎn)集所屬的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)（即intEE）,則稱E為開集.閉集一若平面點(diǎn)集E的所有聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集.若點(diǎn)集E沒有聚點(diǎn)，這時(shí)也稱E為閉集.在前面列舉的平面點(diǎn)集中，（2）所表示的點(diǎn)集C是開集；（3）所表示的點(diǎn)集S是閉集；（4）所表示的點(diǎn)集D既非開集，有非閉集；而且（1）所表示的點(diǎn)集R2既是開集又是閉集.此外，還約定既是開集又是閉集.可以2證明，在一切平面點(diǎn)集中，只有R與是既開又閉的點(diǎn)集.開域一若非空開集E具有連通性，即E中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于E的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱E為開域（或稱連通開集）.閉域一開域連

42、同其邊界所成的點(diǎn)集稱為閉域.區(qū)域一開域、閉域、或者開域連同其邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱為區(qū)域在上述諸例中，（2）是開域，（3）是閉域，（1）既是開域又是閉域.又如E（x,y）|xy0雖然是開集，但因、象限之間不具有連通性，所以它不是開域，也不是區(qū)域有界點(diǎn)集一對(duì)于平面點(diǎn)集E,若存在某一正數(shù)r,使得EU（;r）,其中是坐標(biāo)原點(diǎn)（也可以是其他固定點(diǎn)），則稱E是有界點(diǎn)集.否則就是無界點(diǎn)集.上述（2）、（3）、（4）都是有界點(diǎn)集，（1）、（5）則是無界點(diǎn)集.數(shù)學(xué)分析3»教案E為有界點(diǎn)集的另一個(gè)等價(jià)說法是：存在矩形區(qū)域Da,bc,dE.點(diǎn)集的有界性還可用點(diǎn)集的直徑來反映，所謂點(diǎn)集E的直徑，就是d（E

43、）sup（PF2）,R展E其中（P,B）表示Pi與P2兩點(diǎn)之間的距離，當(dāng)P、P2的坐標(biāo)分別為（。必）和（X2,y2）時(shí)，則（Pi,P2）=（XL）2（yy?）2.于是，當(dāng)且僅當(dāng)d（E）為有限值時(shí)E是有界點(diǎn)集.根據(jù)距離概念，讀者不難證明如下的三角形不等式，即對(duì)R2上任何三點(diǎn)P、P2和P3,皆有（P,P2）（P.P3）（P2,P3）.一_2.一R上的完備性定理反映實(shí)數(shù)系完備性的幾個(gè)等價(jià)定理，構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到R2,它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).為此，先給出平面點(diǎn)列的收斂性概念.定義1設(shè)PJR2為平面點(diǎn)列,P0R2為一固定點(diǎn).若對(duì)任給的正數(shù)，存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n

44、N時(shí)，有RU（P0;）,則稱點(diǎn)列Pn收斂于點(diǎn)R,記作nimP1P0或PnP0,n.在坐標(biāo)平面中，以（Xn，yn）與（Xo,yo）分別表示Pn與R時(shí)，1mPnP0顯然等價(jià)于“mXnXo/imyny0.同樣地，當(dāng)以n（Pn,P0）表示點(diǎn)Pn與R之距離時(shí)“mPnP。，也就等價(jià)于limn0.由于點(diǎn)列極限這兩種等價(jià)形式都是數(shù)列極限，因此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理.n定理16.1 （柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列Pn收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN(6)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)p,都有(PFnp)證必要性設(shè)lim PnnP0 ,則由三角不等式(RFnp)(RR)(R p,P°)及點(diǎn)列收斂

45、定義，對(duì)所給，存在正整數(shù)N,當(dāng)nN（也有npN）時(shí)，恒有數(shù)學(xué)分析3教案(Pnp,P°)應(yīng)用三角形不等式，立刻得到（6）式.充分性當(dāng)（6）式成立時(shí)，則同時(shí)有xn pxn(PnPn p)yn pyn(Pi,Pnp)這說明數(shù)列xn和yn都滿足柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10 ),所以它們都收斂.設(shè)lim XnX0,lim yny0.從nn而由點(diǎn)列收斂概念推得Pn收斂于點(diǎn)P0（X0,y0）（本節(jié)習(xí)題5）定理16.2（閉域套定理）設(shè)Dn是R2中的閉域列，它滿足;（i） DnDn1，n1,2,；（ii） dnd（Dn）,limdn0,n則存在惟一的點(diǎn)P0Dn,n1,2，.證任取點(diǎn)列RDn,n1,2，.

46、由于DnpDn,因此Pn,PnpDn,從而有（圖16-2）（Pn，Rp）dn0,n由定理16.1知道存在F0R2,使得“mPnF0,任意取定n,對(duì)任何正整數(shù)p有RpDnpDn.再令P，由于Dn是閉域，從而必定是閉集（本節(jié)習(xí)題4）.因此P0作為Dn的聚點(diǎn)必定屬于Dn,即BlimPnpDn,n1,2,.p最后證明P0的惟一性.若還有P'oDn,n1,2，則由（Po,P）'）（RFn）（P'o,Pn）2dn0,0得到（Po,Po'）o,即PoP）'.閉域套定理顯然是R中閉區(qū)間套定理（定理7.1）的直接推廣.定理16.3（聚點(diǎn)定理）設(shè)ER2為有界無限點(diǎn)集，則E在

47、R2中至少有一個(gè)聚點(diǎn).證現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于E是平面有界集合，因此存在一個(gè)閉正方形D1包含它.連接正方形對(duì)邊中點(diǎn)，把d分成四個(gè)小的閉正方形，則在這四個(gè)小閉正方形中，至少有一個(gè)小閉正方形含有E中無限多個(gè)點(diǎn).數(shù)學(xué)分析3»教案記這個(gè)小閉正方形為D2.再對(duì)正方形D2如上法分成四個(gè)更小的閉正方形，其中又至少有一個(gè)小閉正方形含有E的無限多個(gè)點(diǎn).如此下去得到一個(gè)閉正方形序列（圖16-3）:D1D2D3.容易看到這個(gè)閉正方形序列Dn的邊長(zhǎng)隨著n趨向于無限而趨向于零.于是由閉域套定理，存在一點(diǎn)MoDn,n1,2，.現(xiàn)在證明M0就是E的聚點(diǎn).任取M0的鄰域U（Mo；）,當(dāng)n充分大之后，正方形的邊長(zhǎng)

48、可小于/2,即有DnU（Mo；）.又由Dn的取法知道U（Mo；）中含有E的無限多個(gè)點(diǎn)，這就表明Mo是E的聚點(diǎn).推論有界無限點(diǎn)列PnR2必存在收斂子列Pn.證明可仿照R中的相應(yīng)命題（定理7.2推論）定理16.4（有限覆蓋定理）設(shè)DR2為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了D（即nDU，則在中必存在有限個(gè)開域1,2,，n,它們同樣覆蓋了D（即DUi）.i1本定理的證明與R中的有限覆蓋定理（定理7.3）相仿，在此從略.在更一般的情況下，可將定理16.4中的D改設(shè)為有界閉集，而R2為一族開集，此時(shí)定理結(jié)論依然成立.數(shù)學(xué)分析3»教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題:1（1）（3）（5），3下次課預(yù)習(xí)要點(diǎn)16.2

49、二元函數(shù)的極限實(shí)施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對(duì)本次課講授的知識(shí)基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負(fù)責(zé)人簽字年月日數(shù)學(xué)分析3教案授課章節(jié)弟十八FITT第F任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時(shí)安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊(cè)），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊(cè)），高等教育出版社1982年版第_5_次課授課時(shí)間2006.9.26教學(xué)目的與要求：(1)掌握二元及多元函數(shù)的

50、定義(2)掌握二元函數(shù)的極限的定義(3)熟悉判別極限存在性的基本方法.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：重點(diǎn)：二元函數(shù)的極限的定義難點(diǎn)：判別極限存在性的方法教學(xué)內(nèi)容：三二元函數(shù)函數(shù)(或映射)是兩個(gè)集合之間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射是一元函數(shù)，現(xiàn)在定義二元函數(shù).定義2設(shè)平面點(diǎn)集DR2,若按照某種應(yīng)法則f,D中每一點(diǎn)P(x,y)都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在D上的二元函數(shù)(或稱f為D到R的一個(gè)映射)，記作f:DR,PTZ,(7)且稱D為f的定義域；PD所對(duì)應(yīng)的z為f在點(diǎn)P的函數(shù)值，記作zf(P)或zf(x,y)；全體函數(shù)值的集合為f的值域，記作f(D)R.通常還把P的坐標(biāo)x與y稱為f的自變量，而把z稱為因變量.在映射意義下，上述zf(P)稱為P的象，P稱為z的原象.當(dāng)把(x,y)D和它對(duì)應(yīng)的象數(shù)學(xué)分析3»教案3zf(x,y)一起組成三維數(shù)組(x,y,z)時(shí)，三維歐氏空間R3中的點(diǎn)集_3S(x,y,z)|zf(x,y),(x,y)DR便是二元函數(shù)f的圖象.通常zf(x,y)的圖象是一空間曲面，f的定義域D便是該曲面在xOy平面上的投影.為方便起見，