數(shù)值分析試題及答案匯總

1、數(shù)值分析試題填空題(20X2')1.,X-2設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有_23位有效數(shù)字。2. 若f(x)=x7x3+1,則f20,21,22,23,225,26,27=J,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=0。3. 設(shè)，IIAIIoo=5,IIXIIoo=3,IIAXIIqq<_15_4 .非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x二%x)在有解區(qū)間滿足|中(x)|<1,則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。5 .區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6 .當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點

2、靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(x)的系數(shù)a(x)的特點是：Zadx)=1;所以當(dāng)i=0系數(shù)a(x)滿足a(x)>1,計算時不會放大f(K)的誤差。8 .要使、；50的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取4位有效數(shù)字。9 .對任意初始向量X(0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1，)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是P(B)<1。10 .由下列數(shù)據(jù)所確定的插

3、值多項式的次數(shù)最高是x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511 .牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|12 .線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差n(i=0,1,n)來實現(xiàn)的，其中的殘差ri=(bi-ciiXi-a2X2-anXn)/aii,(i=0,1，,n)。13 .在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點xo的選取依據(jù)為f(x0)f"(x0)>0。14 .使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。二、判斷題(10X1)1、若A

4、是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解。(乂)2、解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naii-aaij(i=1,2,.,n)則解線性方程組AX=b高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。(X)4、樣條插值一種分段插值。()5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。()7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=b。(X)8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開

5、始估計，直到最后一步迭代計算的舍入誤差。(X)9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差=舍入誤差。（）10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。（x）三、計算題（5X10'）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。x1-x2x345x1-4x23x3-122x1x2x3=11解答：（1,5,2）最大元5在第二行，交換第一與第二行：5x14x23x3=12x1-x2x3=42x1x2x3.11L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化為：5x1-4x2+3x3=120.2x20.4x3=1.62.6x20.2x3=15.8(-0.2,26

6、最大元在第三行，交換第二與第三行:5x14x23x3=122.6x2一0.2x3=15.80.2x20.4x3=1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化為:5x14x23x3=122.6x20.2x3=15.80.38462x3=0.38466回代得x1=3.00005x2=5.99999x3=1.000102-用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4（x）,并寫出其截斷誤差的表達式（設(shè)f（x）在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）0x012f(x)1-13f'(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi

7、,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3-對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代公式，并簡單說明收斂的理由。2x1-x2+x4=1x1-x3+5x4=6x24x3-x4=8一x13x2-x3=3解答：交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu):2x

8、1-x2+x4=1一x1+3x2-x3=3x24x3-x4=8x1-x35x4=6雅克比迭代公式：2x1-x2+x4=1-x1+3x2-x3=3x24x3-x4=8x1-x35x4=6計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1 .已知準(zhǔn)確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x=0.0a1a2-anX10s(aM)的絕對誤差|x<().(A)0.5X10s1t(B)0.5X10st(C) 0.5X 10s+1 t()(D) 0.5 X 10 s+ t(A)一2-10-12-1-12010-1(B)-5110101(C)P 3.過(0,1),3x(A)2-1-1(2

9、,-3x 103-2 -x -11001-112(D)412J4-1311014), (3, 1)點的分段線性插值函數(shù)0MxM20 MxM 2P(x)=(3x 1(B)2-3x2 10(D)2x 10Mx£ 20 MxM22 .以下矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的為4.等距二點的求導(dǎo)公式是(A)一. 1f (xk) (-y h一. 1f (xk1) - -(y hyk 1)yk 1)(B)一. 1f (xk)(yk-yk1) h,，、1，、f (xk 1)(yk - yk Jh(C)-1f(xk)*(-ykyk 1)f (xk 1) =1 /、(yk 1 - yk) h(D)5.解常微分方程

10、初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是1 / yk 1 =Hy2那么yp,yc分別為(p yc)yp =yk +hf (xk,yjJc =yk +hf 區(qū)書，yk)yp = yk hf (xk”yk) yc =yk hf (xk, yp)yp=yk+f(Xk,yjyp=yk+hf(xyj(C)(D)Jy=yk+f(Xk,yp)yc=yk+hf(xy,yp)二、填空題(每小題3分，共15分)6 .設(shè)近似值Xi%滿足&Xi)=0.05,聯(lián)2)=0.005,那么s(XiX2)=.7 .三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(Xk尸yk(已知)，k=0,1,2,n,且滿

11、足S(x)在每個子區(qū)間Xk,Xk+i上是.bnn8 .牛頓科茨求積公式f(x)dx電工Akf(xk),則£Ak=.kOk09 .解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)中(X)滿足在有根區(qū)間內(nèi),則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值，迭代解都收斂.10 .解常微分方程初值問題的改進歐拉法預(yù)報一一校正公式是預(yù)報值：yk41=yk+hf(xk,yk),校正值：yk+尸.三、計算題(每小題15分，共60分)11 .用簡單迭代法求線性方程組8x1-3x22x3=204x111x2-x3=336x13x212x3=36的X取初始值(0,0,0)T,計算過程保留4位小數(shù).12 .已知函數(shù)值f(0)=

12、6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212,求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6和二階均差f(4,1,3).13 .將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計算定積分LV1+X2dx,計算過程保留4位小數(shù).14 .用牛頓法求”"15的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù).四、證明題(本題10分)15 .證明求常微分方程初值問題；y'=f(x,y)-、y(x。)=vo在等距節(jié)點a=X0<X1<<Xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為,、hy(Xk+1):Yk+1=Yk+一f(Xk,yk)+f(Xk+1,yk+1)2其中h=X

13、k+1-Xk(k=0,1,2,-n-1)計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題(每小題3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D二、填空題(每小題3分，共15分)6.0.05X2+0.005Xi7.3次多項式8.ba9.*(x)l訝<110.yk+'f(Xk,yJ+f(Xk書，yk書)hf(4+1,y).2三、計算題(每小題15分，共60分)11.寫出迭代格式x1(k*=0+0.375x2k)0.25x3k)+2.5=-0.3636個+0+0.0909x3k)+3,x3k的=-0.5x1")-0.25x2k)+0+3X二(0,0,0)T.X1(1)=0+

14、0.375x0-0.25x0+2.5=2.5x21)=0.3636000.090903=3x31)=0.50-0.25003=3L得到X=(2.5,3,3)Tx1(2)=0+0.375M30.25M3+2.5=2.875x22)=-0.36362.500.090933=2.3637x32)=-0.52.5-0.25303=1.0000得至UX=(2.875,2.3637,1.0000)Tx1(3)=0+0.375M2.3637-0.25M1+2.5=3.1364x23)u-0.36362.87500.090913-2.0456x33)u-0.52.875-0.252.363703-0.9716

15、得到X=(3.1364,2.0456,0.9716)T.12.計算均差列給出.xkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4,1,3)=6,2,213.f(x)=W+x,h=-=0.25.分點Xo=1.O,x1=1.25,x2=1.5,改=1.75,刈=2.0,Xs=2.25,x6=2.50,8xy=2.75,x8=3.0.函數(shù)值：f(1.0)=1.4142,f(1.25)=1.6008,f(1.5)=1.8028,f(1.75)=2.0156,f(2.0)=2.2361

16、,f(2.25)=2.4622,f(2.50)=2.6926,f(2.75)=2.9262,f(3.0)=3.1623.3h1f(x)dx=2f(x0)fd)+2(f(x1)+f(x2)+f(x3)+f仇)+f(x5)+f(x6)+f(x7)(9分)0.25X1.4142+3.1623+2X(1.6008+1.8028+2.0156+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)=0.125X(4.5765+2X15.7363)=4.506114.設(shè)X為所求，即求因為 f(X)=2X, fr(X)=2, 取 x0=11 .有迭代公式X2-115=0的正根.f(X)=X2115.Xk+

17、i=Xk f(Xk)=x f (Xk) k2X2 -115 xk 115=+2Xk2 2Xk(k=0,1,2,)Xi =11-22 11115 =10.727 3X2=10.727 3115十=10.723 82 10.727 3X3=10.723 82115+= 10.723 82 10.723 8X* 10.723 8四、證明題(本題10分)15.在子區(qū)間區(qū)+1.上，對微分方程兩邊關(guān)于X積分，得xk 1y(Xk+1)-y(Xk)= f f(x, y(x)dxXk用求積梯形公式，有h 一一y(Xk+1)-y(Xk)= f (Xk, y(Xk) + f (Xk+y(Xk書)2將 y(Xk),y

18、(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到，、hy(Xk+1) Wk+1=yk+ f(Xk,yk)+ f(Xk+1 ,yk+1 )(k=0,1,2,n 1)2數(shù)值分析期末試題一、填空題(2父10 = 20分)一15-21(1)設(shè) A= 210 ，則 |AL =13。3-821f(10)f”(10)=(100115)X2<0,f(11)f”(11)=(121115)X2>02x1 -5x2 = 1(2)對于方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣是10x1 4x2 =302.5Bj = |>.50 一.一 3 L*(3) yx的相對誤差約是x的相對誤差的1 ,立 一彳口。3(4)求

19、方程x = f(x)根的牛頓迭代公式是xn 1 = x nxn - f ( x n)1 f'(xn)3(5)設(shè)f(x)=x3+x-1,則差商f0,1,2,3=1(6)設(shè)n父n矩陣G的特征值是儲，如，,則矩陣G的譜半徑P(G)=max九i(7)已知A02 I則條件數(shù)CondXA)=(8)為了提高數(shù)值計算精度，當(dāng)正數(shù)x充分大時，應(yīng)將ln(x-Mx21)改寫為ln(x+Jx2+1)。(9)n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n-1次。一一，一八口13(10)擬合二點(%,“),(x2,f(x2),(x3,f(x3)的水平直線是y=£f(xi)o3i=1工2x-x2x3=1

20、二、(10分)證明：方程組x1+x2+x3=1使用Jacobi迭代法求解不收斂性。x1+x2-2x3=1證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為00.5-0.5Bj1010.50.50Bj的特征多項式為九-0.50.52det(九IBj)=1九12A九+1.25)-0.50.5九Bj的特征值為%=0,九2=V125i,九3=-Vt25i,故P(Bj)=JH5>1,因而迭代法不收斂性。三、(10分)定義內(nèi)積1(f,g)=0f(x)g(x)dx試在Hi=Span4,x中尋求對于f(x)=Jx的最佳平方逼近元素p(x)。解：*0(x)三1,中i(x)三x,111(外產(chǎn)。)="x=1,(9

21、 1$) =(xdx = Q,1 211 2件1 卅1)=10x dx = q ,(90,f) = J07xdx=G , 331(1,f)= 02x Jxdx = 一。 5法方程112卜11%3一412_斛得Co=,G=。所求的取佳平方逼近兀素為1515P(x)412i x15 150MxM1四、(10分)給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。23解：y(x);c0c1xc2xc3x501001T010034AA=100340034013012481-11-1A=100011111248ATy=(2.9,4.2,7,14.4)T法方

22、程TTAAc=Ay的解為c0=0.4086,c1=0.39167,c2=0.0857,c3=0.00833得到三次多項式y(tǒng)(x)=0.40860.39167x0.0857x20.00833x3誤差平方和為二3二0.000194五.（10分）依據(jù)如下函數(shù)值表x0124f(x)19233建立不超過三次的Lagrange雨值多項式，用它計算f （2.2）,并在假設(shè)f（x）1下，估計計算誤差。解:先計算插值基函數(shù)(x -1)(x-2)(x-4)0 X 一 (0 -1)(0 -2)(0 -4)-x2 811(x) Jx-0)(x-2)(x-4) (1 -0)(1 -2)(1 -4)2x212(x)Jx-

23、0)(x-1)(x-4) (2-0)(2 -1)(2-4)1-x4(2)(4 -0)(4-1)(4 -2)13=x24x12所求Lagrange雨值多項式為3_1134521一一L3(x)=£f(xj)l"x)=10(x)+9l1(x)+23l2(x)+3l3(x)=-x+x一一x+1從而y442f(2.2)劃L3(2.2)=25.0683。f(4)(h小據(jù)京差公式R3(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)及假設(shè)f(x)M1得誤差估計:R3(x)f(4)()4!|(2.2 0)(2.2 1)(2.2 2)(2.2-4)10.9504 = 0.0396 4!

24、六.（10分）用矩陣的直接三角分解法解方程組101,00121204001xJ1x23x331-x415317”一-102011020101l211U22U23U2443l31l321U33U3403Il41l42l43U440121由矩陣乘法可求出Uj和lj-1l21l31-10解下三角方程組y4得原方程組的解為X1=1,X241l32l42一1-10u22l43u23u33u24u34U44V2y3=4。再解上三角方程組01xJX2一15【317一71-513=1,X3=2X3X4=2°七.（10分）試用Simpson公式計算積分21exdx的近似值，并估計截斷誤差。解:21exdxffc61(e4