第九章隨機(jī)數(shù)學(xué)模型

1、第九章隨機(jī)數(shù)學(xué)模型 我們?cè)谔幚韺?shí)際問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)遇到許多不確定的因素引入隨機(jī)變量描述這種不確定的行為，通常是對(duì)實(shí)際問(wèn)題最恰當(dāng)?shù)拿枋?。由此建立的?shù)學(xué)模型稱為隨機(jī)數(shù)學(xué)模型。9.1廣告中的數(shù)學(xué)在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，廣告無(wú)所不在。廣告給商家?guī)?lái)了豐厚的利潤(rùn)，廣告中蘊(yùn)藏著諸多學(xué)問(wèn)。以房產(chǎn)銷售廣告為例，房產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了擴(kuò)大銷售，提高銷售量，通常會(huì)印制精美的廣告分發(fā)給大家。雖然買房人的買房行為是隨機(jī)的，他可能買房，也可能暫時(shí)不買，可能買這家開(kāi)發(fā)商的房子，也可能買另一家開(kāi)發(fā)商的房子，但與各開(kāi)發(fā)商的廣告投入有一定的關(guān)聯(lián)。一般地，隨著廣告費(fèi)用的增加，潛在的購(gòu)買量會(huì)增加，但市場(chǎng)的購(gòu)買力是有一定限度的。表9.1給出了某開(kāi)

2、發(fā)商以往9次廣告投入及預(yù)測(cè)的潛在購(gòu)買力。 表9.1 廣告投入與潛在購(gòu)買力統(tǒng)計(jì)（單位：百萬(wàn)元） 廣告投入 0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1 購(gòu)買力 1034 1058 1067 1069 1072 1078 1080 1081 1095下面從數(shù)學(xué)角度，通過(guò)合理的假設(shè)為開(kāi)發(fā)商制定合理的廣告策略，并給出單位面積成本700元，售價(jià)為4000元條件下的廣告方案。模型假設(shè)（1）假設(shè)單位面積成本為元，售價(jià)為元，忽略其他費(fèi)用，需求量是隨機(jī)變量，其概率密度為。（2）假設(shè)廣告投入為百萬(wàn)元，潛在購(gòu)買力是的函數(shù)記作,實(shí)際供應(yīng)量為。模型建立開(kāi)發(fā)商制定策略的好壞主要由利潤(rùn)來(lái)確定

3、，好的策略應(yīng)該獲得好的利潤(rùn)（平均意義下），為此，必須計(jì)算平均銷售量。 上面第二式表示，當(dāng)需求量大于等于供應(yīng)量時(shí)，取需求量等于供應(yīng)量。因此，利潤(rùn)函數(shù)為 利用得到 （9.1）上式中，第一項(xiàng)表示已售房毛利潤(rùn)，第二項(xiàng)為廣告成本，第三項(xiàng)為未售出房的損失。模型求解 為了獲得最大利潤(rùn)，只需對(duì)（9.1）式求導(dǎo)并令其為零，設(shè)獲得最大值時(shí)的最優(yōu)值為，則 因此，滿足關(guān)系式 （9.2）通過(guò)（9.2）式，在廣告投入一定的情況下，可以求出最優(yōu)的供應(yīng)量，但依賴于需求量的概率分布。為使問(wèn)題更加明確，增加如下假設(shè)：（3） 假設(shè)需求量服從分布，即 (9.3)將（9.3）代人（9.2）得到 （9.4）即最優(yōu)的供應(yīng)量等于毛利率與由廣

4、告費(fèi)確定的潛在購(gòu)買力的乘積。將（9.4）式代入（9.1）式，得到最大利潤(rùn)為 （9.5）對(duì)（9.5）式關(guān)于求導(dǎo)，得駐點(diǎn)滿足的方程為 （9.6）因此，只要知道了潛在購(gòu)買力函數(shù)，就可以給出最優(yōu)的廣告投入。 下面根據(jù)開(kāi)發(fā)商獲得的相關(guān)數(shù)據(jù)，來(lái)確定潛在購(gòu)買力函數(shù)。通過(guò)對(duì)表9.1數(shù)據(jù)分析，得知其符合型曲線增長(zhǎng)率，經(jīng)擬合得到 （9.7）記將（9.7）式代入（9.6）式，當(dāng)時(shí)，求得 （9.8）將代入（9.8）式得到(百萬(wàn)元)。 9.2定崗定編問(wèn)題 社會(huì)系統(tǒng)中，常常因?yàn)槁殑?wù)、地位等的不同，劃分出許多的等級(jí)，各等級(jí)的人數(shù)比例稱之為等級(jí)結(jié)構(gòu)，定崗定編問(wèn)題即是保持一個(gè)穩(wěn)定合理的等級(jí)機(jī)構(gòu)，這類問(wèn)題在許多單位都可以看到它的

5、縮影。那么等級(jí)結(jié)構(gòu)是怎樣隨時(shí)間變化的呢？等級(jí)結(jié)構(gòu)的變化依賴系統(tǒng)內(nèi)部的等級(jí)隨時(shí)間的轉(zhuǎn)移（即通常所說(shuō)的職務(wù)升降，以及系統(tǒng)內(nèi)外部的交流（即通常所說(shuō)的調(diào)入、調(diào)出、退休、死亡等）。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言將等級(jí)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化關(guān)系恰當(dāng)?shù)乇硎境鰜?lái)，就構(gòu)成這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)（1）將一個(gè)系統(tǒng)由低向高分成個(gè)等級(jí)，每隔年進(jìn)行一次正常的等級(jí)調(diào)整。（2 ）表示第次調(diào)整時(shí)第個(gè)等級(jí)的人數(shù)，記，不妨稱之為等級(jí)結(jié)構(gòu)。為系統(tǒng)第年的總?cè)藬?shù)。（3） 記，稱為等級(jí)結(jié)構(gòu)向量。（4） 記表示每次從等級(jí)升到等級(jí)的人數(shù)占等級(jí)中人數(shù)的比例；，表示每次從等級(jí)中退出人數(shù)的比例；，表示每次調(diào)入等級(jí)的人數(shù)占總調(diào)入人數(shù)的比例。記， 。一般地，分別稱為內(nèi)部轉(zhuǎn)移矩

6、陣、退出向量、調(diào)入向量。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨假設(shè)其與時(shí)間無(wú)關(guān)。模型建立 根據(jù)假設(shè)，可以得到，且 （9.9）第次的系統(tǒng)總?cè)藬?shù)滿足方程 （9.10）每個(gè)等級(jí)人數(shù)的轉(zhuǎn)移方程為 （9.11）從到年總?cè)藬?shù)的增長(zhǎng)量記為，則 （9.12）將（9.12）代入（9.11）得到 （9.13）記，則也是隨機(jī)矩陣，（9.13）可以表示為 （9.14）通常稱（9.14）為等級(jí)分布基本方程。假如系統(tǒng)的總?cè)藬?shù)每年以固定的比例增長(zhǎng)，即，則 （9.15）特別地，如果每年進(jìn)出系統(tǒng)的人數(shù)大致相等，即系統(tǒng)總?cè)藬?shù)保持不變。那么，方程（9.15）可以簡(jiǎn)化為 （9.16）具有形如（9.16）的方程稱為馬氏鏈。對(duì)于由（9.14）給出的等級(jí)分布基

7、本方程，下面考慮如下問(wèn)題：給定初始等級(jí)結(jié)構(gòu)，如何確定調(diào)入比例，使等級(jí)變化盡快達(dá)到或接近給定的理想等級(jí)結(jié)構(gòu)。需要指出的是，如果等級(jí)結(jié)構(gòu)滿足，則稱等級(jí)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定的。系統(tǒng)是否有穩(wěn)定的等級(jí)結(jié)構(gòu)是有條件的，如果存在，則必須滿足（9.9），且 （9.17）保證（9.17）成立的充分必要條件是存在非負(fù)向量（每個(gè)分量非負(fù)），使 （9.18）如果矩陣可逆，由（9.17）得到 （9.19）令 ，由于的各分量之和為1，即。利用（9.19）式得 （9.20）再將（9.20）式代入（9.19）式得到 （9.21）關(guān)于兩個(gè)等級(jí)接近程度的分析 在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)比較兩個(gè)等級(jí)的接近程度，以便確定當(dāng)前等級(jí)的狀態(tài)。為此，我

8、們引入等級(jí)距離的概念。定義兩個(gè)等級(jí)之間的距離如下： (9.22)其中為加權(quán)因子，由對(duì)各等級(jí)的關(guān)注程度確定。一個(gè)滿意的等級(jí)分布應(yīng)該滿足如下優(yōu)化問(wèn)題： （9.23）由于如果記 （9.24）則與呈正比，（9.23）等價(jià)于 （9.25）對(duì)于上面的優(yōu)化問(wèn)題，在某種程度上，它只是條件極值問(wèn)題，可以用拉格朗日乘子法求解。9.3零件的預(yù)防性更換 在生產(chǎn)設(shè)備或科學(xué)儀器中長(zhǎng)期運(yùn)行的零件都會(huì)發(fā)生故障或損壞，等到損壞時(shí)才更換零件可能會(huì)帶來(lái)一定的經(jīng)濟(jì)損失，比如產(chǎn)生廢品等。如果在零件運(yùn)行一定時(shí)間后，就對(duì)尚屬正常的零件做預(yù)防性更換，就可以避免一些廢品、次品的損失。如果策略得當(dāng)，或許可以將損失降到最低程度。解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵

9、在于恰當(dāng)?shù)毓烙?jì)零件能夠正常運(yùn)行的時(shí)間，簡(jiǎn)稱零件壽命。由于零件在制造及運(yùn)行過(guò)程中受到多種因素的影響，零件的壽命是一隨機(jī)變量，可以通過(guò)試驗(yàn)分析及理論分析來(lái)確定零件的壽命分布及其他數(shù)字特征。一般來(lái)說(shuō)，不同的零件壽命分布不一樣，預(yù)防性更換的策略也不一樣。假設(shè)：（1） 零件壽命服從某種已知的分布，其分布函數(shù)為，概率密度為，數(shù)學(xué)期望為。（2） 確定一個(gè)正常的時(shí)間間隔，當(dāng)時(shí)，對(duì)零件進(jìn)行故障更換，更換費(fèi)用為，當(dāng)時(shí)，對(duì)仍然正常工作的零件進(jìn)行預(yù)防性更換，更換費(fèi)用為。（3） 記，分別稱為零件的可靠度及失效率。建模與求解這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為單位時(shí)間的損失費(fèi)用最小。如果稱零件每更換一次為一個(gè)周期，則周期的平均長(zhǎng)

10、度為 （9.26）一個(gè)周期內(nèi)的平均損失為 (9.27)單位時(shí)間的平均損失為 (9.28)通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算可以得到使（9.28）式取得極小值的應(yīng)滿足 (9.29)方程（9.29）是否有解取決于式中的相關(guān)參數(shù)及零件的分布類型。如果記 (9.30)則有 考察（9.29）式及（9.30）式得知，如果為關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，且 （9.31）則存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，且（9.28）式的最小值為。 不同壽命分布的零件的最優(yōu)的更換策略存在較大差異。下面就幾個(gè)常用的壽命分布，分析最優(yōu)的零件更換策略。指數(shù)分布 設(shè)零件的壽命服從指數(shù)分布，即 經(jīng)計(jì)算得到 方程（9.29）不成立，即不存在預(yù)防性更換策略。

11、分布 設(shè)零件的壽命服從分布，即 經(jīng)計(jì)算得到 易見(jiàn)是的單調(diào)遞增函數(shù)，且?？紤]（9.31）式得知，當(dāng)時(shí)，存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，即存在最優(yōu)的預(yù)防性更換策略。威布爾分布（）分布設(shè)零件的壽命服從威布爾分布，即 經(jīng)計(jì)算得到 易見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，是的單調(diào)遞增函數(shù)，且。存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，即存在最優(yōu)的預(yù)防性更換策略。9.4 零件的參數(shù)設(shè)計(jì)一件產(chǎn)品通常是由多個(gè)零部件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行批量生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代

12、表數(shù)學(xué)期望，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是確定其標(biāo)定值和容差。需要考慮兩方面的因素：一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了零件的制造成本，容差設(shè)計(jì)得越小，成本越大。下面通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例來(lái)介紹零件參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。粒子分離器某參數(shù)（記為）有7個(gè)零件的參數(shù)（記作）決定，經(jīng)驗(yàn)公式為 （9.32）的目標(biāo)值（記作）為1.5。當(dāng)偏離時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1000元；當(dāng)偏離時(shí)，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失為9000元。 零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值

13、的相對(duì)值表示，等為，等為，等為。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍及不同容差等級(jí)零件的成本（元）如表9.2。 表9.2標(biāo)定值容許范圍等等等0.075，0.1250.225，0.375 0.075，0.1250.075，0.1250.125，1.87512，200.5625，0.9375/2020505010/255050100/2525/200500/100100 現(xiàn)在要進(jìn)行批量生產(chǎn)，每批生產(chǎn)1000個(gè)。在原設(shè)計(jì)中7個(gè)零件參數(shù)的容差均取最便宜的等級(jí)，標(biāo)定值分別為 分析原方案的合理性，并給出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。這是隨機(jī)優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為單個(gè)零件的費(fèi)用。假設(shè)：（1）7個(gè)零件的參數(shù)均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，

14、也即 （9.33）其中，是第零件參數(shù)的標(biāo)定值，記。（2）參數(shù)的容差記為，其關(guān)于標(biāo)定值的相對(duì)值記為，即 （9.34）（3）記第種零件的成本為，則每件產(chǎn)品的總成本為 。產(chǎn)品參數(shù)分布描述產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用與產(chǎn)品的次品率、廢品率有關(guān)，因此必須先確定產(chǎn)品參數(shù)的分布，盡管已經(jīng)有關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)公式，但如果利用這樣的公式確定其分布函數(shù)將是非常麻煩的，甚至是不可行的，有必要對(duì)其作適當(dāng)簡(jiǎn)化，求其近似分布。如果可行的話，線性近似是最容易處理的。下面我們來(lái)對(duì)其作線性近似，并分析其合理性。若 則 （9.35）由（9.33）式得 的方差可以近似地表示為 （9.36）因此，可以近似地認(rèn)為 （9.37）可以通過(guò)隨機(jī)模擬進(jìn)一步驗(yàn)證

15、（9.37）式的合理性。先在的標(biāo)定值允許范圍內(nèi)任取一組值，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生若干組相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，畫(huà)出直方圖（見(jiàn)圖9.1），用分布擬合的檢驗(yàn)法檢驗(yàn)服從正態(tài)分布的合理性。 圖9.1線性近似合理性數(shù)值檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)描述產(chǎn)品總費(fèi)用=零件總成本+總的質(zhì)量損失費(fèi)用，但在隨機(jī)問(wèn)題中，應(yīng)該考慮的是平均意義下的費(fèi)用，即期望總費(fèi)用。質(zhì)量損失函數(shù)為 其中，。根據(jù)（9.37）式，可以得到的概率密度函數(shù)為 據(jù)此有正品的概率為 （9.38）次品的概率為 （9.39）廢品的概率為 （9.40） 大批生產(chǎn)的平均每件產(chǎn)品的質(zhì)量損失費(fèi)用為 因此每個(gè)產(chǎn)品的總費(fèi)用為 （9.41）模型建立與求解引入記號(hào)表示第零件參數(shù)取第個(gè)容差的成

16、本，=1表示第零件參數(shù)取第個(gè)容差，否則=0?？紤]（9.39）式及（9.40）式，引用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，得到 將之代入（9.41）式，則得到目標(biāo)函數(shù)為 該零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可以歸結(jié)為如下的優(yōu)化問(wèn)題 其中，分別為零件參數(shù)標(biāo)定值的下界與上界。可以借助Lingo軟件給出該優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)果。具體結(jié)果為 9.5航空公司超額預(yù)售的最優(yōu)策略我們經(jīng)常在一些媒體上看到旅客的抱怨，他們本已經(jīng)訂好了某天某次班機(jī)的機(jī)票，但到達(dá)機(jī)場(chǎng)后接受檢查時(shí)卻被告知：“先生，對(duì)不起，你的航班已經(jīng)滿員，我們將不得不讓你改乘其他航班了”。造成這種現(xiàn)象的原因是航空公司為了追求利潤(rùn)最大化，通常會(huì)超額預(yù)售機(jī)票。發(fā)生這種事情自然會(huì)引起乘

17、客的不滿，因此在計(jì)算機(jī)輔助訂票的今天，應(yīng)該優(yōu)化訂票方案，既考慮航空公司的利潤(rùn)，又盡可能減少乘客的抱怨。由于我們并不清楚航空公司的任何強(qiáng)制服務(wù)且缺失航空公司相關(guān)數(shù)據(jù)，因此不能對(duì)某次飛機(jī)給出定性結(jié)論，下面只是一般性的結(jié)論。假設(shè)：（1） 航班的飛行成本與乘客數(shù)無(wú)關(guān)，航空公司的利潤(rùn)只與收入與成本有關(guān)，飛機(jī)最大容量記為。（2） 盡管不同機(jī)艙的票價(jià)不同，為了簡(jiǎn)化模型，只考慮乘客的平均票價(jià)，每個(gè)乘客所付費(fèi)用記為，預(yù)訂票乘客登機(jī)概率為。(3) 對(duì)于一次飛行，取消登機(jī)的人數(shù)記為，該事件發(fā)生的概率記為。(4) 某次航班訂票總數(shù)記為，因航班滿員被拒登機(jī)的補(bǔ)償費(fèi)用記為。（5）某次航班出售的折價(jià)機(jī)票數(shù)記為，折價(jià)率記為。

18、(6) 客源豐富，不考慮訂票不滿的情況。必要時(shí)，可以改變某些假設(shè)。 模型建立模型一 不考慮任何形式補(bǔ)償) 個(gè)訂票者中有個(gè)取消登機(jī)時(shí)利潤(rùn) （9.42）每個(gè)航班的實(shí)際平均利潤(rùn) (9.43) 要使最大，應(yīng)該盡可能小，因此需要越大越好。這個(gè)模型的缺點(diǎn)是沒(méi)有考慮拒簽補(bǔ)償。更合理的模型需要將拒簽因素計(jì)入模型。對(duì)于不同的拒簽補(bǔ)償方式，我們可以建立不同的模型。模型二 現(xiàn)金補(bǔ)償模型 假設(shè)每位被拒簽的補(bǔ)償是, 個(gè)訂票者中有個(gè)取消登機(jī)時(shí)利潤(rùn) (9.44)每個(gè)航班的實(shí)際平均利潤(rùn) 記 表示不登機(jī)乘客的期望值，則有 （9.45）下面考慮幾種特殊情況，驗(yàn)證模型的有效性情形一： 結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)，公司利潤(rùn)最大，這與實(shí)際是相符的

19、。情形二：預(yù)訂票者實(shí)際登機(jī)的概率服從二項(xiàng)分布，因此個(gè)預(yù)定票者有個(gè)取消登機(jī)的概率為 （9.46） 假設(shè)，記 (9.47)我們的目標(biāo)是尋找最優(yōu)的,使取最大值?？梢酝ㄟ^(guò)數(shù)值模擬尋優(yōu)。(1) 分別為0.02，0.04，0.06，0.08，0.1，橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,結(jié)果見(jiàn)圖9.2。 圖9.2 從圖9.2可以看出，對(duì)需要超額預(yù)定的票數(shù)有較大影響，這一點(diǎn)與實(shí)際也是相符的，因?yàn)樵酱?，平均?lái)說(shuō)實(shí)際取消登機(jī)的人數(shù)越多。為了保證航班滿座，就必須多預(yù)售一些票。（2）分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，橫坐標(biāo)為。,縱坐標(biāo)為，結(jié)果見(jiàn)圖9.3。 圖9.3從圖9.3中可以看出，在實(shí)際登機(jī)率為96%的情況下，對(duì)于賠

20、付比率為0.10.5，一架200座的航班，超額預(yù)售的票數(shù)約為11張時(shí)，利潤(rùn)最大。該圖也說(shuō)明了，如果航空公司能準(zhǔn)確地知道預(yù)定票者的登機(jī)概率，只要適當(dāng)?shù)乜刂祁A(yù)售票數(shù)，從平均意義上來(lái)說(shuō)，即使航空公司制定較高的拒簽賠付率，也不會(huì)對(duì)其最大利潤(rùn)產(chǎn)生多大影響。 模型三 混合補(bǔ)償模型模型二僅考慮了現(xiàn)金補(bǔ)償。在實(shí)際操作時(shí)，混合補(bǔ)償也是常見(jiàn)的補(bǔ)償方式，航空公司可以讓拒簽者自己選擇現(xiàn)金補(bǔ)償，或優(yōu)惠購(gòu)買折價(jià)機(jī)票 。 假定個(gè)旅客以票價(jià)訂了折價(jià)機(jī)票，不考慮這部分人取消登機(jī)情況。對(duì)于一個(gè)航班，有個(gè)預(yù)訂票者取消登機(jī)的利潤(rùn)為 （9.48） （9.49）據(jù)此得到 （9.50）類似于前面的分析，也可以得到最優(yōu)的預(yù)訂票方案。9.6

21、最佳進(jìn)貨策略一個(gè)小型的水族館專營(yíng)各種規(guī)格的水族箱，每個(gè)周末，店老板都要清點(diǎn)存貨，確定下一周是否進(jìn)貨。老板的進(jìn)貨策略是：如果本周某種規(guī)格的水族箱存貨全部售出的話，下周初就再進(jìn)貨3個(gè)，否則便不再進(jìn)貨。這樣的策略可能會(huì)造成部分時(shí)間顧客買不到貨，造成一定的潛在利潤(rùn)損失。表9.3給出了該店過(guò)去兩年的需求情況，根據(jù)這組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，確定該店的缺貨情況。 表9.3 水族館100周需求記錄周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10需求量 1 2 1 1 1 1 1 0 3 3 周次 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20需求量 1 0 2 0 1 3 3 4 1 2周次 21 22 23

22、24 25 26 27 28 29 30需求量 2 0 0 2 1 1 1 0 2 2周次 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40需求量 1 4 1 0 1 1 0 1 1 1 周次 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50需求量 1 0 2 1 1 2 1 1 0 0周次 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60需求量 1 0 1 1 1 2 1 0 1 0周次 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70需求量 2 0 1 2 0 0 2 1 2 1周次 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80需求量

23、0 1 0 0 3 1 2 1 0 2周次 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90需求量 3 0 0 2 1 0 0 2 0 1周次 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100需求量 1 1 0 0 0 1 0 1 0 2 圖9.4 100周需求統(tǒng)計(jì)假設(shè)（1） 第周水族館的需求服從參數(shù)為1的泊松分布。（2） 第周水族館的存貨用隨機(jī)變量表示，且。根據(jù)假設(shè)得到 于是 ， ， 如果記 則有 下面進(jìn)一步計(jì)算缺貨概率。一般來(lái)說(shuō)這個(gè)概率依賴于，為了得到關(guān)于缺貨的更一般的信息，我們需要對(duì)的信息再作一些分析。是一個(gè)遍歷的馬爾可夫鏈，其一定存在唯一的漸進(jìn)穩(wěn)定的單位長(zhǎng)度概率向

24、量，它可以通過(guò)求解穩(wěn)定狀態(tài)方程計(jì)算出來(lái)。令得到 因此，對(duì)于充分大的，近似地有 =上式表明，每年約有10.49%的時(shí)間（約5周時(shí)間）水族館是缺貨的。9.7 分類問(wèn)題人以類聚，物以群分。人們認(rèn)為某一批樣品屬于同一類，是因?yàn)樗鼈冎g有相同或相似之處，從指標(biāo)上來(lái)說(shuō)就是大小比較接近。由于指標(biāo)往往不只一個(gè)，接近程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)不一樣，結(jié)果會(huì)有差異。本節(jié)借助一個(gè)實(shí)際問(wèn)題介紹兩類常用的分類方法。若已知兩類蠓共32個(gè)標(biāo)本，已由生物專家根據(jù)觸角長(zhǎng)度及重量的數(shù)據(jù)分成類和類，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表9.4，根據(jù)這32個(gè)樣本的特征對(duì)未知的8個(gè)樣本進(jìn)行分類。 表9.4() 類蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 8.

25、70 5.00 10.38 10.86 6.560 13.57 13.57 9.89 32.94 16.64 37.14 46.24 23.08 38.58 42.54 14.02序號(hào) 9 10 11 12 13 14 15 16 10.98 10.52 9.44 12.18 8.24 16.55 9.59 10.34 15.59 35.71 26.00 36.90 38.16 37.12 42.90 36.69 表 9.4() 類蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 17 18 19 20 21 22 23 24 27.14 12.78 19.88 19.05 10.37 21.54 13.66 28.4

26、9 23.04 30.15 23.54 16.13 22.28 13.94 19.88 19.71序號(hào) 25 26 27 28 29 30 31 32 15.16 23.17 21.31 14.46 6.97 19.64 13.93 23.68 20.00 18.09 26.57 8.75 22.56 25.37 24.38 23.46 未知的8個(gè)樣本為 表9.4() 未知類別蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 33 34 35 36 37 38 39 40 10.12 12.03 11.70 9.23 20.71 21.88 28.66 17.89 26.22 27.04 15.24 27.66 23.

27、73 24.79 25.64 14.04已知的32個(gè)樣本及未知的8個(gè)樣本分布見(jiàn)圖9.5 圖9.5 40個(gè)樣本分布下面用三種方法來(lái)建立模型解決此問(wèn)題。模型一 距離判別模型距離判別法是讓指標(biāo)大小比較接近的屬于一類，新樣本離誰(shuí)近就判給誰(shuí)。當(dāng)已經(jīng)給定了一些樣本的分類，一般有許多樣本屬于同一類，以誰(shuí)作為這類的代表呢？以哪一個(gè)樣本作代表都不太合適，一個(gè)比較恰當(dāng)?shù)姆绞绞且詷颖镜膸缀沃行臑榇?。通常的方法是通過(guò)計(jì)算樣本的均值向量及方差。根據(jù)樣本與均值的接近程度，判斷其類型。對(duì)于給定的蠓樣本，與哪組均值向量越接近，就認(rèn)為該樣本屬于此類?？紤]32個(gè)樣本得到類的均值向量，均方差向量為，類的均值向量，均方差向量為。常

28、用的距離判別有歐氏距離與馬氏距離判別法。歐氏距離定義為 （9.51）馬氏距離定義為 （9.52）其中，表示兩類樣本的協(xié)方差陣。經(jīng)計(jì)算得 ， 歐氏距離判別法可以看作為馬氏距離判別法的一個(gè)特例，即協(xié)方差陣為單位陣。利用（9.51）式及（9.52）式進(jìn)行回代，計(jì)算類蠓的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)表9.5。 表9.5類蠓回代距離統(tǒng)計(jì)序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 3.1 281.3 21.3 188.4 103.9 46.8 110.4 342.5 230.1 194.6 318.0 685.0 139.6 326.4 480.3 119.6 0.035 0.288 0.018 0.139 0.135

29、 0.088 0.104 0.257 0.006 0.711 0.053 0.473 0.261 0.116 0.279 0.860序號(hào) 9 10 11 12 13 14 15 16 286.9 10.19 43.43 22.35 36.48 58.98 108.40 7.39 82.9 272.0 100.7 285.4 389.8 258.8 548.7 304.4 0.267 0.007 0.027 0.029 0.113 0.359 0.120 0.015 0.715 0.026 0.110 0.056 0.084 0.131 0.268 0.043經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為2

30、，8，9的樣本出現(xiàn)誤判；在馬氏距離意義下序號(hào)為1，13，14的樣本出現(xiàn)誤判。利用（9.51）式及（9.52）式進(jìn)行回代，計(jì)算類蠓的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)表9.6。表9.6類蠓回代距離統(tǒng)計(jì)序號(hào) 17 18 19 20 21 22 23 24 370.1 11.3 170.5 343.5 104.9 469.3 170.4 491.3 83.4 111.0 8.6 25.6 62.8 62.6 22.2 107.7 0.845 0.536 0.024 0.040 0.714 0.234 0.217 1.224 0.161 0.243 0.021 0.062 0.114 0.142 0.044 0.1

31、95序號(hào) 25 26 27 28 29 30 31 32 179.4 371.3 154.4 581.5 111.0 136.5 78.7 258.4 10.6 33.8 39.3 167.1 128.4 20.1 28.9 35.4 0.095 0.325 0.084 0.150 1.460 0.020 0.253 0.302 0.021 0.064 0.097 0.423 0.233 0.051 0.056 0.073經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為18，29的樣本出現(xiàn)誤判；在馬氏距離意義下序號(hào)為20，27，28，30，樣本出現(xiàn)誤判。綜上分析發(fā)現(xiàn)：對(duì)于32個(gè)已知樣本，用歐氏距離判別誤判率

32、為15.6%，用馬氏距離判別誤判率為21.9%。易見(jiàn)，距離判別法的誤判概率還是比較高的。將8個(gè)未知樣本數(shù)據(jù)分別代入（9.51）式及（9.52）式，得到相應(yīng)的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)下表9.7。 表9.7未知樣本歐氏距離與馬氏距離統(tǒng)計(jì)序號(hào) 33 34 35 36 37 38 39 40 6.3 5.7 17.3 5.0 13.5 13.8 19.5 19.9 9.6 8.6 8.8 11.1 3.6 5.2 11.4 7.1 0.028 0.080 0.328 0.019 1.510 1.780 4.124 1.302 0.100 0.077 0.743 0.063 0.361 0.365 0.69

33、4 0.915經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為 33， 34 ，36的樣本為類，序號(hào)為35，37，38，39，40的樣本為類；在馬氏距離意義下到序號(hào)為33，35，36，的樣本為類，序號(hào)為34，37，38，39，40的樣本為類。對(duì)于馬氏距離判別法，進(jìn)一步分析可知，如果兩類樣本的協(xié)方差陣相同，則 表示平面上的一條直線，它將平面分成兩個(gè)區(qū)域，分別表示兩類樣本區(qū)，位于該直線上的點(diǎn)到兩個(gè)樣本中心距離相等，理論上該直線上的樣本點(diǎn)屬于無(wú)法判別的情況。如果兩類樣本的協(xié)方差陣不同，則 表示平面上的一條曲線，它將平面分成兩個(gè)區(qū)域，分別表示兩類樣本區(qū)，位于該曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)樣本中心距離相等，理論上該曲線上的樣本點(diǎn)

34、屬于無(wú)法判別的情況。我們?cè)谇懊娴幕卮幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)，馬氏距離判別法會(huì)出現(xiàn)誤判，那么怎樣估計(jì)誤判率呢？為此，不妨簡(jiǎn)化假設(shè)蒙的觸角長(zhǎng)度與重量服從正態(tài)分布，即 記 則類被誤判為類的概率為隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)域內(nèi)的概率，類似地可以計(jì)算將類誤判為類的概率。模型二Fisher法多變量的判別分析有多個(gè)指標(biāo)，它們對(duì)于判別樣本屬于哪一類一般都有影響，但影響程度一般不完全相同，總會(huì)有些指標(biāo)影響大，有些指標(biāo)影響程度小，因此按主要差異來(lái)進(jìn)行判別將會(huì)有比較好的效果。通常指標(biāo)間有一定的關(guān)聯(lián)性，因此主要差異不一定是某個(gè)指標(biāo)，而是某些指標(biāo)的某種線性組合，在這個(gè)方向上，樣本點(diǎn)最容易區(qū)分。Fisher判別法就是這一思想的某種體現(xiàn)。借助多元統(tǒng)計(jì)中方差的思想，一般可以分類的樣本，應(yīng)該是類與類之間方差很大，而各類之間卻靠得狠近，方差較小。可否用一個(gè)指標(biāo)來(lái)表征這些特征呢？因?yàn)榉讲羁偸欠秦?fù)的，