隨機(jī)事件概率的幾種常見模型及其題例解析

1、隨機(jī)事件概率的四種常見模型文/胡 彬一、摸球問題模型隨機(jī)抽樣的問題，屬于摸球問題，廣泛地存在于生產(chǎn)與生活中.此類題目可用等可能事件的概率公式來計(jì)算.例1 袋子中有個(gè)黑球，個(gè)白球，它們除顏色不同外沒有其他的差別，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)地摸出來，求第次摸到黑球的概率.解析 (解法一)將只考慮第次摸出的球的每一種可能為基本事件，則第次摸出的球的所有可能為()種，摸到黑球的可能為種，故第次摸到黑球的概率.(解法二)把個(gè)黑球和個(gè)白球都看作是不同的，將所有的球一一摸出來放在排成一條直線上的()個(gè)位置上，把所有不同的排法作為基本事件全體，符合條件的排列數(shù)有種，故第次摸到黑球的概率.(解法三)把個(gè)黑球和個(gè)白球

2、都看作是不同的，將前次摸出的球所有不同可能作為基本事件的全體，故第次摸到黑球的概率.(解法四)對(duì)同色球不加區(qū)別，仍把摸出的球依次排放在成一條直線的()個(gè)位置上，將個(gè)相同的黑球在()個(gè)位置上所有不同的排法作為基本事件的全體，則總數(shù)為，符合條件的組合數(shù)為，故第次摸到黑球的概率.二、分組問題模型分組問題一定要分清組間是有序分組還是無序分組，并在此基礎(chǔ)上考慮是平均分組，非平均分組還是局部平均分組.例2 現(xiàn)有強(qiáng)弱不同的十支球隊(duì)，若把它們均勻分為兩組進(jìn)行比賽，分別計(jì)算：(1)兩支最強(qiáng)的隊(duì)被分在不同組的概率；(2)兩支最強(qiáng)的隊(duì)恰在同一個(gè)組的概率.解析 (1)將10支球隊(duì)平均分成兩組，共有種分法，而兩支最強(qiáng)的

3、隊(duì)必分開的分法有種，記事件A=兩支最強(qiáng)隊(duì)分開，則.(2)記事件B=兩支最強(qiáng)隊(duì)分在同組，則B所包含的基本事件數(shù)為，于是.三、分配問題模型求解與分配問題有關(guān)的概率問題的關(guān)鍵，是利用分配問題知識(shí)正確地求出基本事件的總數(shù)與事件A所包含的基本事件數(shù)，通常采用先分組后分配的方法.例3 有6個(gè)房間安排4個(gè)人居住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求以下各事件的概率：(1)事件A：指定的4 個(gè)房間中各有1個(gè)人；(2)事件B：恰好4個(gè)房間各有1個(gè)人；(3)事件C：指定的某個(gè)房間中有2個(gè)人；(4)事件D：第一號(hào)房間有1個(gè)人，第二號(hào)房間有3個(gè)人.解析 由于每人可以進(jìn)住任一房間，則4個(gè)人進(jìn)住6個(gè)房間共有種

4、方法.(1)指定的4個(gè)房間中各有1個(gè)人，則有種方法，所以.(2)恰好4個(gè)房間各有1個(gè)人的進(jìn)住方法有種，所以.(3)從4個(gè)人中選出2個(gè)人去指定的房間，有種方法，其余2 個(gè)人各有5種進(jìn)住方法，于是共有種方法，所以.(4)選1個(gè)人進(jìn)住第一號(hào)房間，有種方法，余下的3個(gè)人進(jìn)住第二號(hào)房間，只有一種方法，于是共有種方法，所以.四、取數(shù)問題模型取數(shù)問題是概率問題中的一個(gè)重要模型，解決這一類問題的關(guān)鍵在于要分清在取數(shù)的過程中有無順序，取完數(shù)后是否將數(shù)放回，另外還有就是要注意所取的數(shù)能否重復(fù)選取.例4 從1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字中任意有放回地連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字，求下列數(shù)字的概率：(1)3個(gè)數(shù)字完全不同；(2)3個(gè)數(shù)字中不含1和5；(3)3個(gè)數(shù)字中5恰好出現(xiàn)了兩次.解析 從5個(gè)數(shù)字中任意有放回地連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字，共出現(xiàn)種不同的結(jié)果.(1)由于3個(gè)數(shù)字完全不同的情況有種，所以3個(gè)數(shù)字完全不同的概率.(2)3個(gè)數(shù)字中不含1