全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一）、知識(shí)回顧 動(dòng)態(tài)幾何題，是指以幾何知識(shí)和幾何圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題；而通過(guò)對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化，使同學(xué)們經(jīng)歷由觀察、想象、推理等發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程，是中考數(shù)學(xué)試題中，考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力的重要題型；解決這類問(wèn)題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)熱身練習(xí)：1、如圖，在等腰ACB中，ACBC5，AB8，D為底邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DEDF 2） 、例題辨析例1、 如圖，在等腰RtABC中，ACB=90°，AC=CB，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E

2、分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AD=CE，連接DE、DF、EF.（1） 、求證：ADFCEF.（2） 、試證明DFE是等腰直角三角形.（3） 、在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，四邊形CDFE的面積是否保持不變？試說(shuō)明理由（4）、求CDE面積的最大值例2如圖，ABC的邊BC在直線 上，ACBC，且ACBC，EFP的邊FP也在直線 上，邊EF與邊AC重合，且EFFP。  （1）在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； （2）將EFP沿直線 向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP、BQ。猜想并寫

3、出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想。練習(xí)：1、 如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；DE長(zhǎng)度的最小值為4；四邊形CDFE的面積保持不變；CDE面積的最大值為8其中正確的結(jié)論是（）A B C D2、（2011湖北隨州，18，7分）在等腰三角形ABC中，ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)例2：在中，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)一等腰直角三角尺按如

4、圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為，一條直角邊與邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）在圖1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量與的長(zhǎng)度，猜想并寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與邊在同一直線上，另一條直角邊交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、與的長(zhǎng)度，猜想并寫出與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在的基礎(chǔ)上沿方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置(點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合)時(shí)，中的猜想是否仍然成立？(不用說(shuō)明理由) ABCFG圖1ABCEFG圖2DABCDEFG圖3 例3、如圖，在等邊ABC中，AB=9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)

5、C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿BA邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘（1）你能用t表示BP和BQ的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái)（2）請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后，PBQ為等邊三角形？（3）若P、Q兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓谹BC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？ 三）、歸納總結(jié)動(dòng)點(diǎn)一般在中考都是壓軸題，步驟不重要，重要的是思路。動(dòng)點(diǎn)類題目一般都有好幾問(wèn)，前一問(wèn)大都是后一問(wèn)的提示，就像幾何探究類題一樣，如果后面的題難了，可以反過(guò)去看看前面問(wèn)題的結(jié)論。四）、拓展延伸例1、 在RtABC中，AC=B

6、C，C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF=90°，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F.1、當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1），易證2、當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，SDEF、SCEF、SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明例2、（2014德州，第23題10分）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABC中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60°探究圖中線段BE，E

7、F，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海

8、里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離例3、如圖1，一等腰直角三角尺GEF（EGF=90°,GEF=GFE=45°,GE=GF）的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（1）如圖2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想FN，BM相等嗎？并說(shuō)明理由；（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相

9、交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由例4、在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換是指某一圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換 活動(dòng)一：如圖1，在RtABC中，D為斜邊 AB上的一點(diǎn)，AD=2，BD=1，且四邊形DECF 是正方形，求陰影部分的面積 小明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將DBF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DGE（如圖2所示），一眼就看出這題的答案，請(qǐng)你寫出陰影部分的面積：_ 活動(dòng)二：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=C=90°，BC=5，CD=3，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)小

10、明仍運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ADG（如圖4所示），則四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答： _AE的長(zhǎng)是_ 活動(dòng)三：如圖5，在四邊形ABCD中，ABAD，CDAD，將BC按逆時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE若AB=2，DC=4，求ABE的面積 例5、已知，在中，為銳角，是射線上一動(dòng)點(diǎn)(與不重合)，以為一邊向右側(cè)作等邊(與不重合)，連接 若為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)(如圖1所示)，則直線與直線所夾銳角為 度； 若為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2所示)，你在中得到的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由； 若不是等邊三角形，且(

11、如圖3所示)試探究當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，你在中得到的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)指出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能使中的結(jié)論成立，并說(shuō)明理由 問(wèn)題（1）中結(jié)論不成立，當(dāng)ACB=60°時(shí)，能使直線BD與直線CE所夾銳角為60°，證明：當(dāng)CDAC時(shí)，在CB上截取一點(diǎn)G，使得CG=CA，連接AG（如圖所示），ACB=60°，GAC是等邊三角形，AC=AG，AGC=GAC=60°，ADE是等邊三角形，AE=AD，DAE=60°，DAE-CAD=GAC-CAD，從而CAE=GAD，ACEAGD（SAS），ACE=AGD=60°，ECF=1

12、80°-（ACB+ACE）=60°，此時(shí)直線BC與直線CE所夾銳角為60°，當(dāng)CD=AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，不符合題意當(dāng)CDAC時(shí)，延長(zhǎng)EC到H，在CB上截取一點(diǎn)G，使得CG=CA，連接AG（如圖所示）同（1）可證ACEAGDACE=AGD=180°-AGC=120°，HCF=DCE=120°-ACB=60°，此時(shí)直線BC與直線CE所夾銳角為60°點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論當(dāng)CDAC時(shí)，當(dāng)CD=AC時(shí)，當(dāng)CDAC時(shí)得出答案是解題關(guān)鍵   例6、在等邊的兩邊，

13、所在直線上分別有兩點(diǎn)為外一點(diǎn)，且，探究：當(dāng)點(diǎn)分別愛(ài)直線上移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的關(guān)系如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)_如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，猜想(1)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則_(用表示)5） 、課后作業(yè)1、如圖，在等邊的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1各單位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D,E處，請(qǐng)問(wèn)（1）在爬行過(guò)程中，CD和BE始終相等嗎？（2）若蝸牛沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條

14、件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過(guò)程中 的大小條件不變，求證：（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，則爬行過(guò)程中，DF始終等于EF是否正確 2、如圖（1）ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從C、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP，BD交于點(diǎn)Q，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP=BD成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上，”改為“動(dòng)點(diǎn)D，P在射線CA和射線BC上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BQP的大小保持不變請(qǐng)你利用圖（2）的情形，求證：BQP=60°；（3）如果把原題中“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”改為“動(dòng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動(dòng)點(diǎn)D，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過(guò)程（圖1） （圖2） （圖3）3如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AECF過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DEAC，BFAC，連接B，D交AC于點(diǎn)G，若ABCD（1）試說(shuō)明BD平分EF（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)到如圖所示位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？試說(shuō)明理由4. 如圖（1），中，垂足為D。AF平分，交于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F。（1）求證：。（2）將圖（1）中