概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2章最新版本ppt課件

1、第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布v隨機(jī)變量v離散型隨機(jī)變量v隨機(jī)變量的分布函數(shù)v連續(xù)型隨機(jī)變量v隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 在第一章中，我們用在第一章中，我們用樣本空間的子集樣本空間的子集，即，即樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)的集合來的集合來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限。在本章中，的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限。在本章中，我們將用我們將用實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果來表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果( (數(shù)量化數(shù)量化) )，即引入，即引入隨隨機(jī)變量機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更

2、全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積分的方法在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積分的方法來討論隨機(jī)試驗(yàn)。來討論隨機(jī)試驗(yàn)。 在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果 ，都有一個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè)實(shí)數(shù)X( )與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)， 試驗(yàn)的結(jié)果試驗(yàn)的結(jié)果實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)X( )( )對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系X 則則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同，的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同， X是一個(gè)變量，且在是一個(gè)變

3、量，且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是說每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無法預(yù)知，也就是說X是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地稱隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地稱X為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量。 2.12.1隨機(jī)變量隨機(jī)變量定義定義1 1 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間，如果對(duì)于，如果對(duì)于S中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn) ，有一實(shí)數(shù)有一實(shí)數(shù)X( ( ) )與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在S上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)X( ( ) )就稱就稱為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量。由定義可知，隨機(jī)變量由定義可知，隨機(jī)變量X( ( ) )是以樣本空間

4、是以樣本空間S為定為定義域義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明：有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說明：(1)(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn) 的函數(shù)，的函數(shù)，常用大寫字母常用大寫字母X X、Y Y、Z Z 或小寫希臘字母或小寫希臘字母 、 、 等表等表示。示。(2)(2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間( (a a,

5、 ,b b) )，“a a XbXb”的的概率是確定的；概率是確定的；(3)(3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X( ( ) )的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合；成的集合；(4)(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。 例例2.12.1 一批產(chǎn)品中任意抽取一批產(chǎn)品中任意抽取2020件作質(zhì)量檢件作質(zhì)量檢驗(yàn)，作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用驗(yàn)，作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，表示，則則X是隨機(jī)變量。是隨機(jī)變量。X的一切可能取值為的一切可能

6、取值為 0 0，1 1，2 2，2020 X=0=0表示事件表示事件“抽檢的抽檢的2020件產(chǎn)品中沒有合件產(chǎn)品中沒有合格品格品”； X=1=1表示事件表示事件“抽檢的抽檢的2020件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有1 1件合格品件合格品”； X= =k 表示事件表示事件“抽檢的抽檢的2020件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有k件合格品件合格品”。例例2.22.2 將一顆骰子投擲兩次，觀察所得的點(diǎn)數(shù)，以將一顆骰子投擲兩次，觀察所得的點(diǎn)數(shù)，以X表表示所得點(diǎn)數(shù)之和，則示所得點(diǎn)數(shù)之和，則X的可能取值為的可能取值為2 2，3 3，4 4，1212，而且，而且 X=2=(1,1),=2=(1,1), X=3=(1,2),(2

7、,1),=3=(1,2),(2,1), X=4=(1,3),(2,2),(3,1),=4=(1,3),(2,2),(3,1), X=12=(6,6)=12=(6,6)。隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的取各個(gè)可能值的概率列于下表：的取各個(gè)可能值的概率列于下表：X2 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212P1/361/362/362/363/363/364/364/365/365/366/366/365/365/364/364/363/363/362/362/361/361/36P( (X=2)=1/36=2)=1/36P( (X=3)=2/36=3)=2/36P( (X=4)=

8、3/36=4)=3/36P( (X=12)=1/36=12)=1/36例例2.32.3 一正整數(shù)一正整數(shù)n等可能地取等可能地取1,2,3,15共十五共十五個(gè)值，且設(shè)個(gè)值，且設(shè)X=X(n)是除得盡是除得盡n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，則則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且有下表：是一個(gè)隨機(jī)變量，且有下表：即可得即可得X取各個(gè)可能值的概率為：取各個(gè)可能值的概率為：n123456789101112131415X(n)122324243426244X12346P1/156/152/155/151/15例例2.42.4 一個(gè)地鐵車站，每隔一個(gè)地鐵車站，每隔5 5分鐘有一列地鐵分鐘有一列地鐵通過該站。一位乘客不知列

9、車通過該站的時(shí)通過該站。一位乘客不知列車通過該站的時(shí)間，他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站，則他候車間，他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站，則他候車的時(shí)間的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，而且是一個(gè)隨機(jī)變量，而且X的取值范圍的取值范圍是是00，5 5 練練 習(xí)習(xí) 引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：將將3 3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件事件A=有有1 1個(gè)空格個(gè)空格 ，事件事件B=有有2 2個(gè)空格個(gè)空格 ，事件事件C=全有球全有球 。進(jìn)行進(jìn)行5 5次試驗(yàn)，次試驗(yàn)，事件事件D=試驗(yàn)成功一次試驗(yàn)成功一次 ，事件事件F=試驗(yàn)至少成功一次試驗(yàn)至少成功一次 ，事件事件G=至多成

10、功至多成功3 3次次 . 關(guān)于隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量( (及向量及向量) )的研究，是概率論的的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我中心內(nèi)容這是因?yàn)椋瑢?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量也可某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量也可以說：以說：隨機(jī)事件隨機(jī)事件是從是從靜態(tài)靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而象，而隨機(jī)變量隨機(jī)變量則是一種則是一種動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)

11、學(xué)的基礎(chǔ)概念同樣，是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量奇異型（混合型）連續(xù)型非離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量2.2 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布 一、一、 離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律1 1、離散型隨機(jī)變量的概念、離散型隨機(jī)變量的概念 若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限有限多個(gè)或多個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為可數(shù)

12、無窮多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量量。 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道道X的所有的所有可能取值可能取值以及以及X取每一個(gè)可能取每一個(gè)可能值的概率值的概率。 2 2、分布律、分布律 定義定義1 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能其所有可能取值為取值為x1, x2, , xk, , 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即即則稱則稱P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)

13、變量X 的的概率分布概率分布律律或或稱稱分布律分布律，也稱，也稱概率函數(shù)概率函數(shù)。分布律可用表格形式表示為：分布律可用表格形式表示為：11)(kkkkpxXP1 1 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )而且滿足而且滿足（1 1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, )（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk32335,0,1,2kkC CP XkkC例例2.52.5 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白球，只白球，3 3只黑球?，F(xiàn)從中任取只黑球?，F(xiàn)從中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求，求抽得的白球數(shù)抽得的白球數(shù)X為為k的概率。的概率。解解X=k的

14、所有可能的所有可能取值為取值為0 0，1 1，2 2X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量5123450()(1)P XP A A A A Ap12345123451(.)P XP A A A A AA A A A A55(1)0,1,.,5kkkP XkC ppk12345123452.)P XP A A A A AA A A A A3225)1 (ppC解解 設(shè)設(shè)Ai 第第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5則則A1 1, , A2 2，A5 5相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且P( (Ai)=)=p, ,i=1,2,=1,2,5,5。SX=0,1,2,3,4,5

15、,=0,1,2,3,4,5,例例2.62.6 某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5 5次，每次命中目標(biāo)的次，每次命中目標(biāo)的概率為概率為p，以以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。的分布律。4)1 (5pp二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律律1、 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布定義定義2 2 若一個(gè)隨機(jī)變量若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能取值，且其只有兩個(gè)可能取值，且其分分布為：布為：PX=x1=p, PX=x2=1-p ，(0p1) 則稱則稱X服從服從x1, x2處處參數(shù)為參數(shù)為p的的兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布。特別地，若特別地，若X服從服從x1=1

16、, x2=0處參數(shù)為處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，即的兩點(diǎn)分布，即X1 10 0Pp1-1-p則稱則稱X服從參數(shù)服從參數(shù)為為p的的0-10-1分布分布, ,即隨機(jī)變量只可能取即隨機(jī)變量只可能取0 0，1 1兩個(gè)值，且兩個(gè)值，且P(X=1)=p， P(X=0)=1- -p， (0p1)。 若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)只有兩個(gè)，如產(chǎn)品，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為面等等，它們的樣本空間為S=e1, ,e2,我們總我們總能定義一個(gè)服從能定義一個(gè)服從0-10-1分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量 發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)

17、生時(shí)發(fā)生時(shí)當(dāng)當(dāng)2101eeX即它們都可用即它們都可用0-10-1分布來描述，只不過對(duì)不同分布來描述，只不過對(duì)不同的問題參數(shù)的問題參數(shù)p的值不同而已。的值不同而已。 2 2、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(1)(1)伯努利伯努利( (Bernoulli)Bernoulli)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停ㄔ囼?yàn)?zāi)Ｐ停≒27P27） 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：1 1在相同條件下進(jìn)行在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；次重復(fù)試驗(yàn)；2 2每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或發(fā)生或A不發(fā)生；不發(fā)生；3 3在每次試驗(yàn)中，在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均一樣，即發(fā)生的概率均一樣，即P(A)= =p；4 4各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的

18、，各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則稱這種試驗(yàn)為則稱這種試驗(yàn)為伯努利概型伯努利概型或或n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn)。 在在n重伯努利試驗(yàn)中，人們感興趣的是重伯努利試驗(yàn)中，人們感興趣的是事件事件A發(fā)生發(fā)生的次數(shù)的次數(shù)。 以隨機(jī)變量以隨機(jī)變量X表示表示n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，X可能取值可能取值為為0,1,2,3,0,1,2,3, ,n。設(shè)每次試驗(yàn)中設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為1-1-p=q。AX=k表示事件表示事件“n重貝努里試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)k次次”，即，即 個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)kknknkknkAAAAAAAAAAAAAAAAAA1

19、1這里每一項(xiàng)表示這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，而另外而另外n- -k次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)，且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有，且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有Cnk項(xiàng)。項(xiàng)。A由由4 4獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為pk(1-(1-p) )n-n-k，因此因此,0,1,2,kkn knPXkC p qkn此為此為n重貝努里試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式，記為次的概率計(jì)算公式，記為 ) )- -1 1( ( ; ;, ,; ;pqnkqpCpnkBknkkn, 2 , 1 , 0,)(（2 2）二項(xiàng)分布定義）二項(xiàng)分布定義若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X具有概率

20、分布律具有概率分布律 ,0,1,2,kkn knP XkC p (1- p)kn則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布，記為，記為XB(n,p) ?？梢宰C明：可以證明：0,1,2,0,kkn knP XkC p (1- p)kn(1)1p00nnkkn knnkkP XkC p (1- p)p)kkn knC p (1- p) 正好是二項(xiàng)式正好是二項(xiàng)式( (p+(1-p) )n展開式的一般項(xiàng)，展開式的一般項(xiàng)，故稱二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng)故稱二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng)n=1=1時(shí)時(shí)P X=k=pk(1-p)1- -k( (k=0,1)=0,1)即為即為0-10-1分布。分布。 . .二項(xiàng)

21、分布的圖形特點(diǎn)二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)(P38)：對(duì)于固定的對(duì)于固定的n及及p，當(dāng)，當(dāng)k增大時(shí)，概率增大時(shí)，概率PX=kPX=k先隨之增大直至先隨之增大直至達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少，且達(dá)到最大值，隨后單調(diào)減少，且當(dāng)當(dāng)(n+1)p(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率PX=kPX=k在在k=(n+1)pk=(n+1)p時(shí)達(dá)時(shí)達(dá) 到最大值；到最大值；(2)(2)當(dāng)當(dāng)(n+1)p(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率PX=kPX=k在在k=(n+1)pk=(n+1)p和和 k=(n+1)p-1 k=(n+1)p-1時(shí)達(dá)到最大值；時(shí)達(dá)到最大值；ppp例例2.72.7設(shè)有一大批產(chǎn)品，其

22、次品率為設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為0.002。今從這批產(chǎn)。今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查品中隨機(jī)地抽查100件，試求所得次品件數(shù)的概率分布件，試求所得次品件數(shù)的概率分布律。律。解解 設(shè)設(shè) X=k 表示事件表示事件“100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有k件次品件次品”，則，則X可能取值為可能取值為0 0，1 1，2 2，100100。本題可視作本題可視作100100重貝努里試驗(yàn)中恰有重貝努里試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生次發(fā)生( (k件次品件次品) )，XB(100, ,0.002)。因此，所求分布律為因此，所求分布律為 1001000.002 0.998,0,1,2,100kkkP XkCk例例2.8 2.8 某廠

23、長(zhǎng)有某廠長(zhǎng)有7個(gè)顧問，假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見個(gè)顧問，假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率是的概率是0.6，且設(shè)顧問與顧問之間是否貢獻(xiàn)正確意見，且設(shè)顧問與顧問之間是否貢獻(xiàn)正確意見相互獨(dú)立。現(xiàn)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各顧問的意見，相互獨(dú)立。現(xiàn)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各顧問的意見，并按多數(shù)顧問的意見作出決策，試求作出正確決策的概并按多數(shù)顧問的意見作出決策，試求作出正確決策的概率。率。解解 設(shè)設(shè)X表示事件表示事件“7 7個(gè)顧問中貢獻(xiàn)正確意見的人數(shù)個(gè)顧問中貢獻(xiàn)正確意見的人數(shù)”，則則X可能取值為可能取值為0 0，1 1，2 2，7 7。（視作（視作7 7重貝努里實(shí)驗(yàn)中恰有重貝努里實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生，次發(fā)生，k個(gè)顧

24、問貢獻(xiàn)出個(gè)顧問貢獻(xiàn)出正確意見）正確意見）, ,XB(7,07,0.6)。因此因此X的分布律為的分布律為770.6 0.4,0,1,2,.,7kkkP XkCk所求概率為所求概率為44567P XP XP XP XP X7102. 0)4 . 0()6 . 0(7477kkkkC例例2.92.9 從某大學(xué)到火車站途中有從某大學(xué)到火車站途中有6 6個(gè)交通崗個(gè)交通崗, ,假設(shè)在假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立, ,并且遇到紅燈的并且遇到紅燈的概率都是概率都是1/31/3。(1)(1)設(shè)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù)為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù), ,求求X的分布律；的分

25、布律；(2)(2)求汽車行駛途中至少遇到求汽車行駛途中至少遇到5 5次紅燈的概率。次紅燈的概率。解解 (1)(1)由題意，由題意，XB(6,1/3)(6,1/3)，故故X的分布律為：的分布律為：66120,1,.,633kkkP XkCk (2)556P XP XP X729133132316556 C例例2.10 2.10 某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為為0.020.02，射擊，射擊400400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率。率。 解解 每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次數(shù)為每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次數(shù)為X，則則 XB(400,

26、 ,0.02)，X的分布律為的分布律為 4004000.02 0.98,0,1,2,400kkkP XkCk所求概率為所求概率為 223400P XP XP XP X101P XP X 997. 098. 002. 040098. 01399400例例2.102.10告訴我們兩個(gè)事實(shí)：告訴我們兩個(gè)事實(shí)：1 1雖然每次射擊的命中率很小雖然每次射擊的命中率很小(0.02)(0.02)，但射擊次，但射擊次數(shù)足夠大數(shù)足夠大( (為為400400次次) )，則擊中目標(biāo)至少兩次是幾乎可以，則擊中目標(biāo)至少兩次是幾乎可以肯定的肯定的( (概率為概率為0.997)0.997)。 一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概

27、率很小，但一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這事件的發(fā)生幾乎是必然在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這事件的發(fā)生幾乎是必然的，也就是說的，也就是說小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中是不小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中是不可忽視的可忽視的。 2 2若射手在若射手在400400次獨(dú)立射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)次獨(dú)立射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)不到不到2 2次，則次，則P( (X2)=1-00，n是正整數(shù)，是正整數(shù)，若若npn= = ，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有有 (1),0,1,2,.!kkkn knP XkC ppekk即當(dāng)隨機(jī)變量即當(dāng)隨機(jī)變量XB(n, p)，(n

28、0,1,2,0,1,2,)，且且n很大，很大，p很小時(shí)，記很小時(shí)，記 =np，則則ekppCkknnknknn!)1 (lim例例2.102.10可可用泊松定理計(jì)算。用泊松定理計(jì)算。取取 =np=400=4000.020.028,8, 近似地有近似地有PX 21 PX0PX1 1(18)e80.996981 3 3、泊松泊松( (Poisson)Poisson)分布分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X所有可能取值為所有可能取值為0,1,2,0,1,2,，且，且其中其中 00是常數(shù)，則稱是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分泊松分布布，記為，記為XP( )。,0,1,2,!kP Xkekk.泊松

29、分布產(chǎn)生的條件：隨機(jī)事件流：在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列。若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松流。例如：某網(wǎng)站在一定時(shí)間內(nèi)收到的點(diǎn)擊次數(shù)；某超市收銀臺(tái)接待的顧客數(shù)；某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)。 泊松泊松定理表明，定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，限分布， 當(dāng)當(dāng)n很大，很大，p很小時(shí)，很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)看成是參數(shù) =np的的泊松分布。泊松分布。例例2.112.11 某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷售量服從參數(shù)月銷售量服從參數(shù) =5的泊松分布。問在月初進(jìn)貨時(shí)，的泊

30、松分布。問在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫存多少件此種商品，才能以要庫存多少件此種商品，才能以0.9990.999的概率充分滿的概率充分滿足顧客的需要？足顧客的需要？解解 用用X表示每月銷量，則表示每月銷量，則XP( )= P(5)。由題意，要由題意，要求求k，使得使得PXk0.999，即即50050.999!ikkiiP Xiei這里的計(jì)算通過查這里的計(jì)算通過查PoissonPoisson分布表分布表(p.292-294)得到，得到， =5 125050.09979810.999!iiei135050.9993020.999!iieik=12時(shí)時(shí),k=13時(shí)時(shí),k=13即月初進(jìn)貨庫存即月初進(jìn)貨庫存要要13

31、13件。件。例例2.122.12 設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布, ,且知一對(duì)夫婦有不超過且知一對(duì)夫婦有不超過1 1個(gè)孩子的概率為個(gè)孩子的概率為3 3e-2-2。求任選一對(duì)夫婦求任選一對(duì)夫婦, ,至少有至少有3 3個(gè)孩子的概率。個(gè)孩子的概率。 23) 1() 0(1),( eXPXPXPPX且且 )2() 1()0(1) 3(XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解 由題意由題意232eee.4、幾何分布幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3,且且P(X=k)=(

32、1- -p)k- -1p=qk- -1p，k=1，2，3， ,其中其中0p1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)服從參數(shù)p為的為的幾何分布幾何分布。幾何分布背景：幾何分布背景： 隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2 2種，種，A與與試驗(yàn)進(jìn)行到試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率發(fā)生為止的概率P( (X=k) )，即即k次試次試驗(yàn)，驗(yàn)，前前k- -1次失敗，第次失敗，第k次成功次成功。A2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 前一節(jié)介紹的離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整前一節(jié)介紹的離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來完整地描述。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個(gè)地描述。而對(duì)于非離散型

33、隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如：一個(gè)列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如：在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可以認(rèn)為壽命在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可以認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間的取值充滿了區(qū)間0,+)0,+)，事件，事件X=x0表示燈泡的壽命正好是表示燈泡的壽命正好是x0。在實(shí)際中，即。在實(shí)際中，即使測(cè)試數(shù)百萬只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好使測(cè)試數(shù)百萬只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是是x0，也就是說，事件也就是說，事件( (X=x0) )發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可以認(rèn)為然可以認(rèn)為P( (X=x0)=0)=

34、0。 由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能不能以其取某個(gè)值的以其取某個(gè)值的概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量概率來表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在取值落在某區(qū)間某區(qū)間 ( (a, ,b 上的概率上的概率( (a b) )。 由于由于 axb=xb-xa,(,(ab) )，因此對(duì)任意因此對(duì)任意xR，只要知道事件只要知道事件 Xx 發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率，則X落在落在( (a,b 的概率就立刻的概率就立刻可得。因此我們用可得。因此我們用P(Xx)來討論隨機(jī)變量來討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。的概率分布情況。P(Xx）：“隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取值不超過取值不超過

35、x的概率的概率”。 定義定義1 設(shè)設(shè)X是一是一隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)，則實(shí)值，則實(shí)值函數(shù)函數(shù)F(x)P X x， x(-(-，+)+)稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù)。 有了分布函數(shù)定義，任意有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2R， x1x2，隨隨機(jī)變量機(jī)變量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：里的概率可用分布函數(shù)來計(jì)算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).xX 在這個(gè)意義上可以說，在這個(gè)意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者說，或者說，分布函數(shù)完整地表示

36、分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況了隨機(jī)變量的概率分布情況。 一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì) 1、單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若：若x1x2, 則則F(x1) F(x2)； 2、歸一歸一 性性：對(duì)任意實(shí)數(shù)：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0 F(x) 1，且且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx00lim ( )( )xxF xF x3、右連續(xù)性右連續(xù)性：反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)數(shù)的充分必要性質(zhì)。

37、例例2.12.14 4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具分布律具分布律如下表如下表解解 )(xFx0112)()(xXPxFX012P0.10.60.3試求出試求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù)。0,0,0.1,01,0.7,12,1,2.xxxx例例2.12.15 5 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3 3盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈以概率盞信號(hào)燈以概率1/21/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)( (各信號(hào)燈工作相互獨(dú)各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立立) )。求。求

38、X的分布律、分布函數(shù)以及概率的分布律、分布函數(shù)以及概率),2523(),23(XPXP解解 X X的可能取值為的可能取值為0 0，1 1，2 2，3 3，且設(shè)，且設(shè)p=1/2,=1/2,則則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故故X的分布律為：的分布律為：)32( XPX0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù)：的分布函數(shù)：12112411124811112488000112( )()233xxxF xP Xxxx 3132211000874321xxxxx所求概率為所求概率為43)23()23(FXP814387)23()25()2523(FFX

39、P)2()32()32(XPXPXP)2()2()3(XPFF4181871一般地，一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )則則X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為為 xxxxkkkkpxXPxXPxF)()()(F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2 ，xk，處跳躍。處跳躍。3132211000)(874321xxxxxxF. .離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的性質(zhì)的分布函數(shù)的性質(zhì) (1)(1)分布函數(shù)是分段函數(shù)分布函數(shù)是分段函數(shù), ,分段區(qū)間是由分段區(qū)間是由X X的取值的

40、取值點(diǎn)劃分成的左閉右開區(qū)間點(diǎn)劃分成的左閉右開區(qū)間; ; (2) (2)函數(shù)值從函數(shù)值從0 0到到1 1逐段遞增逐段遞增, ,圖形上表現(xiàn)為圖形上表現(xiàn)為階梯階梯形跳躍遞增形跳躍遞增; ; (3) (3)函數(shù)值在點(diǎn)函數(shù)值在點(diǎn)x=xix=xi處有跳躍，其處有跳躍，其跳躍高度恰為跳躍高度恰為xixi點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率值(P44);(P44); (4) (4)分布函數(shù)是分布函數(shù)是右連續(xù)右連續(xù)的的; ; (5) P(X=x (5) P(X=xi i)=F(x)=F(xi i)-F(x)-F(xi i-0)-0) 0.3xF(x)110例例2.162.16 向向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)

41、點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)。假定。假定質(zhì)點(diǎn)落在質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比區(qū)間長(zhǎng)成正比，求，求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解解 F(x)=P(Xx) 1, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), ,F(x)=1當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)時(shí), ,kxxXPxF)0()(特別特別, ,F(1)=P(0 x1)=k=1用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？a ab b?bXap2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量1 1、

42、定義定義1 1 設(shè)設(shè)F(x)是是隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，若若存在非負(fù)可積函數(shù)存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(- - x+ + )，使對(duì)一切使對(duì)一切實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x，均均有有xdttfxXPxF)()()(則稱則稱X為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱，且稱f(x)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)X連續(xù)型隨機(jī)變量，則連續(xù)型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。 (1) 非負(fù)性非負(fù)性 f(x) 0，(- - x+ )；1)(dxx

43、f2、密度函數(shù)的性質(zhì)、密度函數(shù)的性質(zhì)(2),( ,baRbabadxxfaFbFbXaP)()()()(3) 歸一性歸一性1)()()()(lim)(lim)(FFaFbFdxxfdxxfabbaab事實(shí)上事實(shí)上(4) 若若f(x)在在x處連續(xù)，則有處連續(xù)，則有( )= ( )F xf x(5) f(x)在在x0處連續(xù)，處連續(xù)，且且h充分小時(shí)充分小時(shí), ,有有 hxfhxXxP)()(000hxfdxxfhxXxPhxx)()()(00000f(x)稱稱為概率密度的原由。為概率密度的原由。 hhxXxPxf)()(000 xxfdttfdxd)()(密度函數(shù)的密度函數(shù)的幾何意義幾何意義為為ba

44、dttfbXaP)()(密度函數(shù)曲線位于密度函數(shù)曲線位于Ox軸上方。軸上方。即即 y=f(x)，x=a，x=b，x軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形面積面積。對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)c，若若X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x),(-(- x+0的的指數(shù)分布指數(shù)分布。其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為)( xfxO0, 00,1)(xxexFx2、指數(shù)分布、指數(shù)分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X X具有概率密度具有概率密度例例2.22.20 0 電子元件的壽命電子元件的壽命X( (年年) )服從參數(shù)為服從參數(shù)為3的指數(shù)分布的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2年的概率年的概率；(2)

45、已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用年，求它還能使用2年的年的概率為多少？概率為多少？解解330( )00,xexf xx,3)2() 1 (623edxeXPx363.531.53(3.5,1.5)(2) (3.5|1.5)(1.5)3xxedxP XXP XXeP Xedx指數(shù)分布Forever Young(無記憶性)例例2.22.21 1 某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T，設(shè)設(shè)00，tt時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為服從參數(shù)為 t的的泊松分布，求泊松分布，求T的概率密度。的概率密度。解解)()(tTPtF

46、當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(t)=0；當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(t)=P(Tt)=1- -P(Tt)= =1- -P( (在在t時(shí)刻之前無汽車過橋時(shí)刻之前無汽車過橋) )= =1- -P(X=0)=1- -e- -t于是于是000)( )(ttetFtft注：通常概率密度不能直接求得注：通常概率密度不能直接求得時(shí)，先求分布函數(shù)。時(shí)，先求分布函數(shù)。正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。別重要的地位。3、正態(tài)分布正態(tài)分布ABA，B間真實(shí)距離為間真實(shí)距離為 ，測(cè)量值為，測(cè)量值

47、為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)分布正態(tài)分布,記為記為XN( , 2)。若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為（其中（其中 ， 為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， 0）f(x)的圖像為的圖像為22()21( ),(,)2xf xex (1) 單峰對(duì)稱單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對(duì)稱對(duì)稱，即f( + +x)=f( - -x)，x(- -,+)21正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的圖形特征的圖形特征(2)x= 時(shí)，時(shí)， f(x)取得最大值取得最大值f( )= ； (3)x= 處有拐點(diǎn)；處有拐點(diǎn)；(4) 的大小直接影響概率的分

48、布，的大小直接影響概率的分布， 越大，曲線越越大，曲線越平坦平坦， 越小，曲線越陡峭越小，曲線越陡峭。（如圖）。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯( (Gauss)Gauss)分布分布(5)曲線曲線f(x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。易知易知，0)(xf1)(dxxfxydyedxedxxfyx22)(2222121)(222 ( 49)yedyP且且事實(shí)上，令事實(shí)上，令1)(dxxf正態(tài)分布隨機(jī)變量正態(tài)分布隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為xtdtexF222)(21)(其圖像為其圖像為O xF(x)1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù) 0， 21時(shí)，稱隨機(jī)變量時(shí)，稱隨機(jī)變

49、量X服從服從標(biāo)準(zhǔn)正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作態(tài)分布，記作XN(0, 1)。.,21)(22xexx分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為xdtexXPxxt,21)(22其其密度函數(shù)密度函數(shù)表示為表示為O x211(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為的圖像分別為可得可得)()(xx1)()(xx對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)(x)的函數(shù)值，書后附有的函數(shù)值，書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(P295)(P295)。表中給出了。表中給出了x0的函數(shù)值。當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值。當(dāng)x up)=p,則稱則稱up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分分位點(diǎn)。位點(diǎn)。

50、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Up O x )(xp例例2.22.24 4 設(shè)有一項(xiàng)工程有甲、乙兩家公司投標(biāo)承包。設(shè)有一項(xiàng)工程有甲、乙兩家公司投標(biāo)承包。甲公司要求投資甲公司要求投資2.82.8億元，但預(yù)算外開支波動(dòng)較大，設(shè)億元，但預(yù)算外開支波動(dòng)較大，設(shè)實(shí)際費(fèi)用實(shí)際費(fèi)用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投資乙公司要求投資3 3億元，但預(yù)億元，但預(yù)算外開支波動(dòng)較小，設(shè)實(shí)際費(fèi)用算外開支波動(dòng)較小，設(shè)實(shí)際費(fèi)用YN(3,0.22)?，F(xiàn)假定工現(xiàn)假定工程資方掌握資金程資方掌握資金(1)3億元，億元，(2)3.4億元，為了在這兩種億元，為了在這兩種情況下，不至造成資金赤字，選擇哪家公司來承包較情況下，不至造成資

51、金赤字，選擇哪家公司來承包較為合理？為合理？解解 （1）工程資方掌握資金）工程資方掌握資金3億元。億元。若委托甲公司承包若委托甲公司承包)4 . 0(5 . 08 . 23)3()3(FXP若委托乙公司承包若委托乙公司承包50. 0)0(2 . 033)3()3( FYP標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表=0.6554(2)請(qǐng)自己完成。請(qǐng)自己完成。委托甲公司承包較為合理。委托甲公司承包較為合理。正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)隨機(jī)變量的3 3 原則原則(P52)(P52)：設(shè)設(shè)X N( , 2)在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P|X|31，忽略忽略|X|3的值。的值。 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值如

52、在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3 3 作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。6826. 01) 1 (21)(XPXP9544. 01)2(22)2(XPXP9974. 01)3(23)3(XPXP在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一次試驗(yàn)中，正態(tài)分布的隨機(jī)變量X落在以落在以 為中心，為中心，3 3 為半為半徑的區(qū)間徑的區(qū)間( ( - -3 , +3 )內(nèi)的概率相當(dāng)大內(nèi)的概率相當(dāng)大(0.9973)，即，即X幾乎必然幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情

53、形下，X在一次試驗(yàn)中落在在一次試驗(yàn)中落在( ( - -3 , +3 )以外的概率可以忽略不計(jì)。以外的概率可以忽略不計(jì)。 例例2.252.25 一種電子元件的使用壽命一種電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正（小時(shí)）服從正態(tài)分布態(tài)分布(100,152), ,某儀器上裝有某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初90小時(shí)小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率內(nèi)無一元件損壞的概率. .解解 設(shè)設(shè)Y為使用的最初為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù)，小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù)，則則YB(3,p)2514. 0)67. 0(1510090)90(XPp

54、故故4195. 0)1 ()0(3pYP其中其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表一、一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律 2.5 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為 XP(Xxk)pk, k1, 2, 則當(dāng)則當(dāng)Yg(X)的所有取值為的所有取值為yj(j1, 2, )時(shí)，時(shí)，隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y有有如下分布律如下分布律：P(Yyj)qj, j1, 2, 其中其中qj是所有滿足是所有滿足g(xi)= yj的的xi對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的X的概率的概率P(Xxi)pi的和，即的和，即()()()ijjig xyP YyP Xx例例

55、2.26 2.26 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布律，試求隨有如下分布律，試求隨機(jī)變量機(jī)變量Y=(X- -3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y的所有可能取值為的所有可能取值為1，5，171 . 0)3() 11)3() 1(2XPXPYP65. 015. 05 . 0)5() 1()51)3()5(2XPXPXPYP25. 0)7()171)3()17(2XPXPYP故，故，Y的分布律為的分布律為Y1517P0.10.650.25二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1 1、一般方法、一般方法 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連

56、續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為fX(x)，(- - x+ ), , Y=g(X)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的函數(shù)，則的函數(shù)，則Y的分布函的分布函數(shù)數(shù)為為 FY (y) P(Y y)P(g(X) y) yxgdxxf)()(dyydFyfYY)()(從而從而Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)fY (y)為為此法也叫此法也叫“ 分布函數(shù)法分布函數(shù)法”其其它它, 0, 10,2)(xxxfXX例例2.272.27 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量求求Y=3X+5的概率密度。的概率密度。解解 先求先求Y=3X+5的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y)35()53()()(yXPyXPyYPyFY35)(yXdxxf. 8, 1, 85,)5(91, 5, 02yyyy35035022yyxxdx035y1350y135yY的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為其其它它. ., 0, 85),5(92)()(yyyFdydyfYY例例2.28 2.28 設(shè)設(shè)X U(-1,1), ,求求Y= =X2 2的分布函數(shù)與概率密度。的分布函數(shù)與概率密度。 2)(01121xxgyxxfX其其它它1( )2yYyFydxy其它其它01021)( )(yyyFyfYY當(dāng)當(dāng)y0時(shí)，時(shí)，0)(yFY當(dāng)當(dāng)0y1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)y1