分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之工程問題

1、第五講 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之工程問題工程問題，究其本質(zhì)是運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的量率對(duì)應(yīng)關(guān)系，即用對(duì)應(yīng)分率表示工作總量與工作效率，這種方法可以稱作是一種“工程習(xí)慣”，這一類問題稱之為“工程問題”。有的情況下，工程問題并不表現(xiàn)為兩個(gè)工程隊(duì)在“修路筑橋、開挖河渠”，甚至?xí)憩F(xiàn)為“行程問題”、“經(jīng)濟(jì)價(jià)格問題”等等。我們可以這樣認(rèn)為，工程問題不僅指一種題型，更是一種解題方法。教學(xué)目標(biāo)1 回顧工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；2 精講工程問題的常見解題方法：一、 解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，抓住數(shù)量關(guān)系：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，來解答。二、 要善于利用常見的數(shù)學(xué)思想方法，如假設(shè)法、轉(zhuǎn)化法、代換

2、法等。工作的先后順序可以改變（假設(shè)）；要善于抓住工作效率之間的關(guān)系，并適當(dāng)將它轉(zhuǎn)化為工作時(shí)間和工作量之間的關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化和代換，往往能化難為易。三、 一些稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題、流水行程問題，其實(shí)質(zhì)也是工程問題，要善于抓住問題的本質(zhì)特征，把它看作工程問題來解決。專題回顧【例1】 （小學(xué)數(shù)學(xué)冬令營競賽試題）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲、乙合作了幾天后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了16天。乙請(qǐng)假多少天? 【例2】 搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需10小時(shí)，乙需12小時(shí)，丙需15小時(shí)。有同樣的倉庫A和B ，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)

3、向幫乙搬運(yùn)，最后同時(shí)搬完兩個(gè)倉庫的貨物。丙幫助甲、乙各搬運(yùn)了幾小時(shí)？【例3】 （北京市第六屆“迎春杯”決賽試題）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，兩人如此交替工作，請(qǐng)問：完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？ 專題精講一、 代換法關(guān)鍵是將單干與合作的實(shí)際情況，根據(jù)需要等量代換成新的條件?！纠?】 一池水，甲、乙兩管同時(shí)開，5小時(shí)灌滿，乙、丙兩管同時(shí)開，4小時(shí)灌滿?，F(xiàn)在先開乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)。乙單獨(dú)開幾小時(shí)可以灌滿？【例5】 【鋪墊】一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。兩隊(duì)合做2天后由

4、乙隊(duì)獨(dú)做，還要幾天才能完成？【例6】 一項(xiàng)工程，甲先獨(dú)做2天，然后與乙合做7天，這樣才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比是2：3。如果這項(xiàng)工程由乙單獨(dú)做需要多少天才能完成？二、 比例法通過比例關(guān)系，得到相關(guān)條件，是工程問題的一種常見方法?！纠?】 （奧數(shù)研究中心）打印一份書稿，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。甲、乙兩合做需幾天完成？【例8】 （第15屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽初賽）甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)甲車單獨(dú)清掃需10小時(shí)，乙車單獨(dú)清掃需15小時(shí)，兩車同時(shí)從東、西城相向開出，相遇時(shí)甲

5、車比乙車多清掃12千米問：東、西兩城相距多少千米？三、 方程法抓住等量關(guān)系解題?！纠?】 （小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽第9題）甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來完成。在晴天，一隊(duì)完成甲工作要12天，二隊(duì)完成乙工程要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下降40，二隊(duì)的工作效率要下降10。結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成工作，問工作時(shí)間內(nèi)下了多少天雨？四、 列表法數(shù)據(jù)很多，可列表整理?！纠?0】 （奧數(shù)研究中心）放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打開1，2，3號(hào)閥門，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開2，3，4閥門，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開1，3，4號(hào)閥門，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)打開1，2，4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成。問：如

6、果同時(shí)打開1，2，3，4號(hào)閥門，那么多少分可以完成？【例11】 （小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽）一項(xiàng)工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，現(xiàn)決定將工程承包給某一工程隊(duì)，確保工程要100天以內(nèi)完成，且支付的工程款盡量的少，那么應(yīng)該將工程交給哪一個(gè)工程隊(duì)，支付的工程款是多少元？五、 工程法對(duì)于行程或者其它一些題，可以用工程習(xí)慣來解題?！纠?2】 小王和小李同時(shí)從兩地相向而行，小王走完全

7、程要60分鐘，小李走完全程要40分鐘。出發(fā)后5分，小李因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，因取東西耽誤了5分鐘，小李再出發(fā)后多長時(shí)間兩人相遇？真題實(shí)戰(zhàn)1、（06年西城八中選拔考試真題）一份文件，如果甲抄10小時(shí)，乙抄10小時(shí)可以抄完；如果甲抄8小時(shí)，乙抄13小時(shí)也可以抄完?，F(xiàn)在甲先抄2小時(shí)，剩下的甲乙合作，還需要幾小時(shí)才能完成？2、（04年人大附考試真題）我們規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程是指，第一個(gè)人先做一個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人再做一個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做一個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做一個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止。如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要9.8小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需

8、要多少小時(shí)？3、抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天都能完成？4、有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？5、（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）一件工程,甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成,甲隊(duì)做3天后乙隊(duì)做2天恰可完成一半,現(xiàn)在甲乙兩隊(duì)合做若干天后,由乙隊(duì)單獨(dú)完成,做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等,則共用多少天?數(shù)學(xué)語絮勤奮出天才法國數(shù)學(xué)家彭加勒，童年時(shí)由于患過

9、運(yùn)動(dòng)神經(jīng)系統(tǒng)的毛病，視力和書寫能力都受到很大的影響，但非凡的記憶力和高度集中的注意力卻彌補(bǔ)了他這方面的缺陷。彭加勒具有過目不忘的“照相機(jī)式”的記憶力，他對(duì)事物的記憶迅速、持久而準(zhǔn)確。由于視力不好，上課時(shí)看不清黑板上的字，記筆記對(duì)于他來說是一件很不容易的事。彭加勒索性就不記筆記，上課時(shí)集中注意力全神貫注地聽講、記憶和思考。由于長期采取這種方式學(xué)習(xí)，彭加勒養(yǎng)成了在腦子中完成復(fù)雜計(jì)算的能力，他的許多論文就是采用這種方式構(gòu)思的。以這種獨(dú)特的方式，彭加勒闖進(jìn)了數(shù)學(xué)大世界。19歲那年，彭加勒的數(shù)學(xué)才能已經(jīng)遠(yuǎn)近聞名。這一年，彭加勒?qǐng)?bào)名參加了巴黎綜合工科學(xué)校的入學(xué)考試。為了試探這位數(shù)學(xué)奇才的能力，主考官精心設(shè)

10、計(jì)了兩道難題。誰知道彭加勒竟然不費(fèi)吹灰之力，輕而易舉地解答了出來，主考官們吃驚不已?？墒?，他的畫圖能力太差，在幾何畫圖的考試中他落下馬來。按學(xué)校的規(guī)定，彭加勒已與這所著名的高等學(xué)府無緣，但主考官認(rèn)為他是一個(gè)難得的數(shù)學(xué)奇才。因此，在主考官的竭力推薦下，彭加勒被破格錄取了。在巴黎綜合工科學(xué)校學(xué)習(xí)兩年后，彭加勒又升入了高一級(jí)的礦業(yè)學(xué)院，準(zhǔn)備畢業(yè)后當(dāng)一名工程師。但是，數(shù)學(xué)深深吸引著彭加勒，他仍花許多時(shí)間和精力來研究各種各樣的數(shù)學(xué)問題。1878年，他向法蘭西科學(xué)院提交了一篇關(guān)于微分方程的論文，這篇論文被科學(xué)院的專家評(píng)定為優(yōu)秀論文。第二年，法蘭西科學(xué)院授予彭加勒數(shù)學(xué)博士學(xué)位。這一年，彭加勒25歲，33歲時(shí)他又當(dāng)選為法蘭西科學(xué)院院士。彭加勒一生共發(fā)表過500多篇學(xué)術(shù)論文和30多卷著作，其內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)和哲學(xué)等眾多學(xué)科。有趣的是，這樣