全等三角形題型總結(jié)

1、 全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”例題、已知：如圖，ADBC，ACBD.試證明：CADDBC.(答案）證明：連接DC， 在ACD與BDC中ACDBDC（SSS）CADDBC（全等三角形對應(yīng)角相等）類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”例題、已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，并且AE（ABAD），求證：BD180°.(答案）證明：在線段AE上，截取EFEB，連接FC，CEAB，CEBCEF90°在CBE和CFE中，CBE和CFE（SAS）BCFEAE（ABAD），2AE ABAD AD2AEABAEAFEF，AD2（AFEF）

2、AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即ADAF在AFC和ADC中AFCADC（SAS）AFCD AFCCFE180°，BCFE.AFCB180°，BD180°.類型三、全等三角形的判定3“角邊角”例題、已知：如圖，在MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點，且MQNQ求證：HNPM.證明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90°， 又132490°，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ（ASA） PMHN類型四、全等三角形的判定4“角角邊”例題、已知RtABC中，ACBC，C90°，D為AB邊的中點，EDF90

3、°，EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB于E、F當(dāng)EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時（如圖1），易證；當(dāng)EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.解：圖2成立； 證明圖2：過點作 則在AMD和DNB中，AMDDNB（AAS）DMDNMDEEDNNDFEDN90°， MDENDF在DME與DNF中，DMEDNF（ASA）可知，類型五、直角三角形全等的判定“HL”下列說法中，正確的畫“”；錯誤的畫“×”，并舉出反例畫出圖形.（1）一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（

4、 ）（2）有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ ）（3）有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ ）(答案）（1）；（2）×；在ABC和DBC中，ABDB，AE和DF是其中一邊上的高，AEDF（3）×. 在ABC和ABD中，ABAB，ADAC，AH為第三邊上的高，如下圖：1、已知：如圖，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求證：ABDC.(答案與解析）證明：DEAC，BFAC，在RtADE與RtCBF中RtADERtCBF （HL） AECF，DEBFAEEFCFEF，即AFCE在RtCDE與RtABF中，RtCDERtABF（SAS）DCEBAF A

5、BDC.(點評）從已知條件只能先證出RtADERtCBF，從結(jié)論又需證RtCDERtABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.2、如圖，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D.（1）求證：AECD；（2）若AC12，求BD的長.(答案與解析）（1）證明：DBBC，CFAE，DCBDDCBAEC90°DAEC又DBCECA90°，且BCCA，DBCECA（AAS）AECD（2）解：由（1）得AECD，ACBC，CDBAEC（HL） BDECBCAC，且AC12 BD6(點評）三角形全

6、等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，此點叫做三角形的內(nèi)心且這一點到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點.這點叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個.如圖所示：ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個點到ABC三邊所在直線距離相等.角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖，AD是BAC的平分線，DEAB，交AB的延長線于點E，DFAC于點F，且

7、DBDC.求證：BECF.(答案）證明：DEAE，DFAC，AD是BAC的平分線， DEDF，BEDDFC90° 在RtBDE與RtCDF中，RtBDERtCDF（HL） BECF2、如圖，AC=DB，PAC與PBD的面積相等求證：OP平分AOB(答案與解析）證明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB (點評）觀察已知條件中提到的三角形PAC與PBD，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果.3、如圖，DCAB

8、，BAD和ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點. 求證：ADABDC.(答案） 證明：在線段AD上取AFAB，連接EF，AE是BAD的角平分線，12，AFAB  AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180°，AFEC180°，又DFEAFE180°，CDFE，DE是ADC的平分線，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定如圖，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求證：BDCE.(答案)證明：AEAB，ADAC， EABDAC90° EAB

9、DAEDACDAE ，即DABEAC. 在DAB與EAC中，DABEAC （SAS） BDCE.類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在ABC中，ABAC.求證：BC(答案)證明：過點A作ADBC在RtABD與RtACD中 RtABDRtACD（HL） BC.(2)倍長中線法：1、已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACBABC求證：CD2CE(答案）證明： 延長CE至F使EFCE，連接BF EC為中線， AEBE在AEC與BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BC

10、ABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC為ADC的中線， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE2、若三角形的兩邊長分別為5和7, 則第三邊的中線長的取值范圍是( ) A.1 6 B.5 7 C.2 12 D.無法確定(答案)A ；提示：倍長中線構(gòu)造全等三角形，7575，所以選A選項.(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HDBD.(1)求證：B與AHD互補(bǔ)；(2)若B2DGA180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.(答案）證明：

11、（1）在AB上取一點M, 使得AMAH, 連接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180°, AHDB180°. 即 B與AHD互補(bǔ). （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180°. B2DGA 180°, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截長(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖，AD是ABC的角平分線，A

12、BAC,求證：ABACBDDC(答案）證明：在AB上截取AEAC,連結(jié)DEAD是ABC的角平分線，BADCAD在AED與ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC2、如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MBMCABAC(答案與解析)證明：ABAC，則在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(點評)因為ABAC，所以可在AB上截

13、取線段AEAC，這時BEABAC，如果連接EM，在BME中，顯然有MBMEBE這表明只要證明MEMC，則結(jié)論成立充分利用角平分線的對稱性，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵.（4）.在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.1、如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF(答案與解析）證明： 作MEAF于M，連接EF 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE為FAD的平分線， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對應(yīng)邊相等)又 E為CD中點， DEEC MEEC在RtEMF與Rt

14、ECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對應(yīng)邊相等)由圖可知：AFAMMF， AFADFC(等量代換)(點評）與角平分線有關(guān)的輔助線： 在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段. 四邊形ABCD為正方形，則D90°而DAEFAE說明AE為FAD的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線性質(zhì)可知MEDEAEAERtAME與RtADE全等有ADAM而題中要證AFADCF根據(jù)圖知AFAMMF故只需證MFFC即可從而把證AFADCF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題2、

15、如圖所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E， ，求證：BD是ABC的平分線(答案與解析）證明：延長AE和BC，交于點F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（對頂角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）則AF=BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，則RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形對應(yīng)角相等），即BD是ABC的平分線(點評）如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)

16、造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型三、全等三角形動態(tài)型問題解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點：(1) 變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時變化，有時不發(fā)生變化1、已知：在ABC中，BAC90°，ABAC，點D為射線BC上一動點，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，求證：CFBD （2）當(dāng)點D運動到線段BC的延長線上時，如圖2，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.(答案）證明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90° DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF （2）當(dāng)點D運動到線段BC的延長線上時，仍有BDCF 此時DAFDACBACDAC，即BADCAF