2證明不等式的基本方法二

1、證明不等式的證明不等式的基本方法基本方法 高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修4-5 第第二二 講講二二、綜合法綜合法與與分析法分析法1. 比較法之一（作比較法之一（作差差法）步驟：法）步驟： 作作差差變形變形判斷與判斷與0的關(guān)系的關(guān)系結(jié)論結(jié)論;2. 比較法之二（作比較法之二（作商商法）步驟：法）步驟： 作作商商變形變形判斷與判斷與1的關(guān)系的關(guān)系結(jié)論結(jié)論. 二、講解新課：二、講解新課：(一一) 綜合法：綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式 (例如例如均值均值定理定理)和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立明的不等式成立, 這種證明方法通常叫做綜合法這種

2、證明方法通常叫做綜合法.一、復(fù)習(xí)引入：一、復(fù)習(xí)引入：2. 用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 3. 綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)ЧC合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч? 即由已知條即由已知條件出發(fā)件出發(fā), 利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式, 推推出結(jié)論的一種證明方法出結(jié)論的一種證明方法.12nABBBBabcbacacbcbacba6)()()(, 0, 1222222 求求證證且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(, 0,2 :2222 證明證明abcbacabcacb2)(2)(2222 ，同理同理abcbacacbcb

3、acba6)()()(,222222 把把它它們們相相加加得得少少有有一一個(gè)個(gè)不不取取等等號(hào)號(hào)所所以以上上述述三三個(gè)個(gè)式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于.2)1()1)(1(:1,R, .2212121nnnnaaaaaaaaa 求求證證且且已已知知例例, 021, :111 aaRa證明證明, 021 , 02122 nnaaaa同理同理.212122)1 ()1)(1 (,nnnnaaaaaa 得得由不等式的性質(zhì)由不等式的性質(zhì).1,21 ,121時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)所以原式在所以原式在取等號(hào)取等號(hào)時(shí)時(shí) niiiaaaaaa1. 重要不等式：如果重要不等式：如果 abbaba2R,22 那

4、么那么)(號(hào)號(hào)時(shí)取時(shí)取當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ba2. 定理定理: 如果如果a, b是正數(shù)是正數(shù), 那么那么.2abba ).(號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)取取當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) ba3. 公式的等價(jià)變形公式的等價(jià)變形: ab ab ;222ba .)2(2ba 4 2 (ab0),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取時(shí)取“”號(hào)號(hào); baab :,常常用用的的不不等等式式有有對(duì)對(duì)已已證證不不等等式式的的使使用用應(yīng)應(yīng)注注意意時(shí)時(shí)利利用用綜綜合合法法證證明明不不等等式式7. 定理定理: 如果如果 那么那么, Rcba（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”） abccba3333 cba 8. 推論推論: 如果如果 那么那么, Rcba33

5、abccba （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取時(shí)取“=”） cba 5. .2)2(222baba .2211222babaabba 6. 練習(xí)練習(xí): 1. 若若a + b = 1, 求證：求證：22121 ba證法一證法一: 由冪平均不等式：由冪平均不等式：1222) 1(2)21()21()2121(21 bababa22121 ba.2222baba 1. 若若a + b = 1, 求證：求證：22121 ba證法二證法二: 由均值不等式：由均值不等式：21)21(1)21(21 aaa221)21(21)21(2121 baba21)21(1)21(21 bbb2. a , b, c R+,

6、 求證：求證：; 9)111)()(1( cbacba;29)111)()(2( accbbacba23)3( bacacbcba證證: (1)法一法一: , 033 abccba兩式相乘即得兩式相乘即得 , 0131113 abccba; 9)111)( cbacba 3 + 2 + 2 + 2 = 9法二：左邊法二：左邊 ccbabcbaacba )()()(3cbbccaacbaab ; 9)111)()(1( cbacba;29)111)()(2( accbbacba3)()(23222accbbaaccbba 證證:3)()(13111accbbaaccbba 兩式相乘即得兩式相乘即

7、得 ;29)111)( accbbacba證證: 由上題：由上題： ,29)111)( accbbacba29111 acbcbabac23 bacacbcba即即 .23)3(;29)111)()(2( bacacbcbaaccbbacba(二二)分析法分析法: 從要證的從要證的結(jié)論出發(fā)結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它逐步尋求使它成成立的充分條件立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個(gè)直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證的定理、性定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等質(zhì)等), 從而得出要證的命題成立從而得出要證的命題成立, 這種證明方法這種證明方法叫做叫做分析法分析

8、法. 1. 用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：2. 分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因執(zhí)果索因知知成立的充分條件成立的充分條件論論已已步步尋求不等式步步尋求不等式結(jié)結(jié) ) ( 21ABBBBn3. 分析法的書寫格式：分析法的書寫格式： 要證明命題要證明命題B為真，為真， 只需要證明命題只需要證明命題B1 為真，從而有為真，從而有 這只需要證明命題為這只需要證明命題為B2真，從而又有真，從而又有 這只需要證明命題這只需要證明命題A為真為真 而已知而已知A為真，故命題為真，故命題B必為真必為真.6372. 3 求證求證例例, 6372,6372 : 所以

9、要證所以要證都是正數(shù)都是正數(shù)和和證明證明,1814,18291429 只需證只需證展開(kāi)得展開(kāi)得.6372,1814,1814成立成立所以所以成立成立只需證只需證 ,)63()72(22 只需證只需證abccbaaccbbacba 222222, 0, . 4求求證證已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考慮用可以考慮用右邊各項(xiàng)涉及三個(gè)字母右邊各項(xiàng)涉及三個(gè)字母平方之積平方之積左邊各項(xiàng)是兩個(gè)字母的左邊各項(xiàng)是兩個(gè)字母的觀察上式觀察上式要證的不等式可化為要證的不等式可化為分析分析bcacbaabccb22222222)(, 0,2 : 證明證明abcc

10、baaccbbacba 222222, 0, . 4求求證證已已知知例例abcbaccabbaacbacbbacac222222222222222)(, 0,22)(, 0,2 )(222)( 2222222222222222cbaabcaccbbaabcacbbcaaccbba abccbaaccbbacbacbacba 222222, 01, 0, 0,故故又又練習(xí)練習(xí): 1. 證明證明: 通過(guò)水管放水通過(guò)水管放水, 當(dāng)流速相同時(shí)當(dāng)流速相同時(shí), 如如果水管截面的周長(zhǎng)相等果水管截面的周長(zhǎng)相等, 那么截面是圓的水管比那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大截面是正方形的水管流量大.證明：設(shè)

11、截面的周長(zhǎng)為證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng), 依題意依題意, 截面是圓的水截面是圓的水管的截面面積為管的截面面積為,)2(2 L截面是正方形的水管的截面面積為截面是正方形的水管的截面面積為 ,)4(2L所以本題只需證明所以本題只需證明 ,)4()2(22LL 為了證明上式成立為了證明上式成立, 只需證明只需證明 164222LL 兩邊同乘以正數(shù)兩邊同乘以正數(shù) 得得,42L,411 因此因此, 只需證明只需證明 ,4 上式是成立的上式是成立的, 所以所以 .)4()2(22LL 這就證明了這就證明了, 通過(guò)水管放水通過(guò)水管放水, 當(dāng)流速相同時(shí)當(dāng)流速相同時(shí), 如果水管截面的周長(zhǎng)相等如果水管截面的周長(zhǎng)相等,

12、 那么截面是圓的水管那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大比截面是正方形的水管流量大.說(shuō)明說(shuō)明: 對(duì)于較復(fù)雜的不等式對(duì)于較復(fù)雜的不等式, 直接運(yùn)用綜合法往直接運(yùn)用綜合法往往不易入手往不易入手, 因此因此, 通常用分析法探索證題途徑通常用分析法探索證題途徑, 然后用綜合法加以證明然后用綜合法加以證明, 所以分析法和綜合法所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求證求證: ac+bd證法一證法一(分析法分析法): (1)當(dāng)當(dāng)ac+bd0時(shí)時(shí), 顯然成立顯然成立, (2)當(dāng)當(dāng) ac+bd0 時(shí)時(shí), 欲證原不等

13、式成立欲證原不等式成立,只需證只需證 (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即證即證 a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即證即證 2abcdb2c2+a2d2即證即證 0(bc-ad)2因?yàn)橐驗(yàn)?a, b, c, dR, 所以上式恒成立所以上式恒成立,綜合綜合(1)、(2)可知可知: 原不等式成立原不等式成立2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求證求證: ac+bd證法二證法二(綜合法綜合法): (a2+b2)(c2+d2) =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+

14、a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2)(2222dcba |ac+bd|ac+bd 故命題得證故命題得證. 2. 已知已知a, b, c, dR, )(2222dcba 求證求證: ac+bd證法三證法三(比較法比較法) : (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 (a2c2+2abcd+b2d2)=(bc-ad)20 =a2d2+b2c2 2abcd(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 )(2222dcba |ac+bd|ac+bd )(2222dcba 即即 ac+bd3. 設(shè)設(shè)a, bR+, 且且ab-a-b1, 則有（則有（ ） A. a+b2( +1) B. a+b( +1)2 C. a+b( +1)2 D. a+b2( +1)2222A2)2(ba ab1+a+b解：解：即即, 04)(4)(2 baba,222 ba222 ba(舍去舍去)D4. 已知三個(gè)不等式已知三個(gè)不等式: ab0, bc-ad0, (其中其中a、b、c