第3課時(shí) 切線長定理

1、第3課時(shí) 切線長定理 【知識與技能】理解掌握切線長的概念和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心等概念.【過程與方法】利用圓的軸對稱性幫助探求切線長的特征.結(jié)合求證三角形內(nèi)面積最大的圓的問題，掌握三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念.【情感態(tài)度】經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力.【教學(xué)重點(diǎn)】切線長定理及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】內(nèi)切圓、內(nèi)心的概念及運(yùn)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識探究 如圖，紙上有一O，PA為O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B，回答下列問題：（1）OB是O半徑嗎？（2）PB是O的切線嗎？（3）PA、PB是什么關(guān)系？（4）APO和BPO有何關(guān)系？學(xué)

2、生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，觀察分析，合作交流后，教師抽取幾位學(xué)生回答問題.分析：OB與OA重合，OA是半徑，OB也是半徑.根據(jù)折疊前后的角不變，PBO=PAO=90°（即PBOB），PA=PB，POA=POB；APO=BPO.而PB經(jīng)過半徑OB的外端點(diǎn)，PB是O的切線.二、思考探究，獲取新知1.切線長的定義及性質(zhì)切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長.我們知道圓的切線是直線，而切線長是一條線段長，不是直線.如右圖中，PA、PB是O的兩條切線，OAPA，OBPB.又OA=OB，OP=OP，RtAOPRtBOP，PA=PB，AOP=BOP，APO=BPO.由此我們

3、得到切線長定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【教學(xué)說明】這個(gè)定理要讓學(xué)生分清題設(shè)和結(jié)論.題設(shè)：過圓外一點(diǎn)作圓的切線.結(jié)論：過圓外的這一點(diǎn)可作該圓的兩條切線.兩條切線長相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.猜想：在上圖中連接AB，則OP與AB有怎樣的關(guān)系？分析：PA、PB是O的切線，A、B是切點(diǎn).PA=PB，OPA=OPB，OPAB，且OP平分AB.2.三角形的內(nèi)切圓思考 如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生分析作圖的關(guān)鍵，假設(shè)圓已經(jīng)作出，圓心應(yīng)滿足什么條件，怎樣根據(jù)

4、這些條件確定圓心？圓心確定后，如何確定半徑？教師引導(dǎo)，學(xué)生要互相討論來解決這些問題.假設(shè)符合條件的圓已作出，那么這個(gè)圓與ABC的三邊都相切，這個(gè)圓的圓心到ABC三邊的距離都等于半徑.又因?yàn)槲覀冊诮瞧椒志€這節(jié)中學(xué)過，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等.因此，在ABC中，作B，C的角平分線BM和CN，它們相交于點(diǎn)I，則點(diǎn)I到AB、BC、AC的距離相等.以I為圓心，點(diǎn)I到BC的距離ID為半徑作圓，則I與ABC三邊相切.內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.【教學(xué)說明】要讓

5、學(xué)生對照圖形理解三角形的內(nèi)切圓的概念，并與三角形的外接圓進(jìn)行比較.“接”和“切”是說明多邊形的頂點(diǎn)和邊與圓的關(guān)系；多邊形的頂點(diǎn)都在圓上叫“接”，多邊形的邊都與圓相切叫“切”.三、典例精析，掌握新知例1 教材第100頁，例2（本題較簡單，教師指點(diǎn)，可由學(xué)生自主完成）例2 如圖，P為O外一點(diǎn)，PA、PB分別切O于A、B兩點(diǎn)，連接OP，交O于C，若PA=6.PC=23.求O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角.分析：連接OA，設(shè)AO=x，在RtAOP中利用勾股定理求出x，由切線長定理知APO=12APB.求出APO就可得APB.解：連接AO，PA是O的切線，PAOA，PAO為直角三角形.設(shè)OA=x，則

6、OC=x，在RtPAO中，OA2+PA2=OP2，x2+62=(2+x)2，解得:x=2.OA=2，OP=4，AOP=60°，APO=30°.APB=2APO=2×30°=60°.O的半徑OA為2，兩切線PA、PB的夾角為60°.【教學(xué)說明】例1、例2是利用切線長定理進(jìn)行計(jì)算，在解題過程中，我們常常用方程來解決幾何問題.例3如圖，在ABC中，I是內(nèi)心，BIC=100°，則A=_.分析：I是內(nèi)心.BI，CI分別是ABC，ACB的平分線.ABC+ACB=2（IBC+ICB）.又BIC=100°，IBC+ICB=80°.ABC+ACB=160°.A=180°-160°=20°.【教學(xué)說明】指導(dǎo)學(xué)生利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解決問題.四、運(yùn)用新知，深化理解課本第100頁練習(xí)1、2題.【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生完成課本練習(xí).五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)重要知識點(diǎn)？你有哪些疑惑？【教學(xué)說明】學(xué)生自主交流并發(fā)言總結(jié)，教師予以補(bǔ)充和點(diǎn)評，讓學(xué)生完整地領(lǐng)會本堂課的知識要點(diǎn).1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.2”中選取.2.完成練習(xí)冊中本課時(shí) 練習(xí)的“課后作業(yè)