中級計量經(jīng)濟學(xué)講義數(shù)學(xué)基礎(chǔ) Mathematics矩陣Matrix及其二次型Quadratic Forms

1、上課材料之二：第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (Mathematics)第一節(jié) 矩陣(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二節(jié) 分布函數(shù)(Distribution Function)，數(shù)學(xué)期望(Expectation)及方差(Variance)第三節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計（Mathematical Statistics）第一節(jié) 矩陣及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩陣的基本概念與運算一個mn矩陣可表示為：矩陣的加法較為簡單，若C=A+B，cij=aij+bij但矩陣的乘法的定義比較特殊，若A是一個mn1的矩陣，B是一個n1n的矩陣，則C=AB是一

2、個mn的矩陣，而且，一般來講，ABBA，但如下運算是成立的：l 結(jié)合律（Associative Law） (AB)C=A（BC）l 分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC問題：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？向量（Vector）是一個有序的數(shù)組，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。如果是一個標(biāo)量，則A=aij。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣(transpose matrix)記為，是通過把的行向量變成相應(yīng)的列向量而得到。顯然()=，而且（+）=+，l 乘積的轉(zhuǎn)置（Transpo

3、se of production ） ，。l 可逆矩陣（inverse matrix），如果n級方陣(square matrix)A和B，滿足AB=BA=I。則稱A、B是可逆矩陣，顯然，。如下結(jié)果是成立的：。2.2 特殊矩陣1）恒等矩陣(identity matrix)對角線上元素全為1，其余全為0，可記為I；2）標(biāo)量矩陣(scalar matrix)即形如I的矩陣，其中是標(biāo)量；3）冪等矩陣(idempotent matrix)如果矩陣具有性質(zhì)，這樣的矩陣稱為冪等矩陣。定理：冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。4）正定矩陣（positive definite）和負(fù)定矩陣（negative de

4、finite），非負(fù)定矩陣(nonnegative)或半正定矩陣（positive semi-definite ），非正定矩陣(nonpositive definite)或半負(fù)定矩陣（negative semi-definite）；對于任意的非零向量，如有0（0），則稱A是正（負(fù)）定矩陣；如有0（0），非負(fù)（非正）定矩陣。如果A是非負(fù)定的，則記為A0；如果是正定的，則記為A0。協(xié)方差矩陣是半正定矩陣，幾個結(jié)論：a）恒等矩陣或單位矩陣是正定的；b）如果是正定的，則也是正定的；c）如果是正定的，是可逆矩陣，則是正定的；d）如果是一個nm矩陣，且nm，則是正定的，是非負(fù)定矩陣。5）對稱矩陣（symm

5、etric matrix）；如果=，則稱為對稱矩陣。2.3 矩陣的跡（trace）一個nn矩陣的跡被定義為它的對角線上的元素之和，記為，則，如下結(jié)論是顯然的。1） （是標(biāo)量） 特例2）3）4），特例）循環(huán)排列原則tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理：實對稱矩陣A的跡等于它的特征根之和。因為A是實對稱矩陣，故有在矩陣C，使得，其中，所以，。2.4 矩陣的秩(rank)一個矩陣A的行秩和列秩一定相等，一個矩陣的秩就可以定義為它的行秩或列秩，記為r(A)，不加證明，我們給出如下結(jié)果：1）（行數(shù)、列數(shù)）2），其中A、B分別為mn1、n1n矩陣，特例：如果A、B為n

6、n矩陣，而且AB=0，則3），其中是nn的方陣4）5）設(shè)是nn矩陣，且，則6）設(shè)是nn矩陣，且，則2.5 統(tǒng)計量的矩陣表示向量可理解為特殊的矩陣。是一個其元素都為1的n維列向量，即=（1，1，1），如果我們再假定，計量經(jīng)濟模型中的許多統(tǒng)計量就可以用矩陣的形式表示出來，很方便進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)。顯而易見，樣本的均值與方差的矩陣表示如下：1）樣本均值矩陣表示；事實上即，而，；2）樣本方差矩陣表示易知：。其中矩陣是一個每個元素都為的階方陣，從而。定理：矩陣是冪等矩陣。矩陣的對角線上的元素為，非對角線的元素為，是一個對稱矩陣。故樣本方差： 。2.6 矩陣的二次型與多元正態(tài)分布1）矩陣的二次型（Quadrat

7、ic Forms）和線性變換（lineartransferring）設(shè)P是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P中的的二次齊次多項式 （1）稱為數(shù)域P上的一個n元二次型，或者，在不致引起混淆時簡稱二次型。例如就是有理數(shù)域上的一個三元二次型，為了以后討論上的方便，在（1）中，的系數(shù)寫在。而不簡單地寫成。和在幾何中一樣，在處理許多其它問題時也常常希望通過變量的線性替換簡化有關(guān)的二次型，為此，我們引入定義1 設(shè)；是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一級關(guān)系式 （2）稱為由，到的一個線性替換，或簡稱線性替換，如果系數(shù)行列式那么線性替換（2）就稱為非退化的。在討論二次型時，矩陣是一個有力的工具，因此我們先把二次型與線性替換用

8、矩陣來表示。令， 由于所以二次型（1）可以寫成 （3）把（3）的系數(shù)排成一個nn矩陣 （4）它就稱為二次型（3）的矩陣，因為，所以我們把這樣的矩陣稱為對稱矩陣，因此，二次型的矩陣都是對稱的。令于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來，故 應(yīng)該看到，二次型（1）的矩陣的元素正是它的項的系數(shù)的一半，因此二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，由此還能得到，若二次型且，則。令于是線性替換（2）可以寫成或者我們知道，經(jīng)過一個非退化的線性替換，二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來看一下，替換后的二次型與原來的二次型之間有什么關(guān)系，也就是說，找出替換后的二次的矩陣與原二次型的矩陣之間的關(guān)系。設(shè) （5）是一個二次型，作非退

9、化線性替換 （6）我們得到一個的二次型現(xiàn)在來看矩陣B與A的關(guān)系。把（6）代入（5），有 容易看出，矩陣也是對稱的，事實上，由此，即得這就是前后兩個二次型的矩陣的關(guān)系，與之相應(yīng)，我們引入定義2 數(shù)域P上nn矩陣A，B稱為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的nn矩陣C，使合同是矩陣之間的一個關(guān)系，不難看出，合同關(guān)系具有1）反身性：；2）對稱性：由即得；3）傳遞性：由即得因之，經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。這樣，我們就把二次型的變換通過矩陣表示出來，為以下的探討提供了有力的工具。最后指出，在變換二次型時，我們總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看，這一點是自然的，因為坐

10、標(biāo)變換一定是非退化的，一般地，當(dāng)線性替換是非退化時，由上面的關(guān)系即得這也是一個線性替換，它把所得的二次型還原。這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可以推知原來二次型的一些性質(zhì)。定理：若A是實對稱矩陣，則存在可逆矩陣C，滿足：。2）多元正態(tài)分布a）二元正態(tài)分布直觀上，二元正態(tài)分布是兩個正態(tài)隨機變量的聯(lián)合分布。如果兩個隨機變量X1和X2的聯(lián)合密度函數(shù)為這里，0，0，1，我們稱X1和X2服從二元正態(tài)分布。通過計算可得X1和X2的邊際分布分別為和。上式中的參數(shù)是X1和X2的相關(guān)系數(shù)。如果X1和X2服從二元正態(tài)分布，那么在給定的條件下X2的條件分布也是正態(tài)的。它的條件密度函數(shù)為這里條件均值是的線性函數(shù)。并且，

11、二元正態(tài)分布具有一個獨特的性質(zhì)，那就是如果，那么X1和X2是相互獨立的。這是由于當(dāng)時，我們有。這對于一般的兩個隨機變量是不對的。有時如果把聯(lián)合概率密度函數(shù)寫成矩陣的形式，則從形式上來看就簡單多了。記，那么二元正態(tài)概率密度函數(shù)可以寫成如下的簡單形式這里b）多元正態(tài)分布，這就是均值為協(xié)方差矩陣為的多元正態(tài)分布，記為。c）多元正態(tài)分布的二次型的分布如果，那么這里n是X的維數(shù)。我們可以簡單地證明這個結(jié)果。由于是對稱可逆矩陣，那么存在一個可逆的矩陣A，使得。我們有，所以。2.7 冪等矩陣與二次型1、冪等矩陣滿足A2=A的矩陣稱為冪等矩陣。冪等矩陣可以是對稱的，也可以是非對稱的，但在我們計量統(tǒng)計學(xué)中，所研

12、究的冪等矩陣都是對稱的。與冪等矩陣的有關(guān)的結(jié)果有：1）冪等矩陣的特征根要么是1，要么是零。證明：設(shè)是A的特征根，E是特征向量，則AE=，同時=A=A2=，故，從而或。2）唯一滿秩的對稱冪等矩陣是單位矩陣。證明：A2=A即除了單位矩陣外，所有冪等矩陣是奇異的。3）A是冪等矩陣，則IA也是冪等矩陣，且秩（A）+秩（IA）=n。4）對稱冪等矩陣的秩等于它的跡。（為什么？）從而我們很容易知道M0的秩。因M0的每個對角元素都是，因此。5）的服從分布（如果這是因為：和。6） X是一個nm的矩陣，秩（X）=m則M是冪等矩陣。2.8 微分及其矩陣的微分表示1）微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中被廣泛地用來作近

13、似計算。為了說明這種技巧如何運作，考慮一個例子。設(shè)P代表GDP平減指數(shù)，Y代表實際GDP，則名義GDP為PY，于是有：（PY）變動的百分比的（P變動的百分比）+（Y變動的百分比）；同樣一個比率變動的百分比近似地是分子變動的百分比減去分母變動的百分比。例如：設(shè)Y代表GDP，而L代表人口數(shù)，則人均GDP為，則：（Y/L）變動的百分比（Y變動的百分比）（L變動的百分比）問題1：1）上述2個近似公式在什么條件下成立？2）推導(dǎo)上述兩個公式3）宏觀經(jīng)濟中，GDP的確定由4個組成部分，即：GDP=C+I+G+NX。能否按如下公式計算GDP變動百分比：GDP變動的百分比（消費C變動的百分比）+（投資I變?yōu)榈陌?/p>

14、分比）+（政府購買G變動的百分比）+（凈出口NX變動百分比）。如果不能，哪邊的值較大？為什么？問題2:In the country of Wiknam, the velocity of money is constant. Real GDP grows by 5 percent per year, the money stock grows by 14 percent per year, and the nominal interest rate is 11 percent . What is the real interest rate? 2）計量模型的推導(dǎo)帶技術(shù)進步的Solow模型假定生產(chǎn)

15、函數(shù)為?？怂梗℉icks）中性技術(shù)進步條件下的產(chǎn)出增長型函數(shù)，其一般形式Solow模型為： （1）對A（t）作進一步假定，令，這里A0為基本的技術(shù)水平，表示由于技術(shù)進步而使產(chǎn)出增長的部分，稱為技術(shù)進步增長率。于是（1）式變?yōu)椋?（2）對（2）式兩邊取對數(shù)并求導(dǎo)得到： （3）由于Y、L、K的實際數(shù)據(jù)都是離散的，故對（3）進行離散化，并令年，于是有： （4）表示產(chǎn)出的勞動力彈性，表示產(chǎn)出的資本彈性。于是（4）式實際上就是我們的科技進步貢獻率的測算模型，注意到：這里表示科技進步對產(chǎn)出增長的貢獻率，表示勞動力增長對產(chǎn)出增長的貢獻率，表示資本增長對產(chǎn)出增長的貢獻率。從而有： （5）（5）式就給出了技術(shù)進

16、步貢獻率的測算公式。通過假定一定規(guī)模報酬不變，即這一條件，比較合理有效地預(yù)防或克服了變量間可能出現(xiàn)的共線性。由（4）式，根據(jù)，有：設(shè)，則有： （6）一般來講，只要D1序列不存在異方差性，（6）式就是測算科技進步增長率所用的最終模型。3、矩陣的微分如果或?qū)懗?，那么梯度向量為二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣為特別地，如果，那么同樣地可得如果A是對稱矩陣，那么一般地，有思考題：1、證明：2、證明矩陣M0是冪等矩陣。3、如果L1、L2Ln的百分比變動較小如果Y1、Y2Ym的百分比變動較小則如下計算公式是否可行？a）b）4. 矩陣的分塊（partitioned matrix）在表述一個矩陣的元素時如構(gòu)造一個方程組將一些元

17、素以子矩陣的形式進行分組有時是有用的，例如，我們可以寫 A稱為一個分塊矩陣，子矩陣的下標(biāo)和矩陣中的元素的下標(biāo)按同樣方式定義，一個普通的特殊情形是分塊對角矩陣。其中A11和A22都是方陣。分塊矩陣的加法和乘法加法和乘法可以推廣到分塊矩陣，對一致的分塊矩陣A和B有： （1）和 （2）其中所有矩陣必須適于所用運算，對于加法，Aij和Bij的階數(shù)必須相同；在乘法中，對所有的數(shù)對i和j，Aij的列數(shù)必須等于Bij的行數(shù)，即矩陣相乘所必需的條件都要得到滿足。兩個經(jīng)常遇到的情況是如下的形式： （3）和 （4）分塊矩陣的行列式類似于對角矩陣的行列式，分塊對角矩陣的行列式可以得到 （5）一個一般的22分塊矩陣的結(jié)果為： （6）大于22分塊矩陣的結(jié)果極其繁瑣，且在我們的工作中也不必要。分塊矩陣的逆分塊對角矩陣的逆是： （7）這可由直接相乘證實。對一般的22分塊矩陣，分塊逆的一個形式是： （8）其中這可以最簡單地用逆去乘A來證實。由于計算