習(xí)題解答(第8章)

1、第八章 假 設(shè) 檢 驗三、解答題 1. 某種零件的長度服從正態(tài)分布，方差s2 = 1.21，隨機抽取6件，記錄其長度（毫米）分別為32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在顯著性水平a = 0.01下，能否認為這批零件的平均長度為32.50毫米？解：這是單個正態(tài)總體均值比較的問題，若設(shè)該種零件的長度，則需要檢驗的是： 由于已知，選取為檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平a = 0.01下，的拒絕域為：查表得，現(xiàn)由n=6, , 計算得：z落入拒絕域中，故在0.01的顯著水平下應(yīng)拒絕，不能認為這批零件的平均長度為32.50毫米。EXCEL實驗結(jié)果： 2. 正常人的脈搏平均每分鐘72

2、次，某醫(yī)生測得10例“四乙基鉛中毒”患者的脈搏數(shù)如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布，問在顯著水平a = 0.05下，“四乙基鉛中毒”患者的脈搏和正常人的脈搏有無顯著差異？解：這是單個正態(tài)總體均值比較的問題，若設(shè)“四乙基鉛中毒”患者的脈搏數(shù)，則需要檢驗的是： 由于方差未知，選取為檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平a = 0.05下，的拒絕域為：查表得，現(xiàn)由n=10, , ，計算得t落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕，“四乙基鉛中毒”患者的脈搏和正常人的脈搏有顯著差異。 3. 從某種試驗物中取出24個樣品，測量其發(fā)熱量，算得平均值，樣本均方差

3、設(shè)發(fā)熱量服從正態(tài)分布，在顯著性水平a = 0.05下，是否可認為該試驗物發(fā)熱量的平均值不大于12100？解：這是單個正態(tài)總體均值比較的問題，該試驗物發(fā)熱量，則需要檢驗的是： 此為右邊檢驗，由于方差未知，應(yīng)選用t統(tǒng)計量檢驗，在顯著水平a = 0.05下，H0 的拒絕域為 =由表得，現(xiàn)有n=24，計算得到 <1.71t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，認為該試驗物發(fā)熱量的平均值不大于12100。 4. 某種電子元件的壽命（以小時記）服從正態(tài)分布現(xiàn)測得16只元件的壽命如下所示：159280101212224379179264222362168250149260485170

4、問在顯著性水平a = 0.05下，是否可以認為元件的平均壽命顯著不小于225小時？解：這是單個正態(tài)總體均值比較的問題，該電子元件的壽命 ，則需要檢驗的是： H0 ： H1 ：此為左邊檢驗，由于總體服從正態(tài)分布且方差未知，故選用t檢驗，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域為 =查表得有n=16，=(159+280+170)/16=241.5，=9746.8，計算得到 =0.67> - 1.75可知，t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下不能拒絕H0 ，可以認為元件的平均壽命顯著不小于225小時。 5. 設(shè)某次考試的學(xué)生成績服從正態(tài)分布，從中隨機的抽取36位考生的成績，算得平均

5、成績?yōu)?6.5，標準差為15分 (1) 問在顯著水平a = 0.05下，是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分？ (2) 在顯著水平a = 0.05下，是否可以認為這次考試考生的成績的方差為162？解: (1):按題意需檢驗 H0 ： H1 ： 此為雙邊檢驗，由于方差未知，應(yīng)選用t檢驗，在顯著水平為a = 0.05下，H0 的拒絕域為 =現(xiàn)有n=36，s=15，計算得到 <2.03可知，t為未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分。（2）按題意需檢驗 H0 ： H1 ： 取檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平為a = 0.05下，H0 的

6、拒絕域為 即 計算得 ，由n=36，s=15，而=30.76，由于20.569<30.76<53.203 ，則統(tǒng)計量未落入拒絕域中，不能拒絕H0 ，可以認為這次考試考生的成績的方差為。6. 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從方差s2 = 5000 (小時2)的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池，從它生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所變化現(xiàn)隨機的取26只電池，測出其壽命的樣本方差S 2 = 9200(小時2)問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化（顯著性水平a = 0.05）?解：按題意需檢驗 H0 ： H1 ： 取檢驗統(tǒng)計量為，在顯著水平a = 0.05

7、下，H0 的拒絕域為：即計算得 ，由n=26，則>40.65落入了H0的拒絕域，應(yīng)該拒絕H0，即認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化。 7. 對7歲兒童作身高調(diào)查結(jié)果如下所示，設(shè)身高服從正態(tài)分布，能否說明性別對7歲兒童的身高有顯著影響（顯著性水平a = 0.05）？（提示：先做方差齊性檢驗，再做均值檢驗.）性別人數(shù)(n)平均身高()標準(S)男384118.644.53女377117.864.86 解：設(shè)男孩的身高服從，女孩身高服從。根據(jù)題意需對量總體的均值進行比較，由于兩總體方差未知，需要首先進行方差的齊性檢驗，即檢驗和是否有顯著差異，然后再檢驗和是否有顯著差異。（1）檢驗假

8、設(shè) H0 ： H1 ： 由于，未知，選取統(tǒng)計量F=，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域為：即計算得，拒絕域為。由觀測數(shù)據(jù)得到n1=384，n2=377，s1=4.53，s2=4.86，F(xiàn)=未落入拒絕域，不能拒絕H0 ，在0.05的顯著水平下，可以認為性別對兒童身高的方差無顯著差異。（2） 根據(jù)（1）的結(jié)論，可以在的條件下檢驗假設(shè) H0： H1：選t=為檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平a = 0.05下，H0的拒絕域為：計算得。計算再求出t得=2.290739可知，t落入H0的拒絕域中，故在0.05顯著水平下應(yīng)拒絕H0 ，認為性別對兒童身高有顯著差異。8. 某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，按規(guī)定產(chǎn)

9、品尺寸的方差s2不得超過0.1，為檢驗該自動車床的工作精度，隨機的取25件產(chǎn)品，測得樣本方差S2 = 0.1975，問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達到所要求的精度（顯著性水平a = 0.05）? 解：按題意需檢驗 H0： H1：取統(tǒng)計量，在顯著性水平a = 0.05下，H0的拒絕域為：計算得由觀測數(shù)據(jù)n=25， = 0.1975，得>36.41503落入H0的拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕H0 ，認為床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達到所要求的精度。 9. 一臺機床大修前曾加工一批零件，共=10件，加工尺寸的樣本方差為.大修后加工一批零件，共件，加工尺寸的樣本方差為.設(shè)加工尺寸服從正態(tài)分布，問此機床大

10、修后，精度有無明顯提高（顯著性水平a = 0.05）？解：按題意需檢驗 H0： H1：取檢驗統(tǒng)計量，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域為：計算得 。 由觀測數(shù)據(jù)n1 =10，n2 =12，則>-2.2735未落在H0的拒絕域中，故在0.05顯著水平下，應(yīng)接受H0，可認為此機床大修后，精度有明顯提高。 10. 由10名學(xué)生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套數(shù)學(xué)試卷進行測試，成績?nèi)缦卤?試卷A78637289914968768555試卷B71446184745155607739假設(shè)學(xué)生成績服從正態(tài)分布，試檢驗兩套數(shù)學(xué)試卷是否有顯著差異（顯著性水平a = 0.05）解：本題

11、中的每一行數(shù)據(jù)雖然是同一張試卷的成績，但10個數(shù)據(jù)的差異是由10個不同學(xué)生造成的， 因此表中的每一行都不能看成是一個樣本的觀察值， 再者，對每一對數(shù)據(jù)而言，他們是同一個學(xué)生做不同試卷的成績，因此它們不是兩個獨立隨機變量的觀察結(jié)果，因此,我們不能用兩獨立樣本均值的t 檢驗法作檢驗。 而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩套試卷本身的差異所引起的。所以，構(gòu)造新的隨機變量有其中則為的簡單隨機樣本，可以看成是來自一個總體的樣本觀察值。如果兩種方法測量結(jié)果無顯著差異，則各對數(shù)據(jù)的差異屬于隨機誤差，隨機誤差可以認為服從標準正態(tài)分布，且其均值為零。故問題可以轉(zhuǎn)化為檢驗假設(shè)設(shè)的樣本均值為樣本方差為，采用單

12、個正態(tài)分布均值的t檢驗，拒絕域為：由可得 ，所以拒絕，在顯著性水平a = 0.05下，可以認為兩套數(shù)學(xué)試卷有顯著差異。錯誤解法：設(shè)試卷A的成績服從，試卷B的成績服從，根據(jù)題意，需要進行兩總體的均值比較，但由于兩總體方差未知，需要首先進行方差齊性檢驗，即和是否有顯著差異，然后再檢驗是否有顯著差異。（1）檢驗假設(shè) H0: H1:由于未知，選取統(tǒng)計量，在顯著性水平a = 0.05下，拒絕域為：即計算得，。拒絕域為。由觀測數(shù)據(jù)得到n1=10，n2=10，由于0.248386<0.909202<4.025994則F未落入H0的拒絕域中，不能拒絕H0 ，在0.05的顯著水平下，可以認為兩試卷成

13、績的方差無顯著差異。（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以在的條件下檢驗假設(shè) H0 ： H1 ：選統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域為：，計算得 計算得<2.100922可知，t為未落入H0的拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，認為兩套試卷的成績無顯著差異。四、應(yīng)用題 1. 某部門對當(dāng)前市場的價格情況進行調(diào)查以雞蛋為例，所抽查的全省20個集市上，售價分別為（單位：元/500克）3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30已知往年的平均售價一

14、直穩(wěn)定在3.25元/500克左右，假設(shè)雞蛋的銷售價格服從正態(tài)分布，能否認為全省當(dāng)前的雞蛋售價明顯高于往年（顯著水平a = 0.05）？解法一：設(shè)雞蛋的平均售價為，若設(shè)雞蛋的銷售價，按題意需檢驗 這是右邊檢驗問題,由于方差未知，應(yīng)選用t檢驗，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域為：由樣本觀測值計算得到 由于落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕，可以認為全省當(dāng)前的雞蛋售價明顯高于往年。解法二：這是單個正態(tài)總體均值比較的問題，若設(shè)雞蛋的銷售價，則需要檢驗的是： 這是左邊檢驗問題，由于方差未知，選取為檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域為：查表得，現(xiàn)由n=20, , ，計算得可知，

15、t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下不能拒絕，可以認為全省當(dāng)前的雞蛋售價明顯高于往年。 注意：本題方法二沒有方法一好，想一想為什么？ 2. 有若干人參加一個減肥鍛煉，在一年后測量了他們的身體脂肪含量，結(jié)果如下表所示：男生組：13.319208182220312112161224女生組：2226161221.723.221283023假設(shè)身體脂肪含量服從正態(tài)分布，試比較男生和女生的身體脂肪含量有無顯著差異（顯著水平a = 0.05） 解：依題意，男女生的脂肪含量是分別來自正態(tài)總體和，均未知，故首先要驗證方差齊性，對兩組數(shù)據(jù)做假設(shè)檢驗拒絕域為：或由樣本觀測值計算得 故不能拒絕，可以認為兩總體

16、方差相等。接下來進行兩獨立正態(tài)總體的均值比較：若設(shè)男生脂肪含量，女生脂肪含量，則需要檢驗的是： 選為檢驗統(tǒng)計量，在顯著水平a = 0.05下，H0的拒絕域為：查表得，現(xiàn)由n1 = 13，n2 = 10，計算得到可知，t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0，可以認為男生和女生的身體脂肪含量無顯著差異。 3. 裝配一個部件時可以采用不同的方法，所關(guān)心的問題是哪一個方法的效率更高勞動效率可以用平均裝配時間反映現(xiàn)從不同的裝配方法中各抽取12件產(chǎn)品，記錄下各自的裝配時間（單位：分鐘）如下表所示：甲法：313429323538343029323126乙法：262428293029322631

17、293228假設(shè)裝配時間服從正態(tài)分布，問兩種方法的裝配時間有無顯著不同（顯著水平a = 0.05）？ 解：這是兩獨立正態(tài)總體的均值比較問題，設(shè)甲法的裝配時間，乙法的裝配時間， 由于均未知，故首先要驗證方差齊性，需要檢驗假設(shè)拒絕域為：或由樣本觀測值計算得： 故不能拒絕，可以認為這兩種方法的裝配時間的方差相等。第二步，進行均值檢驗，需檢驗假設(shè)取檢驗統(tǒng)計量 其中拒絕域為：現(xiàn)由n1 = 12，n2 = 12，計算得到落入拒絕域，故在0.05的顯著水平下，可以認為這兩種方法的裝配時間有顯著不同。 4. 為了考察兩種測量萘含量的液體層析方法：標準方法和高壓方法的測量結(jié)果有無顯著差異，取了10份試樣，每份分為兩半，一半用標準方法測量，一半用高壓方法測量，每個試樣的兩個結(jié)果（單位：mg）如下表，假設(shè)萘含量服從正態(tài)分布，試檢驗這兩種化驗方法有無顯著差異（顯著水平a = 0.05）標準14.714.012.916.210.212.412.014.811.89.7高壓12.110.913.114.59.611.29.813.712.09.1解：本題中的每一行數(shù)據(jù)雖然是同一方法測量的結(jié)果，但10個數(shù)據(jù)的差異是由10個不同試樣引起的， 因此表中的每一行都不能看成是一個樣本的觀察值， 再者，對每一對數(shù)據(jù)而言，他