習(xí)題解答(第8章)

1、第八章 假 設(shè) 檢 驗(yàn)三、解答題 1. 某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，方差s2 = 1.21，隨機(jī)抽取6件，記錄其長(zhǎng)度（毫米）分別為32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23在顯著性水平a = 0.01下，能否認(rèn)為這批零件的平均長(zhǎng)度為32.50毫米？解：這是單個(gè)正態(tài)總體均值比較的問(wèn)題，若設(shè)該種零件的長(zhǎng)度，則需要檢驗(yàn)的是： 由于已知，選取為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平a = 0.01下，的拒絕域?yàn)椋翰楸淼?，現(xiàn)由n=6, , 計(jì)算得：z落入拒絕域中，故在0.01的顯著水平下應(yīng)拒絕，不能認(rèn)為這批零件的平均長(zhǎng)度為32.50毫米。EXCEL實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 2. 正常人的脈搏平均每分鐘72

2、次，某醫(yī)生測(cè)得10例“四乙基鉛中毒”患者的脈搏數(shù)如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70已知人的脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布，問(wèn)在顯著水平a = 0.05下，“四乙基鉛中毒”患者的脈搏和正常人的脈搏有無(wú)顯著差異？解：這是單個(gè)正態(tài)總體均值比較的問(wèn)題，若設(shè)“四乙基鉛中毒”患者的脈搏數(shù)，則需要檢驗(yàn)的是： 由于方差未知，選取為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平a = 0.05下，的拒絕域?yàn)椋翰楸淼茫F(xiàn)由n=10, , ，計(jì)算得t落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕，“四乙基鉛中毒”患者的脈搏和正常人的脈搏有顯著差異。 3. 從某種試驗(yàn)物中取出24個(gè)樣品，測(cè)量其發(fā)熱量，算得平均值，樣本均方差

3、設(shè)發(fā)熱量服從正態(tài)分布，在顯著性水平a = 0.05下，是否可認(rèn)為該試驗(yàn)物發(fā)熱量的平均值不大于12100？解：這是單個(gè)正態(tài)總體均值比較的問(wèn)題，該試驗(yàn)物發(fā)熱量，則需要檢驗(yàn)的是： 此為右邊檢驗(yàn)，由于方差未知，應(yīng)選用t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，在顯著水平a = 0.05下，H0 的拒絕域?yàn)?=由表得，現(xiàn)有n=24，計(jì)算得到 <1.71t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，認(rèn)為該試驗(yàn)物發(fā)熱量的平均值不大于12100。 4. 某種電子元件的壽命（以小時(shí)記）服從正態(tài)分布現(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下所示：159280101212224379179264222362168250149260485170

4、問(wèn)在顯著性水平a = 0.05下，是否可以認(rèn)為元件的平均壽命顯著不小于225小時(shí)？解：這是單個(gè)正態(tài)總體均值比較的問(wèn)題，該電子元件的壽命 ，則需要檢驗(yàn)的是： H0 ： H1 ：此為左邊檢驗(yàn)，由于總體服從正態(tài)分布且方差未知，故選用t檢驗(yàn)，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域?yàn)?=查表得有n=16，=(159+280+170)/16=241.5，=9746.8，計(jì)算得到 =0.67> - 1.75可知，t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下不能拒絕H0 ，可以認(rèn)為元件的平均壽命顯著不小于225小時(shí)。 5. 設(shè)某次考試的學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)的抽取36位考生的成績(jī)，算得平均

5、成績(jī)?yōu)?6.5，標(biāo)準(zhǔn)差為15分 (1) 問(wèn)在顯著水平a = 0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分？ (2) 在顯著水平a = 0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試考生的成績(jī)的方差為162？解: (1):按題意需檢驗(yàn) H0 ： H1 ： 此為雙邊檢驗(yàn)，由于方差未知，應(yīng)選用t檢驗(yàn)，在顯著水平為a = 0.05下，H0 的拒絕域?yàn)?=現(xiàn)有n=36，s=15，計(jì)算得到 <2.03可知，t為未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分。（2）按題意需檢驗(yàn) H0 ： H1 ： 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平為a = 0.05下，H0 的

6、拒絕域?yàn)?即 計(jì)算得 ，由n=36，s=15，而=30.76，由于20.569<30.76<53.203 ，則統(tǒng)計(jì)量未落入拒絕域中，不能拒絕H0 ，可以認(rèn)為這次考試考生的成績(jī)的方差為。6. 某廠(chǎng)生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池, 其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差s2 = 5000 (小時(shí)2)的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池，從它生產(chǎn)情況來(lái)看，壽命的波動(dòng)性有所變化現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池，測(cè)出其壽命的樣本方差S 2 = 9200(小時(shí)2)問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化（顯著性水平a = 0.05）?解：按題意需檢驗(yàn) H0 ： H1 ： 取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，在顯著水平a = 0.05

7、下，H0 的拒絕域?yàn)椋杭从?jì)算得 ，由n=26，則>40.65落入了H0的拒絕域，應(yīng)該拒絕H0，即認(rèn)為這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化。 7. 對(duì)7歲兒童作身高調(diào)查結(jié)果如下所示，設(shè)身高服從正態(tài)分布，能否說(shuō)明性別對(duì)7歲兒童的身高有顯著影響（顯著性水平a = 0.05）？（提示：先做方差齊性檢驗(yàn)，再做均值檢驗(yàn).）性別人數(shù)(n)平均身高()標(biāo)準(zhǔn)(S)男384118.644.53女377117.864.86 解：設(shè)男孩的身高服從，女孩身高服從。根據(jù)題意需對(duì)量總體的均值進(jìn)行比較，由于兩總體方差未知，需要首先進(jìn)行方差的齊性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)和是否有顯著差異，然后再檢驗(yàn)和是否有顯著差異。（1）檢驗(yàn)假

8、設(shè) H0 ： H1 ： 由于，未知，選取統(tǒng)計(jì)量F=，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域?yàn)椋杭从?jì)算得，拒絕域?yàn)?。由觀測(cè)數(shù)據(jù)得到n1=384，n2=377，s1=4.53，s2=4.86，F(xiàn)=未落入拒絕域，不能拒絕H0 ，在0.05的顯著水平下，可以認(rèn)為性別對(duì)兒童身高的方差無(wú)顯著差異。（2） 根據(jù)（1）的結(jié)論，可以在的條件下檢驗(yàn)假設(shè) H0： H1：選t=為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平a = 0.05下，H0的拒絕域?yàn)椋河?jì)算得。計(jì)算再求出t得=2.290739可知，t落入H0的拒絕域中，故在0.05顯著水平下應(yīng)拒絕H0 ，認(rèn)為性別對(duì)兒童身高有顯著差異。8. 某自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，按規(guī)定產(chǎn)

9、品尺寸的方差s2不得超過(guò)0.1，為檢驗(yàn)該自動(dòng)車(chē)床的工作精度，隨機(jī)的取25件產(chǎn)品，測(cè)得樣本方差S2 = 0.1975，問(wèn)該車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達(dá)到所要求的精度（顯著性水平a = 0.05）? 解：按題意需檢驗(yàn) H0： H1：取統(tǒng)計(jì)量，在顯著性水平a = 0.05下，H0的拒絕域?yàn)椋河?jì)算得由觀測(cè)數(shù)據(jù)n=25， = 0.1975，得>36.41503落入H0的拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕H0 ，認(rèn)為床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒(méi)有達(dá)到所要求的精度。 9. 一臺(tái)機(jī)床大修前曾加工一批零件，共=10件，加工尺寸的樣本方差為.大修后加工一批零件，共件，加工尺寸的樣本方差為.設(shè)加工尺寸服從正態(tài)分布，問(wèn)此機(jī)床大

10、修后，精度有無(wú)明顯提高（顯著性水平a = 0.05）？解：按題意需檢驗(yàn) H0： H1：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域?yàn)椋河?jì)算得 。 由觀測(cè)數(shù)據(jù)n1 =10，n2 =12，則>-2.2735未落在H0的拒絕域中，故在0.05顯著水平下，應(yīng)接受H0，可認(rèn)為此機(jī)床大修后，精度有明顯提高。 10. 由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦卤?試卷A78637289914968768555試卷B71446184745155607739假設(shè)學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)兩套數(shù)學(xué)試卷是否有顯著差異（顯著性水平a = 0.05）解：本題

11、中的每一行數(shù)據(jù)雖然是同一張?jiān)嚲淼某煽?jī)，但10個(gè)數(shù)據(jù)的差異是由10個(gè)不同學(xué)生造成的， 因此表中的每一行都不能看成是一個(gè)樣本的觀察值， 再者，對(duì)每一對(duì)數(shù)據(jù)而言，他們是同一個(gè)學(xué)生做不同試卷的成績(jī)，因此它們不是兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的觀察結(jié)果，因此,我們不能用兩獨(dú)立樣本均值的t 檢驗(yàn)法作檢驗(yàn)。 而同一對(duì)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩套試卷本身的差異所引起的。所以，構(gòu)造新的隨機(jī)變量有其中則為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，可以看成是來(lái)自一個(gè)總體的樣本觀察值。如果兩種方法測(cè)量結(jié)果無(wú)顯著差異，則各對(duì)數(shù)據(jù)的差異屬于隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差可以認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且其均值為零。故問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)的樣本均值為樣本方差為，采用單

12、個(gè)正態(tài)分布均值的t檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)椋河煽傻?，所以拒絕，在顯著性水平a = 0.05下，可以認(rèn)為兩套數(shù)學(xué)試卷有顯著差異。錯(cuò)誤解法：設(shè)試卷A的成績(jī)服從，試卷B的成績(jī)服從，根據(jù)題意，需要進(jìn)行兩總體的均值比較，但由于兩總體方差未知，需要首先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，即和是否有顯著差異，然后再檢驗(yàn)是否有顯著差異。（1）檢驗(yàn)假設(shè) H0: H1:由于未知，選取統(tǒng)計(jì)量，在顯著性水平a = 0.05下，拒絕域?yàn)椋杭从?jì)算得，。拒絕域?yàn)?。由觀測(cè)數(shù)據(jù)得到n1=10，n2=10，由于0.248386<0.909202<4.025994則F未落入H0的拒絕域中，不能拒絕H0 ，在0.05的顯著水平下，可以認(rèn)為兩試卷成

13、績(jī)的方差無(wú)顯著差異。（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以在的條件下檢驗(yàn)假設(shè) H0 ： H1 ：選統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著性水平a = 0.05下，H0 的拒絕域?yàn)椋海?jì)算得 計(jì)算得<2.100922可知，t為未落入H0的拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0 ，認(rèn)為兩套試卷的成績(jī)無(wú)顯著差異。四、應(yīng)用題 1. 某部門(mén)對(duì)當(dāng)前市場(chǎng)的價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查以雞蛋為例，所抽查的全省20個(gè)集市上，售價(jià)分別為（單位：元/500克）3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30已知往年的平均售價(jià)一

14、直穩(wěn)定在3.25元/500克左右，假設(shè)雞蛋的銷(xiāo)售價(jià)格服從正態(tài)分布，能否認(rèn)為全省當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年（顯著水平a = 0.05）？解法一：設(shè)雞蛋的平均售價(jià)為，若設(shè)雞蛋的銷(xiāo)售價(jià)，按題意需檢驗(yàn) 這是右邊檢驗(yàn)問(wèn)題,由于方差未知，應(yīng)選用t檢驗(yàn)，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域?yàn)椋河蓸颖居^測(cè)值計(jì)算得到 由于落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)拒絕，可以認(rèn)為全省當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年。解法二：這是單個(gè)正態(tài)總體均值比較的問(wèn)題，若設(shè)雞蛋的銷(xiāo)售價(jià)，則需要檢驗(yàn)的是： 這是左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，由于方差未知，選取為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平a = 0.05下，拒絕域?yàn)椋翰楸淼茫F(xiàn)由n=20, , ，計(jì)算得可知，

15、t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下不能拒絕，可以認(rèn)為全省當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年。 注意：本題方法二沒(méi)有方法一好，想一想為什么？ 2. 有若干人參加一個(gè)減肥鍛煉，在一年后測(cè)量了他們的身體脂肪含量，結(jié)果如下表所示：男生組：13.319208182220312112161224女生組：2226161221.723.221283023假設(shè)身體脂肪含量服從正態(tài)分布，試比較男生和女生的身體脂肪含量有無(wú)顯著差異（顯著水平a = 0.05） 解：依題意，男女生的脂肪含量是分別來(lái)自正態(tài)總體和，均未知，故首先要驗(yàn)證方差齊性，對(duì)兩組數(shù)據(jù)做假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域?yàn)椋夯蛴蓸颖居^測(cè)值計(jì)算得 故不能拒絕，可以認(rèn)為兩總體

16、方差相等。接下來(lái)進(jìn)行兩獨(dú)立正態(tài)總體的均值比較：若設(shè)男生脂肪含量，女生脂肪含量，則需要檢驗(yàn)的是： 選為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在顯著水平a = 0.05下，H0的拒絕域?yàn)椋翰楸淼?，現(xiàn)由n1 = 13，n2 = 10，計(jì)算得到可知，t未落入拒絕域中，故在0.05的顯著水平下應(yīng)接受H0，可以認(rèn)為男生和女生的身體脂肪含量無(wú)顯著差異。 3. 裝配一個(gè)部件時(shí)可以采用不同的方法，所關(guān)心的問(wèn)題是哪一個(gè)方法的效率更高勞動(dòng)效率可以用平均裝配時(shí)間反映現(xiàn)從不同的裝配方法中各抽取12件產(chǎn)品，記錄下各自的裝配時(shí)間（單位：分鐘）如下表所示：甲法：313429323538343029323126乙法：262428293029322631

17、293228假設(shè)裝配時(shí)間服從正態(tài)分布，問(wèn)兩種方法的裝配時(shí)間有無(wú)顯著不同（顯著水平a = 0.05）？ 解：這是兩獨(dú)立正態(tài)總體的均值比較問(wèn)題，設(shè)甲法的裝配時(shí)間，乙法的裝配時(shí)間， 由于均未知，故首先要驗(yàn)證方差齊性，需要檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)椋夯蛴蓸颖居^測(cè)值計(jì)算得： 故不能拒絕，可以認(rèn)為這兩種方法的裝配時(shí)間的方差相等。第二步，進(jìn)行均值檢驗(yàn)，需檢驗(yàn)假設(shè)取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 其中拒絕域?yàn)椋含F(xiàn)由n1 = 12，n2 = 12，計(jì)算得到落入拒絕域，故在0.05的顯著水平下，可以認(rèn)為這兩種方法的裝配時(shí)間有顯著不同。 4. 為了考察兩種測(cè)量萘含量的液體層析方法：標(biāo)準(zhǔn)方法和高壓方法的測(cè)量結(jié)果有無(wú)顯著差異，取了10份試樣，每份分為兩半，一半用標(biāo)準(zhǔn)方法測(cè)量，一半用高壓方法測(cè)量，每個(gè)試樣的兩個(gè)結(jié)果（單位：mg）如下表，假設(shè)萘含量服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)這兩種化驗(yàn)方法有無(wú)顯著差異（顯著水平a = 0.05）標(biāo)準(zhǔn)14.714.012.916.210.212.412.014.811.89.7高壓12.110.913.114.59.611.29.813.712.09.1解：本題中的每一行數(shù)據(jù)雖然是同一方法測(cè)量的結(jié)果，但10個(gè)數(shù)據(jù)的差異是由10個(gè)不同試樣引起的， 因此表中的每一行都不能看成是一個(gè)樣本的觀察值， 再者，對(duì)每一對(duì)數(shù)據(jù)而言，他