概率統(tǒng)計簡明教程 第一章 隨機事件及其概率

1、第一章 隨機事件及其概率概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科，它的理論與方法在自然科學、社會科學、工程技術、經濟管理等諸多領域有著廣泛的應用.從17世紀人們利用古典概型來研究人口統(tǒng)計、產品檢查等問題到20世紀30年代概率論公理化體系的建立，概率論形成了自己嚴格的概念體系和嚴密的邏輯結構.本章重點介紹概率論的兩個最基本的概念：隨機事件與概率.主要內容包括：隨機事件與概率的定義，古典概型與幾何概型，條件概率，乘法公式，全概率公式與貝葉斯公式以及事件的獨立性等.1 隨機事件1.1 隨機現(xiàn)象在自然界和人類社會生活中普遍存在著兩類現(xiàn)象：必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象.在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象.例如

2、，沒有受到外力作用的物體永遠保持原來的運動狀態(tài)，同性電荷相互排斥等，都是必然現(xiàn)象.在相同的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.例如，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面，檢查產品質量時任意抽取的產品是合格品還是次品等，都是隨機現(xiàn)象.在對隨機現(xiàn)象進行大量重復觀測時我們發(fā)現(xiàn)，一方面，在每次觀測之前不能預知哪個結果出現(xiàn)，這是隨機現(xiàn)象的隨機性；另一方面，在進行了大量重復觀測之后，其結果往往會表現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，拋擲之前無法預知哪個結果出現(xiàn)，但在反復多次拋擲之后，正面出現(xiàn)的頻率（即正面出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲總次數(shù)的比值）在0.5附近擺動，這表明隨機現(xiàn)象存在其

3、固有的量的規(guī)律性.我們把隨機現(xiàn)象在大量重復觀測時所表現(xiàn)出來的量的規(guī)律性稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.表1.1記錄了歷史上研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的最著名的試驗拋擲硬幣的試驗結果.表1.1試驗者拋擲次數(shù)正面朝上的次數(shù)正面朝上的頻率德摩根（De Morgan）蒲 豐（Buffon）費希爾（Fisher）皮爾遜（Pearson）皮爾遜（Pearson）204840401000012000240001061204849796019120120.51810.50690.49790.50160.50051.2 隨機事件為了研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們需要對隨機現(xiàn)象進行大量重復的觀察、測量或者試驗.為了方

4、便，將它們統(tǒng)稱為試驗.如果試驗具有以下特點，則稱之為隨機試驗，簡稱為試驗：1. 可重復性 試驗可以在相同的條件下重復進行；2. 可觀測性 每次試驗的所有可能結果都是明確的、可觀測的，并且試驗的可能結果有兩個或更多個；3. 隨機性 每次試驗將要出現(xiàn)的結果是不確定的，試驗之前無法預知哪一個結果出現(xiàn).我們用字母表示一個隨機試驗，用表示隨機試驗的可能結果，稱為樣本點，用表示隨機試驗的所有可能結果組成的集合，稱為樣本空間.例1.1 拋擲一枚硬幣，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況（將這兩個結果依次記作和）,則試驗的樣本空間為 =出現(xiàn)，出現(xiàn) = ,.例1.2 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面和反面出現(xiàn)的情況，則試驗的樣

5、本空間為 .例1.3 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)，則試驗的樣本空間為 =.例1.4 拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，則試驗的樣本空間為 = .例1.5 記錄某機場問訊處一天內收到的電話次數(shù)，則試驗的樣本空間為 = .例1.6 從一批電子元件中任意抽取一個，測試它的壽命（單位：小時），則試驗的樣本空間為 = .在隨機試驗中，我們常常關心試驗的結果是否滿足某種指定的條件.例如，在例1.6中，若規(guī)定電子元件的壽命小于小時為次品，那么我們關心試驗的結果是否有.滿足這一條件的樣本點組成的子集，我們稱為該試驗的一個隨機事件.顯然，當且僅當子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，有.一般地，我們稱隨機試驗的樣本

6、空間的子集為的隨機事件，簡稱為事件，用大寫字母,等表示.在每次試驗中，當且僅當子集中的一個樣本點發(fā)生時，稱這一事件發(fā)生.特別地，由一個樣本點組成的單點子集，稱為基本事件.樣本空間作為它自身的子集，包含了所有的樣本點，每次試驗總是發(fā)生，稱為必然事件.空集作為樣本空間的子集，不包含任何樣本點，每次試驗都不發(fā)生，稱為不可能事件.例1.7 在例1.3中，子集表示事件“三次均不出現(xiàn)正面”， 子集表示事件“三次均出現(xiàn)正面”，與都是基本事件.子集表示事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)小于”，子集表示事件“正面至少出現(xiàn)一次” .而事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)不大于”為必然事件，事件“正面出現(xiàn)的次數(shù)大于”為不可能事件. 1.3 隨機

7、事件的關系及運算在一個隨機試驗中，往往存在很多隨機事件，每一事件具有各自的特征，彼此之間可能存在某種聯(lián)系.為了通過對簡單事件的研究來掌握復雜事件，我們需要研究事件間的關系及運算.由于事件是一個集合，因此事件的關系及運算與集合的關系及運算是相互對應的.在以下的討論中，試驗的樣本空間為，是試驗的事件，也是的子集.1. 事件的包含如果事件發(fā)生必然導致事件發(fā)生，即屬于的每一個樣本點一定也屬于，則稱事件包含事件，記作.顯然，事件的含義與集合論中的含義是一致的，并且對任意事件,有 .在例1.7中，有.2. 事件的相等如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，則稱事件與事件相等（或等價），記作.顯然，事件與事

8、件相等是指和所含的樣本點完全相同，這等同于集合論中的相等，實際上事件和事件是同一事件.3事件的和“事件和事件至少有一個發(fā)生”這一事件稱為事件和事件的和（或并），記作，即=事件發(fā)生或事件發(fā)生=.在例1.7 中，.事件的和可以推廣到多個事件的情形：=事件中至少有一個發(fā)生，=事件中至少有一個發(fā)生.4. 事件的積“事件和事件同時發(fā)生”這一事件稱為事件與事件的積（或交），記作(或)，即=事件發(fā)生且事件發(fā)生=，這與集合論中的交集的含義一致.在例1.7中，.事件的積可以推廣到多個事件的情形：=事件同時發(fā)生，=事件同時發(fā)生.5. 事件的差“事件發(fā)生而事件不發(fā)生”這一事件稱為事件與事件的差，記作，即 =事件發(fā)生

9、但事件不發(fā)生=.在例1.7中，.6. 事件的互不相容如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說，是不可能事件，即，則稱事件與事件是互不相容的（或互斥的）.在例1.7中，事件與事件是互不相容的.7. 事件的互逆如果在每一次試驗中事件與事件都有一個且僅有一個發(fā)生，則稱事件與事件是互逆的（或對立的），并稱其中的一個事件為另一個事件的逆事件（或對立事件）,記作或.顯然互逆的兩個事件，滿足 ， .在例1.7中，事件與事件是互逆的.圖1.1（文氏圖）直觀地表示了上述關于事件的各種關系及運算. 與 互不相容 圖1.1與集合的運算類似，事件的運算有如下的運算規(guī)律：（1）交換律 ,；（2）結合律 ,；（3）分配律 ,

10、；（4）對偶律 ，.上述各種事件運算的規(guī)律可以推廣到多個事件的情形.例. 甲，乙，丙三人射擊同一目標，令表示事件“甲擊中目標”， 表示事件“乙擊中目標”， 表示事件“丙擊中目標” .用,的運算表示下列事件.（1） 三人都擊中目標；（2） 只有甲擊中目標；（3） 只有一人擊中目標；（4） 至少有一人擊中目標；（5） 最多有一人擊中目標.解 用分別表示上述（1）（5）中的事件.（1）三人都擊中目標，即事件,同時發(fā)生，所以；（2）只有甲擊中目標，即事件發(fā)生，而事件和都不發(fā)生，所以；（3）只有一人擊中目標，即事件,中有一個發(fā)生，而另外兩個不發(fā)生，所以；（4）至少有一人擊中目標，即事件,中至少有一個發(fā)生

11、，所以；“至少有一人擊中目標”也就是恰有一人擊中目標，或者恰有兩人擊中目標，或者三人都擊中目標，所以事件也可以表示成 ； （5）最多有一人擊中目標，即事件, 或者都不發(fā)生，或者只有一個發(fā)生，所以 ；“最多有一人擊中目標”也可以理解成“至少有兩人沒擊中目標”，即事件中至少有兩個發(fā)生，所以.2 隨機事件的概率對于隨機事件而言，在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，那么我們希望知道一個隨機事件在一次試驗中發(fā)生的可能性有多大，也就是事件在一次試驗中出現(xiàn)的機會有多大.我們把用來表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)值稱為事件的概率.2.1 頻率將隨機試驗在相同的條件下重復進行次，在這次試驗中，事件發(fā)生的次

12、數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，而比值稱為事件發(fā)生的頻率，記作，即.容易證明，頻率滿足下列性質：(1) 對于任一事件，；(2) 對于必然事件，；(3) 對于兩兩互不相容的事件（即當時，有，），有 .事件的頻率反映了在次試驗中事件發(fā)生的頻繁程度.頻率越大，表明事件的發(fā)生越頻繁，這意味著事件在一次試驗中發(fā)生的可能性越大；頻率越小，意味著事件在一次試驗中發(fā)生的可能性越小.然而頻率依賴于試驗次數(shù)以及每次試驗的結果，而試驗結果具有隨機性，所以頻率也具有隨機性.大量試驗表明，當較小時，頻率的波動性較大，當增大時，頻率的波動幅度隨之減小，即頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動，而且擺動幅度越來越小.我們用這一數(shù)

13、值表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，稱為事件的概率，記作，即.表1.1是歷史上幾位著名的科學家重復拋擲硬幣的試驗結果.不難看出，隨著的增大，“正面朝上”這一事件的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，在數(shù)值附近擺動，所以事件“正面朝上”的概率為.這種用頻率的穩(wěn)定值定義事件的概率的方法稱之為概率的統(tǒng)計定義.隨著對概率研究的深入，經過近三個世紀的漫長探索， 1933年前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）提出了概率的公理化體系，明確定義了基本概念，使得概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學分支，推動了概率論研究的發(fā)展.2.2 概率定義2.1 設試驗的樣本空間為，如果對的每一個事件，都有唯一的實數(shù)與之對應，并且滿足下列條

14、件：（1）非負性 對于任一事件，有；（2）規(guī)范性 對于必然事件，；（3）可列可加性 對于兩兩互不相容的事件（即當時，有，（），有 ，則稱為事件的概率. 概率的這一定義稱為公理化定義，它高度抽象因而具有廣泛的適應性.在第五章我們將證明，當時，頻率在一定意義下收斂于概率，可見概率的公理化定義涵蓋了概率的統(tǒng)計定義.根據(jù)定義2.1，我們可以推出概率的重要性質，這些性質有助于我們進一步理解概率的概念，同時它們也是概率計算的重要依據(jù).性質1 對于不可能事件，有.證明 令，則是兩兩互不相容的事件，且，根據(jù)概率的可列可加性有.由于實數(shù)，因此. 性質2 對于兩兩互不相容的事件（即當時，有，），有 .證明 令，根

15、據(jù)概率的可列可加性有 .性質3 對于任一事件，有 .證明 因為,由概率的規(guī)范性和性質2，有 ，于是 .性質4 如果事件,則有,且.證明 因為，所以,且,由性質2，有 . 又, 所以，并且 .對于任意兩個事件與，由于,且,根據(jù)性質4，可得 .上式稱為概率的減法公式.性質5 對任一事件，有 .證明 因為，由性質4和概率的規(guī)范性，可得 .性質6 對于任意兩個事件與，有 .證明 因為,且,由性質2和性質4，可得 .上式稱為概率的加法公式.加法公式可以推廣到有限個事件的情形.例如，對任意三個事件，有 .例2.1 設 是同一試驗的三個事件， ,.求：（1）；（2）；（3）. 解 由概率的性質，可得 (1)

16、 ；(2) ；(3) 由于,所以,亦即.于是 .例2.2 已知，求：(1) ；（2）.解 （1）由題意， ， 所以 ；（2） 由于,，所以，再由對偶律，有 .2.3 古典概型 概率的公理化定義只規(guī)定了概率必須滿足的條件，并沒有給出計算概率的方法和公式.在一般情形之下給出概率的計算方法和公式是困難的.下面我們討論一類最簡單也是最常見的隨機試驗，它曾經是概率論發(fā)展初期的主要研究對象.如果隨機試驗滿足下列兩個條件：（1）有限性 試驗的基本事件總數(shù)是有限個；（2）等可能性 每一個基本事件發(fā)生的可能性相同，則稱試驗為古典概型（或等可能概型）.下面我們討論古典概型中事件概率的計算公式.設試驗的樣本空間為.

17、顯然基本事件， ，是兩兩互不相容的，且.由于及，根據(jù)概率的性質，有 （），即 .如果事件包含個基本事件，即，其中是中的某個數(shù)，則有 ， 即 . (2.1)按公式（2.1），要計算古典概型中事件的概率，只需計算樣本空間所包含的基本事件總數(shù)以及事件所包含的基本事件個數(shù).這時常常要用到加法原理、乘法原理和排列組合公式.例2.3 將一枚硬幣拋擲三次，求“恰有一次出現(xiàn)正面”的概率.解 設表示事件“恰有一次出現(xiàn)正面” .由于試驗的樣本空間為 ，所以,基本事件總數(shù).又, 即所包含的基本事件個數(shù).因此 . 在例2.3中，我們寫出了試驗的樣本空間以及事件的集合表示，從而得到基本事件總數(shù)和事件所包含的基本事件個數(shù)

18、，最后算出事件的概率.其實很多時候我們并不需要寫出樣本空間來，只要算出基本事件總數(shù)和所包含的基本事件數(shù)，就可以利用（2.1）式計算事件的概率.例2.4 一只箱子中裝有10個同型號的電子元件，其中3個次品，7個合格品.(1) 從箱子中任取1個元件，求取到次品的概率；(2) 從箱子中任取2個元件，求取到1個次品1個合格品的概率.解 （1）從10個元件中任取1個，共有種不同的取法，每一種取法所得到的結果是一個基本事件，所以. 又10個元件中有3個次品，所以取到次品有種不同的取法，即.于是取到次品的概率為； (2) 從10個元件中任取2個，共有種不同的取法, 所以.而恰好取到1個次品1個合格品的取法有

19、種，即,于是取到1個次品1個合格品的概率為 .一般地，在件產品中有件次品，從中任取件，則其中恰有件次品的概率為 .例2.5 某城市電話號碼從七位數(shù)升至八位數(shù)，方法是在原先號碼前加6或8，求：（1）隨機取出的一個電話號碼是沒有重復數(shù)字的八位數(shù)的概率；（2）隨機取出的一個電話號碼末尾數(shù)是8的概率.解 電話號碼的第一位數(shù)字只能是6或8，第一位有2種可能結果，而其余各位數(shù)字都可以是0到9這十個數(shù)中的任何一個，因此，每一位數(shù)字均有10種可能結果，于是基本事件總數(shù).（1） 取到沒有重復數(shù)字的八位數(shù)號碼有種不同的結果，所以 ； （2）取到尾數(shù)是8的號碼有種不同的結果，所以 .例2.6 從中任取三個數(shù)字，求下

20、列概率：（1） 取到的三個數(shù)字不含和；（2） 取到的三個數(shù)字不含或.解 設表示事件“取到的三個數(shù)字不含和”，表示事件“取到的三個數(shù)字不含或”，基本事件總數(shù)為.（1）事件包含了 個基本事件，所以；（2）設表示事件“取到的三個數(shù)字不含”，表示事件“取到的三個數(shù)字不含”，則 ，所以，事件發(fā)生的概率為 .在例2.6中我們看到，計算古典概型中事件的概率，有時需要和概率的性質結合在一起.事實上，題中事件的概率還有更簡單的計算方法：表示事件“取到的三個數(shù)字既含也含”，從而.例2.7 將個球隨機地放入（）個箱子中，其中每個球都等可能地放入任意一個箱子，求下列事件的概率：（1）每個箱子最多放入1個球；（2）某指

21、定的箱子不空.解 將個球隨機地放入個箱子中，共有種不同的放法，記（1）和（2）中的事件分別為和.（1） 事件相當于在個箱子中任意取出個，然后再將個球放入其中，每箱1球，所以共有 種不同的放法，于是；（2） 事件的逆事件表示“某指定的箱子是空的”，它相當于將個球全部放入其余的個箱子中，所以 ，進而 .例2.7的問題可以應用到其他不同的情形.例如，某班級有名學生，一年按天計算，則這名學生生日各不相同的概率為（生日各不相同）= .這里，名學生的生日相當于“個球”，一年天相當于“個箱子”，那么“名學生生日各不相同”相當于 “每個箱子中最多放入個球” .需要指出的是，人們在長期的實踐活動中總結出這樣的事

22、實：小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.這一事實通常被稱作實際推斷原理.由于上述名學生生日各不相同的概率僅為，所以我們可以預測這名學生中至少有人生日相同.例2.8 某商場為促銷舉辦抽獎活動，投放的張獎券中有張是有獎的，每位光臨的顧客均可抽取一張獎券，求第位顧客中獎的概率.解 設表示事件“第位顧客中獎” .到第位顧客為止，試驗的基本事件總數(shù)為，而第個顧客中獎可以抽到張有獎券中的任意一張，其他顧客在剩余的張獎券中任意抽取，所以事件包含的基本事件數(shù)為,于是 .在上述解題過程中，我們只考慮了前個顧客的情形.如果把所有顧客的情形都考慮進去，那么試驗的基本事件總數(shù)為.第個顧客中獎有種取法，其余位顧客將余

23、下來的張獎券抽完，所以事件所包含的基本事件個數(shù)為，進而事件的概率為 .例2.8的結果表明，顧客中獎與否同顧客出現(xiàn)的次序無關，也就是說抽獎活動對每位參與者來說都是公平的，進而說明在現(xiàn)實生活中普遍存在的抽簽活動是公平的：一組簽中有若干好簽和若干壞簽，不論是先抽還是后抽，抽到好簽的概率總是相同的.2.4 幾何概型以有限性和等可能性為前提我們討論了古典概型中事件概率的計算公式，下面我們將其推廣到無限多個基本事件的情形，而這些基本事件也具有某種等可能性.如果試驗相當于向面積為的平面區(qū)域內任意投擲一點（如圖2.1），而這個點（稱為隨機點）落在內任意一點的可能性相等，進而隨機點落在內任意子區(qū)域的可能性大小與

24、的面積成正比，而與的位置和形狀無關，我們稱這樣的試驗為平面上的幾何概型.設表示事件“隨機點落在區(qū)域內”，為區(qū)域的面積，并且事件的概率為 ，其中為比例系數(shù).由于，所以 , 于是，進而有 ， 即 圖2.1 . （2.2）需要指出的是，如果試驗相當于向直線上的區(qū)間內投擲隨機點，則只需將（2.2）式中的面積改為長度，上述討論依然成立；如果試驗相當于向空間區(qū)域內投擲隨機點，則只需將面積改成體積.例2.9 某人午覺醒來發(fā)現(xiàn)自己的表停了，便打開收音機收聽電臺報時.已知電臺每個整點報時一次，求他（她）能在10分鐘之內聽到電臺報時的概率.解 由于上一次報時和下一次報時的時間間隔為分鐘，而這個人可能在內的任一時刻

25、打開收音機，所以這是一個直線上的幾何概型問題.用表示他（她）打開收音機的時刻，表示事件“他（她）能在10分鐘之內聽到電臺報時”，則，.于是 .例2.10 甲、乙兩船在某碼頭的同一泊位停靠卸貨，每只船都可能在早晨七點至八點間的任一時刻到達，并且卸貨時間都是分鐘，求兩只船使用泊位時發(fā)生沖突的概率. 解 因為甲、乙兩船都在七點至八點間的分鐘內任一時刻到達，所以甲到達的時刻和乙到達的時刻滿足，即為平面區(qū)域內的任意一點，這是一個平面上的幾何概型問題.設表示事件“兩只船使用泊位時發(fā)生沖突”，則（如圖2.2），所以 . 圖2.2 3 條件概率3.1 條件概率假設和是隨機試驗的兩個事件，那么事件或的概率是確定

26、的，而且不受另一個事件是否發(fā)生的影響.但是，如果已知事件已經發(fā)生，那么需要對另一個事件發(fā)生的可能性的大小進行重新考慮.例3.1 一只盒子中裝有新舊兩種乒乓球，其中新球有白色4個和黃色3個，舊球有白色2個和黃色1個.現(xiàn)從盒子中任取一球.（1） 求取出的球是白球的概率；（2）已知取出的球是新球，求它是白球的概率.解 設表示“取出的球是新球”，表示“取出的球是白球” .由古典概型有（1）；（2）是在事件已經發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率.由于新球共有7個，其中有4個白球，因此，.由此可見，.為了區(qū)別，稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，記作，即.由于表示事件”取出的球是新球并且是白球”，而在10個

27、球中，是新球并且是白球共有4個，所以.又,所以有=.容易驗證，在一般的古典概型中，只要，總有=.在幾何概型中（以平面的情形為例），如果向平面區(qū)域內投擲隨機點（圖3.1），表示事件“隨機點落在區(qū)域內”，表示事件“隨機點落在區(qū)域內”，那么 圖3.1=.一般地，我們有下面的定義.定義3.1 設和是試驗的兩個事件，且，稱 = （3.1）為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.容易驗證，條件概率滿足概率定義中的三個條件，即(1) 非負性 對于任意事件，有；(2) 規(guī)范性 對于必然事件，有；(3) 可列可加性 對于兩兩互不相容的事件有 ，進而也滿足概率的重要性質，例如；.在計算條件概率時，有時可以根據(jù)試驗

28、的結構，從條件概率的本質含義直接得到條件概率，有時則需要用定義3.1來計算條件概率.例3.2 口袋中有10個乒乓球，3個黃球，7個白球，從中任取一球觀察顏色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黃球，求第二次取到的仍是黃球的概率；（2）已知第二次取到的是黃球，求第一次取到的也是黃球的概率.解 設表示“第次取到黃球”（），則表示“第一次取到白球” .（1）已知發(fā)生，即第一次取到的是黃球，那么第二次就在剩余的2個黃球和7個白球中任取一個，根據(jù)古典概型概率的計算公式，取到黃球的概率為，即有； （2）已知發(fā)生，即第二次取到的是黃球.由于第一次取球發(fā)生在第二次取球之前，所以問題的結構不像（1

29、）那么直觀，我們采用（3.1）式計算. =，所以.在例3.2中我們發(fā)現(xiàn)，“已知第一次取到的是黃球，第二次取到的仍是黃球”的概率與“已知第二次取到的是黃球，第一次取到的也是黃球” 的概率相等.事實上，盡管第一次取球時，可能取到的是10個球中的任意一個，但當我們知道第二次取到的是黃球之后，反過來推斷，第一次取到的是2個黃球和7個白球中的一個，從而結果與（1）相同.例3.2中的這一現(xiàn)象是具有一般性的，作為練習，讀者可以考慮個黃球和個白球的情形.3.2 乘法公式由條件概率的定義3.1可知，對于任意兩個事件和，如果，則有 . （3.2）對稱地，如果，由 有 . （3.3） （3.2）和（3.3）式稱為概

30、率的乘法公式.對于有限個事件，當時，有 . 例3.3 某批產品中，甲廠生產的產品占，并且甲廠的產品的次品率為.從這批產品中隨機地抽取一件，求該產品是甲廠生產的次品的概率.解 設表示事件“抽取的產品是甲廠生產的”，表示事件“抽取的產品是次品”，由題意 , .由乘法公式 .例3.4 某人忘記了所要撥打的電話號碼的最后一位數(shù)字，因而只能隨意撥碼.求他（她）撥碼不超過3次接通電話的概率.解 設表示事件“不超過3次接通”,表示事件“第次接通”，則 .顯然兩兩互不相容，所以 .3.3 全概率公式 在計算比較復雜事件的概率時，我們需要將其分解成若干個兩兩互不相容的比較簡單的事件的和，分別計算出這些簡單事件的

31、概率，然后根據(jù)概率的可加性求得復雜事件的概率（見例3.2（2）.設試驗的樣本空間為，事件兩兩互不相容，并且，則稱為試驗的完備事件組（或樣本空間的一個分割）.如果，則對于 的任一事件，有 ，這里是兩兩互不相容的，由概率的性質有 ，根據(jù)乘法公式，得 ， （3.4）（3.4）式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.例3.5 市場供應的某種商品中，甲廠生產的產品占，乙廠生產的產品占，丙廠生產的產品占.已知甲、乙、丙廠產品的合格率分別為，求顧客買到的這種產品為合格品的概率.解 設分別表示事件 “買到的產品是甲廠生產的”，“買到的產品是乙廠生產的”，“買到的產品是丙廠生產的”，表示事件“買到的產品是合格品

32、”，則是一個完備事件組，且 , , , ,于是由全概率公式，有 .例3.6 人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢螘r間內價格的變化，往往會分析影響股票價格的因素，比如利率的變化.假設利率下調的概率為，利率不變的概率為.根據(jù)經驗，在利率下調的情況下，該股票價格上漲的概率為，在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為.求該股票價格上漲的概率.解 設表示事件“利率下調”，表示事件“利率不變”，表示事件“股票價格上漲” .根據(jù)題意 , ， , ，由全概率公式 .3.4 貝葉斯公式在全概率公式（3.4）中，我們可以把事件看成一個“結果”，而把完備事件組理解成導致這一結果發(fā)生的不同原因（或決定“結果”發(fā)生的不同情形），是

33、各種原因發(fā)生的概率，通常是在“結果”發(fā)生之前就已經明確的，有時可以從以往的經驗中得到，因而稱之為先驗概率.當“結果”已經發(fā)生之后，再來考慮各種原因發(fā)生的概率，它較比先驗概率得到了進一步的修正，稱之為后驗概率.下面討論它的計算公式.設試驗的樣本空間為，事件為試驗的完備事件組，且.對于任一事件，如果，.由乘法公式和全概率公式，有 ， ，所以 （）， （3.5）（3.5）式稱為貝葉斯（Bayes）公式,也稱為逆概率公式.例3.7 對以往數(shù)據(jù)的分析結果表明，當某機器處于良好狀態(tài)的時候，生產出來的產品合格率為，而當該機器存在某些故障時，生產出來的產品合格率為，并且每天機器開動時，處于良好狀態(tài)的概率為.已

34、知某日生產出來的第一件產品為合格品，求此時該機器處于良好狀態(tài)的概率.解 設表示事件“機器處于良好狀態(tài)”，表示事件“機器存在某些故障”，表示事件“生產出來的產品是合格品”，則與是完備事件組，且 , , , ,根據(jù)貝葉斯公式，有 .根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，我們知道，機器處于良好狀態(tài)的概率為，它是所謂的先驗概率.而得知“第一個產品是合格品”這一新的信息之后，我們計算得出機器處于良好狀態(tài)的概率為，它是后驗概率，它使得我們對機器的狀態(tài)有了進一步的了解. 例3.8 一項血液化驗以概率將某種疾病患者檢出陽性，以概率將沒有患此種疾病的人檢出陰性.設某地區(qū)此種疾病的發(fā)病率為.求某人檢驗結果呈陽性時，他（她）確實患有此種

35、疾病的概率.解 設表示事件“他（她）患有此種疾病”， 表示事件“他（她）沒有患此種疾病”， 表示事件“他（她）檢驗結果呈陽性”，由題意 , , . 于是,從而由貝葉斯公式，有 . 在例3.8中，如果僅從條件 和 來看，這項血液化檢比較準確.但是經計算知，這個概率是比較小的.可見僅憑這項化驗結果確診是否患病是不科學的.但另一方面，這個結果較之該地區(qū)的發(fā)病率 幾乎擴大了倍，所以該檢驗不失為一項輔助檢驗手段.4 事件的獨立性和伯努利概型4.1 兩個事件的獨立性對同一試驗中的兩個事件和，我們需要討論其中一個事件的發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率是否存在影響.例4.1 盒子中有只白色和只黃色乒乓球，從中抽取兩

36、次，每次隨機地抽取1個.（1）第一次任取1球，觀察其顏色后不放回袋中，再從剩余的球中任取1球.這種抽取方式稱為不放回抽樣.（2）第一次任取1球，觀察其顏色后放回袋中，再從中任取1球.這種抽取方式稱為有放回抽樣.設表示事件 “第一次取到白球”， 表示事件“第二次取到白球”,分別就上述兩種方式求和.解 （1） 不放回抽樣： ,.（2）放回抽樣： ,.從例4.1中可以看出，在不放回抽樣中，事件的發(fā)生肯定要影響到事件發(fā)生的概率，即.而在有放回抽樣中，事件的發(fā)生不會影響到事件發(fā)生的概率，即 ，進而由乘法公式有 ，此時,我們稱事件與事件相互獨立.一般地，我們有下面的定義.定義4.1 設和是同一試驗的兩個事

37、件，如果 ,則稱事件與事件相互獨立.由定義可以進一步得出下列結論：（1）若，則與相互獨立的充分必要條件為；若，則與相互獨立的充分必要條件為.證明（以第一種情形為例）：若與相互獨立, ，由乘法公式，所以 .當時，有.反之，若，則有,所以與相互獨立.（2）若與相互獨立，則與，與，與也相互獨立.證明（以與為例）：因為, 所以 .若與相互獨立，則，從而,所以與相互獨立.需要指出的是，若，則“與相互獨立”和“與互不相容”不能同時成立.例4.1 投擲一枚均勻的骰子， 設表示事件“出現(xiàn)的點數(shù)小于”，表示事件“出現(xiàn)的點數(shù)小于”，表示事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”.討論與、與的獨立性.解 由于 , , ,所以 ，.又

38、 , ，所以有 , ,故與相互獨立，而與不相互獨立.4.2 多個事件的獨立性定義4.2 設是同一試驗中的三個事件，如果滿足（1）（此時稱事件,兩兩獨立）；（2）,則稱事件相互獨立.更一般地，設是同一試驗中的個事件，如果對于任意正整數(shù)以及這個事件中的任意個（）事件，都有等式 成立，則稱個事件相互獨立. 與兩個事件相互獨立的結論（2）類似，如果 個事件相互獨立，可以證明，將其中任何 個事件改為相應的逆事件，形成的新的個事件仍然相互獨立，例如，若相互獨立，那么或也相互獨立.例4.2 設有張相同的卡片，張涂上紅色，張涂上黃色，張涂上綠色，張涂上紅、黃、綠三種顏色.從這張卡片中任取張，用,分別表示事件“

39、取出的卡片上涂有紅色”，“取出的卡片上涂有黃色”，“取出的卡片上涂有綠色”，討論事件,是否相互獨立.解 顯然 , ,所以有 , , ,根據(jù)定義4.2，事件,是兩兩獨立的.但 ,所以事件,不相互獨立. 在實際問題中，往往是根據(jù)具體情況，按照獨立性的本質含義確定事件的獨立性，然后利用獨立性的定義計算乘積事件的概率.例4.3 甲、乙、丙三人獨立射擊同一目標，已知三人擊中目標的概率分別為，求下列事件的概率：（1） 恰有1人擊中目標；（2） 至少有1人擊中目標.解 設分別表示事件“甲擊中目標”，“乙擊中目標”，“丙擊中目標”，則由題意，相互獨立,進而、都相互獨立，且 , , .（1） ；(2) .例4.

40、4 一個電子元件（或由電子元件構成的系統(tǒng)）正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性.現(xiàn)有4個獨立工作的同種元件，可靠性都是，按先串聯(lián)后并聯(lián)的方式聯(lián)接（如圖4.1）.求這個系統(tǒng)的可靠性.解 設表示事件“第個元件正常工作”，表示事件“系統(tǒng)正常工作” .由題意，相互獨立，且,.圖4.1 由概率的加法公式和事件的獨立性，有 .4.3 伯努利（Bernoulli）概型將同一試驗重復進行次，如果每次試驗中各結果發(fā)生的概率不受其他各次試驗結果的影響，則稱這次試驗是獨立試驗（或相互獨立的）.如果試驗只有兩個結果和，則稱該試驗為伯努利試驗.例如，拋擲一枚硬幣觀察出現(xiàn)正面還是反面，抽取一件產品觀測是合格品還是次品

41、.需要指出的是，有些試驗的結果雖然不止兩個，但我們感興趣的是某事件發(fā)生與否，因而也可以視為伯努利試驗.例如，任取一只燈泡觀察其壽命，結果可以是不小于0的任何實數(shù).根據(jù)需要，如果把壽命大于等于1000小時的燈泡認定為合格品，而把壽命小于1000小時的燈泡認定為次品，那么試驗只有兩個結果:是合格品還是次品，因此是伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行次，稱這次試驗為重伯努利概型（或重伯努利試驗），簡稱為伯努利概型.設， .下面我們討論在重伯努利概型中，事件恰好發(fā)生次的概率.用表示事件“第次試驗中發(fā)生”，那么“次試驗中前次發(fā)生，后次不發(fā)生”的概率為 . 類似地，在指定的個試驗序號上發(fā)生，在其余的

42、個試驗序號上不發(fā)生的概率都是，而在試驗序號中指定個序號的不同方式共有種，所以在重伯努利概型中，事件恰好發(fā)生次的概率為 . （4.1）（4.1）式通常稱為二項概率公式.例4.5 箱子中有10個同型號的電子元件，其中有3個次品7個合格品.每次從中隨機抽取一個，檢測后放回.（1）共抽取10次，求10次中“恰有3次取到次品”和“能取到次品”的概率；（2）如果沒取到次品就一直取下去，直到取到次品為止，求“恰好要取3次”和“至少要取3次”的概率.解 設表示事件“第次取到次品”,則.（1）設表示事件“恰有3次取到次品”，表示事件“能取到次品”,則有 ；（2）設表示事件“恰好要取3次”，表示事件“至少要取3次

43、”，則有 .例4.6 某車間有5臺同類型的機床，每臺機床配備的電動機功率為10千瓦.已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且各臺機床開動與否相互獨立.如果為這5臺機床提供30千瓦的電力，求這5臺機床能正常工作的概率.解 由于千瓦的電力可以同時供給臺機床開動，因此在臺機床中，同時開動的臺數(shù)不超過臺時能正常工作，而有臺或臺同時開動時則不能正常工作.因為事件“每臺機床開動”的概率為，所以臺機床能正常工作的概率為 .在例4.6中，這5臺機床不能正常的工作的概率大約為，根據(jù)實際推斷原理，在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，因此,可以認為提供千瓦的電力基本上能夠保證5臺機床正常工作. 習題一 （A）1. 用三個事件的運算表示下列事件：（1）中至少有一個發(fā)生；（2）中只有發(fā)生；（3）中恰好有兩個發(fā)生；（4）中至少有兩個發(fā)生；（5）中至少有一個不發(fā)生；（6）中不多于一個發(fā)生.2. 在區(qū)間上任取一數(shù)， 記 ，求下列事件的表達式：（1）； （2）； (3).3. 已知，求.4. 已知，求與.5. 將13個分別寫有的卡片隨意地排成一行，求恰好排單詞“”的概率.6. 從一批由45件正品、5件次品組成的產品中任取3件產品，求其中恰好有1件次品的概率.7. 某學生研究小組共有12名同學，求這12名同學的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.8.