第五章剛體的轉(zhuǎn)動2014

1、5-1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量5-3 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 力矩的功力矩的功5-4 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律 理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本物理量的定義和性質(zhì)； 理解力矩、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量的物理意義；理解力矩、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量的物理意義； 掌握定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和角動量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和角動量定理； 掌握定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律和角動量守恒定律。掌握定軸轉(zhuǎn)動的機械能守恒定律和角動量守恒定律。教學(xué)要求教學(xué)要求 5-1 5-1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和

2、定軸轉(zhuǎn)動剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一、剛體一、剛體 （理想模型）（理想模型） 剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持彼止平剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持彼止平行的運動，叫做平動。如車刀、活塞等。因為在平動時行的運動，叫做平動。如車刀、活塞等。因為在平動時剛剛體上所有點的運動軌跡都相同，各時刻各個質(zhì)點的位移、體上所有點的運動軌跡都相同，各時刻各個質(zhì)點的位移、速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點來處理。速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點來處理。 二、平動和轉(zhuǎn)動（剛體的二種基本運動形態(tài)）二、平動和轉(zhuǎn)動（剛體的二種基本運動形態(tài)） 1 1、平動平動 在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體

3、在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為稱為剛體。或者說運動中物體上任二點的間距不變。剛體?；蛘哒f運動中物體上任二點的間距不變。說明：說明： 1. 理想模型理想模型 ； 2. 在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移；在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移； 3. 內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點系。內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點系。 如果剛體上的任意一條直線的方位在運動中變了，則稱剛?cè)绻麆傮w上的任意一條直線的方位在運動中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的軸線可變也可不變，若軸線固定不動，則體作轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的軸線可變也可不變，若軸線固定不動，則稱定軸轉(zhuǎn)動。作定軸轉(zhuǎn)動的剛體上的各點，在運動中都繞同稱定軸轉(zhuǎn)動。作定軸

4、轉(zhuǎn)動的剛體上的各點，在運動中都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動。而且，剛體上各點在相同時一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運動。而且，剛體上各點在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。2 2、轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動 剛體的一般運動剛體的一般運動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運動?？梢暈槠絼雍娃D(zhuǎn)動的合成運動。 如車輪如車輪的運動。的運動。 下面觀看汽車車輪的運動。下面觀看汽車車輪的運動。再如：再如：描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量角位置、角位移角位置、角位移yx0P(t)P(t+dt)d運動方程：運動方程：角位置角位置 ：位矢與：位矢與 ox 軸夾角。軸夾角。角位移角位移 d ：dt 時間內(nèi)角位置增量。時

5、間內(nèi)角位置增量。)(t 1 1、剛體上各質(zhì)點的角位移，角速、剛體上各質(zhì)點的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均相同； 2 2、各質(zhì)點都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)、各質(zhì)點都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。圓心在轉(zhuǎn)運動，且作圓周運動。圓心在轉(zhuǎn)軸上。軸上。三、定軸轉(zhuǎn)動三、定軸轉(zhuǎn)動 剛體的定軸轉(zhuǎn)動特點：剛體的定軸轉(zhuǎn)動特點：3. 線量線量 與角量的關(guān)系與角量的關(guān)系2rararvrsnt yx0vrrv 方向垂直方向垂直 和和 組成的平面組成的平面v r2. 角速度、角速度、 角加速度角加速度t dd 22ddddtt定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。規(guī)定：規(guī)定： 位矢從位矢從o

6、 x 軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置 為正，為正，反之，為負。反之，為負。若若 是定值，剛體的運動稱為：是定值，剛體的運動稱為：若若 是定值，剛體的運動稱作：是定值，剛體的運動稱作：勻角速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動（或勻加速轉(zhuǎn)動)剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運動的公式相似：剛體的定軸轉(zhuǎn)動的公式與一維直線運動的公式相似： axxv,00 為恒矢為恒矢 為恒值為恒值 a221202200 ttaxvvatvxatvv221202200 Example 1 1、一飛輪作減速運動，其角加速度與角速度關(guān)系、一飛輪作減速運動，其角加速度與角速度關(guān)系為為 ，k k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為為比例系數(shù)

7、，設(shè)初始角速度為 。求：。求：飛輪角速度與時間的關(guān)系；飛輪角速度與時間的關(guān)系；當(dāng)角速度由當(dāng)角速度由 時，在此時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。時，在此時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。k0200Solution：kdtdtdtkd00kt 0lnkte0 tdtkd02kkt2ln21ln1dtedtddtdkt0kktekk2002ln0|k420在此時間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)在此時間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)= =kktdted2ln000成的平面內(nèi)。組與且在向的右手螺旋方至FrFr,一、力矩一、力矩 1 1、定義：、定義： 轉(zhuǎn)軸到力的作用點的矢徑與作用力的叉積。轉(zhuǎn)軸到力的作用點的矢徑與作用力的叉積。力矩的表示式：力矩的表示式：

8、 大小：大?。?FrM2 2、注意：、注意：合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩 合力矩合力矩= =力矩的和力矩的和 ( (矢量和）矢量和） （對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和）（對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和） 合力為零，合力矩不一定為零合力為零，合力矩不一定為零方向：方向：MFrd力矩是矢量力矩是矢量sinrFF1F2 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸（F1=F2）5-2 5-2 力矩、轉(zhuǎn)動定律、轉(zhuǎn)動慣量力矩、轉(zhuǎn)動定律、轉(zhuǎn)動慣量 合力矩為零，合力不一定為零合力矩為零，合力不一定為零F0M力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，1.1.與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零；為零；2.

9、2.與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零；與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零；問：一對作用力與反作用力的力矩和等于多少？問：一對作用力與反作用力的力矩和等于多少？零零由此推知：質(zhì)點組對任一軸的內(nèi)力矩之和為零。由此推知：質(zhì)點組對任一軸的內(nèi)力矩之和為零。F1F21r2r力矩力矩合力合力2211rFrF 21FF 中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的 力矩力矩00，如推門。，如推門。F2F1Fr 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 sinrFM 定點力矩：定點力矩：FrM 垂直垂直 和和 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。MFr定軸力矩：定軸力矩：dFM2 合力矩：合力矩： 21MMM 2211dFdFMzM 只有兩個方向，可用正、負表

10、示。只有兩個方向，可用正、負表示。而且有：而且有：與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。 odP F2F1F歸結(jié)起來：歸結(jié)起來：F0M二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律 力矩是改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。 轉(zhuǎn)動物體也有保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變的慣性，在一定力轉(zhuǎn)動物體也有保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)不變的慣性，在一定力矩作用下，轉(zhuǎn)動慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。矩作用下，

11、轉(zhuǎn)動慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣性成反比。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣性成反比。若用若用J J 表示轉(zhuǎn)動慣性（表示轉(zhuǎn)動慣性（J J 稱為轉(zhuǎn)動慣量）則有：稱為轉(zhuǎn)動慣量）則有：kJMJM 寫成等式1在國際單位制中，在國際單位制中，k = 1 則上式為則上式為轉(zhuǎn)動定律JM 它說明了力矩的瞬時作用規(guī)律。什么時刻有力矩作用于它說明了力矩的瞬時作用規(guī)律。什么時刻有力矩作用于物體，物體什么時刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動定律相當(dāng)重要，物體，物體什么時刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動定律相當(dāng)重要，其在轉(zhuǎn)動中的地位就相當(dāng)于平動中的牛頓第二定律。其在轉(zhuǎn)動中的地位就相當(dāng)

12、于平動中的牛頓第二定律。 把剛體看作質(zhì)元把剛體看作質(zhì)元 的集合，對的集合，對 用牛頓第二定律用牛頓第二定律的切向式與法向式。的切向式與法向式。 設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，某質(zhì)元受內(nèi)力和設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，某質(zhì)元受內(nèi)力和 外力作用外力作用 imim 轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律推求：轉(zhuǎn)動定律可由牛頓第二定律推求： 推導(dǎo)的基本思想：推導(dǎo)的基本思想：矢量式：矢量式：法向式：法向式：切向式：切向式：iiiiamfF內(nèi)外iniininamfFitiititamfFirim對整個剛體：對整個剛體：iiititrmfF 以以 遍乘切向式：遍乘切向式：ir2iiiitiitrmrfrF iritFM外剛體所受的合外力矩

13、剛體所受的合外力矩 0iritF內(nèi)力矩和（內(nèi)力不改變動量）（內(nèi)力不改變動量）2iirmM 外定義定義： 為剛體所受的合外力矩其中MJM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律說明說明：（：（1）M, J, 均對同一軸而言，且具有瞬時性均對同一軸而言，且具有瞬時性； （2）改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的是力矩；）改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的是力矩； （3）轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。）轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量。為轉(zhuǎn)動慣量2iirmJ.,.,大小成正比的方向一致與大小成正比的方向一致與MdtdFadtvda 牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律的對應(yīng)關(guān)系牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律的對應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點物理量：質(zhì)點 m m 剛體剛體 J JFavM M規(guī)

14、規(guī) 律：質(zhì)點律：質(zhì)點 牛頓第二定律牛頓第二定律 剛體剛體 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 aMFJM不一定不一定ExampleExample：問：問：M M大，是否大，是否 大？大？ 式中各量是對于同一軸而言，且式中各量是對于同一軸而言，且 與與M M的符號（轉(zhuǎn)向）的符號（轉(zhuǎn)向） 相同。相同。 該定律不但對固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對質(zhì)心軸也成立。該定律不但對固定軸（轉(zhuǎn)軸）成立，對質(zhì)心軸也成立。 該定律是力矩的瞬時作用規(guī)律。該定律是力矩的瞬時作用規(guī)律。不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？對轉(zhuǎn)動定律對轉(zhuǎn)動定律 M M = J= J 應(yīng)注意：應(yīng)注意：（M M大，大， 大，大， 的變化大。的變化大。 可為可為0

15、 0）（ 大，并不代表它的變化大，有可能它的大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0M=0，勻角速轉(zhuǎn)動。），勻角速轉(zhuǎn)動。）對分離的質(zhì)點組：對分離的質(zhì)點組：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：2 2、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：、轉(zhuǎn)動慣量的物理意義：J J是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。( (對比平動對比平動m m是物體平動慣性大小的量度）是物體平動慣性大小的量度）2iirmJdmririmJ22dmrJ2233222211rmrmrmJ對應(yīng)與mFJMa 三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸1、轉(zhuǎn)動慣量的定義：、轉(zhuǎn)動

16、慣量的定義： 對質(zhì)點對質(zhì)點：J = m r 2 其中其中 r 為到轉(zhuǎn)軸的距離。為到轉(zhuǎn)軸的距離。 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 與質(zhì)量的分布有關(guān)與質(zhì)量的分布有關(guān) 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)4 4、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量J J的計算方法的計算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）體元積分求得） 3 3、J J與下列因素有關(guān)：與下列因素有關(guān)：Example 1、有一均勻細桿，桿長為、有一均勻細桿，桿長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，c為桿的為桿的中點。設(shè)轉(zhuǎn)軸中點。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo通過通過c點且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動點且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量慣量

17、Jc=？Solution ：?。喝軸方向如圖，桿的線密軸方向如圖，桿的線密度為度為 = m/l ，取小質(zhì)元，取小質(zhì)元dm= dx，則，則22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 0 x00 xdxC0 x0 xdxA0若將轉(zhuǎn)軸移到若將轉(zhuǎn)軸移到A點，求點，求 JA=？仍有小質(zhì)元仍有小質(zhì)元dm= dx，（，（ =m/l）202231mldxxdmxJlA 平行軸定理：平行軸定理：剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量J J，等于剛體對通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量 J Jc c ，加上剛體質(zhì)量，加上剛體質(zhì)量 m m 乘以兩平行軸之間乘以兩平

18、行軸之間的距離的距離d d的平方。即：的平方。即：2mdJJcB dCB可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動慣量是不同的?？梢娹D(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從那么將轉(zhuǎn)軸從C點平行移到點平行移到A點轉(zhuǎn)動慣量改變了多少？點轉(zhuǎn)動慣量改變了多少？C22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA 移項得：移項得： JA= JC + md2 轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理2mrJ rr221mrJ r221mrJ )(22221rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ 1r2rSolution ：取：取OXOX軸如圖所

19、示，軸如圖所示，則棍上任一段元則棍上任一段元dxdx的的質(zhì)量質(zhì)量 至轉(zhuǎn)軸的距離至轉(zhuǎn)軸的距離 dxdmlmsinxr dxdxX Xd dO Or rX X OExample 2 2、質(zhì)量為質(zhì)量為m m、長度為長度為l的均質(zhì)細直棍的均質(zhì)細直棍，對通過其中，對通過其中心心O O且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動慣量。且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動慣量。過棒一端過棒一端 O O、仍與棍斜交成角、仍與棍斜交成角 的軸的轉(zhuǎn)動慣量的軸的轉(zhuǎn)動慣量J J。轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量：2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時，時， 即為棍對于過它的中心即為棍對于過它的中心 且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的

20、轉(zhuǎn)動慣量。且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 2 2121mlJ 2mdJJoo2222121)sin(sinlmml 2231sinml 為棍對過棍一端、且與棍為棍對過棍一端、且與棍 垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 231,2mlJ 時當(dāng)由平行軸定理：由平行軸定理：Example 3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的細圓環(huán)對過環(huán)心垂直于的細圓環(huán)對過環(huán)心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。Solution ：圓環(huán)的線密度為：圓環(huán)的線密度為 =m/2 R 環(huán)上取小質(zhì)元環(huán)上取小質(zhì)元 dm= dl = R d 則則 23203222mRRmRdRdmRJ dld Examp

21、le 4、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤對過圓心垂直的薄圓盤對過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 rdrSolution ：圓盤的面密度為：圓盤的面密度為 =m/ R2取一半徑為取一半徑為 r，寬為，寬為dr 的圓環(huán)為質(zhì)元的圓環(huán)為質(zhì)元 dm = 2 r dr2403221212mRRdrrdmrJR 即圓盤對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為即圓盤對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J =mR2/2 。所以定滑所以定滑輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J =mR2/2 ，滑輪繞其過邊緣一點滑輪繞其過邊緣一點的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量為的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J = mR2/2 +

22、 mR2 。（。（平行軸定理平行軸定理） 轉(zhuǎn)動慣量的計算只是對規(guī)則物體而言，對不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)動慣量的計算只是對規(guī)則物體而言，對不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動慣量只能用實驗的方法得出。的轉(zhuǎn)動慣量只能用實驗的方法得出。Example 5、如圖所示，求大圓盤的實心部分對、如圖所示，求大圓盤的實心部分對O軸（垂直軸（垂直于盤面）的轉(zhuǎn)動慣量。于盤面）的轉(zhuǎn)動慣量。 （已知（已知 R = 2 r ，大盤質(zhì)量為，大盤質(zhì)量為M，小，小盤質(zhì)量為盤質(zhì)量為m）Solution ：由于轉(zhuǎn)動慣量有可加性，：由于轉(zhuǎn)動慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對所以先分別求出大盤和小盤對O軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量，再把小盤的除去即得大盤轉(zhuǎn)動慣量，再

23、把小盤的除去即得大盤實心部分對實心部分對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。大盤對大盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：軸的轉(zhuǎn)動慣量：J1 = MR2/2 小盤對小盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：軸的轉(zhuǎn)動慣量：J2 = mr2/2 + mr2 = 3mr2/2所以實心部分對所以實心部分對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為：軸的轉(zhuǎn)動慣量為：0RrMm22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ Example 6 6、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的定滑輪上面繞有細繩，繩的定滑輪上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩

24、檫，繩不可伸長不計質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m m 的物體而下垂。求物體的物體而下垂。求物體m m由靜由靜止下落止下落h h高度時的速度和此時輪的角速度。高度時的速度和此時輪的角速度。Solution ： 對象：對象：M M剛體剛體 m m 質(zhì)點質(zhì)點 受力分析：如圖所示受力分析：如圖所示依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律列方程依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律列方程h hT1T1mgmmM對物體有：對物體有： mg - T = m a 對滑輪有：對滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系： v2 = v02 +

25、2ah = 2ah 解方程得：解方程得：12224mmghmv122241mmghmRRv 在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物體以體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問過的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時間后滑輪開始反向運動？多少時間后滑輪開始反向運動？ 解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣和前面完全一樣 。因此對物體應(yīng)用牛頓第二。因此對物體應(yīng)用牛頓第二定律和對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的形式完全一樣。定律和對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律的形式完全一樣。h hT1T1mgmmMv0 對物體有：對物體有： mg - T = m

26、 a 對滑輪有：對滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系： v = v0 + at = 0 由第由第1、2、3個方程可解得：個方程可解得：由第由第4個方程可解得：個方程可解得：)2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 h hT1T1mgmmMv0 看書看書123頁例題頁例題 5 - 4（講解）（講解） 例題例題5 5-4 -4 半徑分別為半徑分別為R1、R2的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動的階梯形滑輪轉(zhuǎn)動慣量為慣量為 J ，其上反向繞有兩根細繩，各懸掛質(zhì)量為，其上反向繞有兩根細繩，各懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體，忽略滑輪與軸間

27、摩擦，求滑輪的角的物體，忽略滑輪與軸間摩擦，求滑輪的角加速度加速度 及各繩中張力及各繩中張力FT1、FT2。m1m2m2m1T1FT1F T2FT2F NFgm1gm21a2a 解解 分析各物體的分析各物體的受力情況，對輕繩應(yīng)有受力情況，對輕繩應(yīng)有T2T2T1T1 ,FFFF 假設(shè)滑輪沿順時針假設(shè)滑輪沿順時針方向轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動 選取物體運動方向為坐標(biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第選取物體運動方向為坐標(biāo)軸正向，根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律可得二定律和轉(zhuǎn)動定律可得 JRFRFamgmFamFgm 2T21T1222T211T11滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度滑輪邊緣的切向加速度等于物體的加速度 2211,R

28、a Ra 解以上各式得解以上各式得gRmRmJRmRm2222112211 gmRmRmJRRmRmJRgmFgmRmRmJRRmRmJRgmF2222211211211222T1222211212222111T 右圖中，滑輪兩邊張力不相同右圖中，滑輪兩邊張力不相同 ，兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）Mm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g g m m2 2g gMm m1 1m m2 2T T2 2T T1 1T T2 2T T1 1 aam m1 1g gm m2 2g gMT TT T amTgm1

29、11amgmT222JrTT)(21ra amTgm111amgmT222JrTT )(1ra 221MrJ JrTT)(2 Solution ： （1 1）選細桿、剛體為研究對象）選細桿、剛體為研究對象受力與受力矩分析如圖受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動定律有方程：由轉(zhuǎn)動定律有方程：)31(22mlCoslmgCoslg23（2 2）由于力矩）由于力矩M= mgM= mg（l/2l/2）coscos 屬變力矩，故由屬變力矩，故由 求角速度求角速度 時用積分法。時用積分法。 得得l lr r mg2O OExample 7 7、質(zhì)量、質(zhì)量m m、長為、長為l的均質(zhì)細桿，可繞過固定端的均質(zhì)細桿，可繞過

30、固定端O O的水的水平軸轉(zhuǎn)動，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：平軸轉(zhuǎn)動，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任一角轉(zhuǎn)到任一角 時，桿的角加速度時，桿的角加速度 等于多少？等于多少？此時的角此時的角速度速度 等于多少？等于多少？ 當(dāng)當(dāng) = = /2/2 （桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時，（桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時，lgSin3討論：討論： 越小，越小， 值越?。恢翟叫。?越大，越大， 值越大。值越大。0,3 lgmdCoslgdd00023作業(yè)：作業(yè)：5-4、5-5、5-7、5-10。dddtddddtdsin23212lgCoslg23例例6 6。如圖示，一長為。如圖示，一長為L L、質(zhì)量可以忽略的

31、剛性直桿，兩端分別固、質(zhì)量可以忽略的剛性直桿，兩端分別固定質(zhì)量分別為定質(zhì)量分別為2 2m m和和m m的小球，桿可繞通過其中心的小球，桿可繞通過其中心O O且與桿垂直的水且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。開始桿與水平成某一角度平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。開始桿與水平成某一角度，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后， 桿繞桿繞O O軸轉(zhuǎn)動，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到軸轉(zhuǎn)動，則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置水平位置時，時，求（求（1 1）該系統(tǒng)所受到的合外力矩）該系統(tǒng)所受到的合外力矩M M的大小；（的大??；（2 2）該系統(tǒng)對光滑）該系統(tǒng)對光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量；（固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量；（3 3）此時該系統(tǒng)角加速

32、度）此時該系統(tǒng)角加速度的大小。的大小。解：已知：略。解：已知：略。研究對象：兩小球研究對象：兩小球+ +桿系統(tǒng)（剛體），受力分析桿系統(tǒng)（剛體），受力分析mm2oogmgm21r2r（1 1）mgLLmgLmgMMgmrgmrM21|222|221逆時針為正逆時針為正計計2 2（2 2）dmrrmJiii2222243)2(2)2(mLLmLmJ（3 3）JM LgmLmgLJM3243212任意位置時：轉(zhuǎn)動慣量不變?nèi)我馕恢脮r：轉(zhuǎn)動慣量不變gmgm21r2r243mLJ 力矩：力矩：gmrgmrM221)2sin(221)2sin(21mgLmgLMcoscos21mgLmgLcos21mgL（

33、負號表順時針）（負號表順時針）JM cos23lg例題例題8 8、（、（125125頁頁5-155-15，習(xí)題集計，習(xí)題集計 4 4）質(zhì)量為）質(zhì)量為 的鼓形輪，可繞的鼓形輪，可繞水平軸轉(zhuǎn)動。一繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為水平軸轉(zhuǎn)動。一繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為 的圓盤形的圓盤形滑輪懸有滑輪懸有 的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了 時，求：時，求：（1 1）物體的速度；（）物體的速度；（2 2）繩中張力。（繩與滑輪無相對滑動）繩中張力。（繩與滑輪無相對滑動）已知：略。已知：略。解：研究對象：鼓輪、滑輪、重物。解：研究對象：鼓輪、滑輪、重物。受力分析：受力分析：kg

34、24kg5kg10m5 . 0RrRRFTFgm31m2m3mrTFRF1211121RmJRFR(1)(1)計計4 4amFgmT33(2)(2)2222221)(rmJrFFRTRa1ra2(5)(5)(4)(4)(3)(3)1211121RmJRFR(1)(1)smasvasvvvttt/2222202聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：2/4sma )(58 NFT)(48 NFR所以剛體的轉(zhuǎn)動動能所以剛體的轉(zhuǎn)動動能221 JEk 一、轉(zhuǎn)動動能一、轉(zhuǎn)動動能 剛體轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點都繞定軸作圓運動，都剛體轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點都繞定軸作圓運動，都具有動能。剛體的轉(zhuǎn)動動能就等于剛體中所有質(zhì)點的動能之具有動能。剛體

35、的轉(zhuǎn)動動能就等于剛體中所有質(zhì)點的動能之和。和。 質(zhì)點的動能為質(zhì)點的動能為（1/21/2） m mi iv vi i2 2= =（1/21/2） m mi ir ri i2 2 2 2 則剛體總動能為則剛體總動能為 2222121 iiiikrmvmE與平動動能形式相同，量綱也相同，單位也相同。與平動動能形式相同，量綱也相同，單位也相同。Ek=mr2 2 2=ML=ML2 2T T-2-2二、力矩的功二、力矩的功5-3 5-3 轉(zhuǎn)動動能、力矩的功轉(zhuǎn)動動能、力矩的功這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理這就是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理 M M：X Xd Frds 0 剛體轉(zhuǎn)過剛體轉(zhuǎn)過

36、d 角，角，合外力合外力F作的元功為作的元功為 ：cosFdssdFdwsincos rddsdFrdwsinMddwFrMsin力矩的大小又當(dāng)剛體在當(dāng)剛體在F力作用下，從力作用下，從 1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 2時所作的功為：時所作的功為：21222121212121JJdJddtdJMddww2122212121JJMdw即21222121JJW力矩轉(zhuǎn)力矩kEW 轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理： 合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。使用中應(yīng)注意使用中應(yīng)注意： E Ek k轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 是相對量；是相對量； 轉(zhuǎn)動動能定理的表達式為標(biāo)量式。轉(zhuǎn)動動能定理的表達式為

37、標(biāo)量式。 應(yīng)用該定理時只需分析始態(tài)與末態(tài)。應(yīng)用該定理時只需分析始態(tài)與末態(tài)。凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理下面用轉(zhuǎn)動動能定理求解下面用轉(zhuǎn)動動能定理求解Example 7 72122212121JJMdwSolution ：對象：桿：對象：桿由轉(zhuǎn)動動能定理有：由轉(zhuǎn)動動能定理有：021cos220Jdlmg22)31(212mlmgSinllgSin3cos23lgdtd可見：求解桿的角速度時，用轉(zhuǎn)動動能定理比用轉(zhuǎn)動定律可見：求解桿的角速度時，用轉(zhuǎn)動動能定理比用轉(zhuǎn)動定律 簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動定律為簡單。簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動定律為簡單。l

38、lr r mg2O O 機械能守恒定律機械能守恒定律 只有保守力作功時，機械能守恒，即只有保守力作功時，機械能守恒，即 21EE,恒量轉(zhuǎn)pkEE為質(zhì)心處的勢能cpmghE用機械能守恒定律求解用機械能守恒定律求解Example 7 7中的中的Solution ：在桿轉(zhuǎn)動的過程中，由于只有重：在桿轉(zhuǎn)動的過程中，由于只有重力作功，故機械能守恒。取桿的水平位置為力作功，故機械能守恒。取桿的水平位置為勢能零點，有勢能零點，有: :)2(02SinlmgEkSinlmgml2)31(2122lgSin3lr r mg2O O0pE一、質(zhì)點的角動量（動量矩）和角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量（動量矩）和角動量

39、守恒定律定義為：定義為：PrLLrsin,rmvL大小為為矢量方向：從方向：從 至至 的右旋前進方向（右手螺旋法則）。的右旋前進方向（右手螺旋法則）。rP當(dāng)質(zhì)點繞當(dāng)質(zhì)點繞O點作圓運動時點作圓運動時1sin90則有則有 L = P r = m v r dtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd)()0(0mPdtrddtPdrdtLd5-4 5-4 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律質(zhì)點角動量原理：質(zhì)點角動量原理：LLLMdt0質(zhì)點所受沖量矩質(zhì)點所受沖量矩=質(zhì)點角動量的增量質(zhì)點角動量的增量 當(dāng)質(zhì)點所受合外力矩當(dāng)質(zhì)點所受合外力矩 M=0 時，質(zhì)點角動量守恒時，質(zhì)點角動量守恒 L =

40、恒恒量量 。此即質(zhì)點角動量守恒定律。此即質(zhì)點角動量守恒定律 。dtLdM12LLLddtMdtdPFdtpdrFrMdtpdrdtLd又Example 1、一小球在光滑平面上作圓運動，小球被穿過、一小球在光滑平面上作圓運動，小球被穿過中心的線拉住中心的線拉住 。開始時繩半徑為。開始時繩半徑為r1 ，小球速率為，小球速率為 v1 ；后；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)閬恚吕K子，使半徑變?yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)?，小球速率變?yōu)?v2 ，求，求v2 =？Solution ：受力分析如圖所示。：受力分析如圖所示。Mg = N , T為小球圓運動的向心力，為小球圓運動的向心力，合外力合外力= T ，但過

41、轉(zhuǎn)軸而無力矩。，但過轉(zhuǎn)軸而無力矩。合外力矩為合外力矩為0，小球角動量守恒，小球角動量守恒 。 有：有： L = mvr = 恒量恒量 即即 m v1 r1 =m v2 r2mgNT1212)(vrrv 二、繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量和角動量守恒定律二、繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量和角動量守恒定律 JrmrvmrLiiiiii2 剛體對定軸轉(zhuǎn)動的角動量等于剛體剛體對定軸轉(zhuǎn)動的角動量等于剛體中所有質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量之和：中所有質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量之和： )(iiiivmRL iiimvRLdz0 miivLiRri剛體對定點的角動量：剛體對定點的角動量：JL 由剛體的轉(zhuǎn)動定律：由剛體的轉(zhuǎn)動定律：dtdLd

42、tdJdtdJJM 的方向與的的方向與的 的方向相同。的方向相同。LdtdLM1212JJLLdLdtM角動量定理：角動量定理：合外力矩的沖量矩合外力矩的沖量矩= =角動量的增量角動量的增量。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律 常量0)(JJL當(dāng)當(dāng)0M時，時， 剛體受外力矩為零時，動量矩（角動量）保持不變。即剛體受外力矩為零時，動量矩（角動量）保持不變。即大小，正負（方向）均不變。大小，正負（方向）均不變。（ 角動量守恒條件角動量守恒條件 ）0M質(zhì)點與剛體的角動量量綱相同質(zhì)點與剛體的角動量量綱相同mrmrJL2剛體JmrmrL2質(zhì)點mimir.推廣至人推廣至人 人非剛體，

43、只要滿足人所受的人非剛體，只要滿足人所受的 則人的角動量也守恒。則人的角動量也守恒。使用中的幾種情況：使用中的幾種情況：.一個剛體（質(zhì)點）一個剛體（質(zhì)點） J J不變，不變， 不變，不變，L=L=恒量恒量 。注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用條件分析：條件分析： ，即力矩的和為零。，即力矩的和為零。 0iM.幾個剛體（幾個質(zhì)點）幾個剛體（幾個質(zhì)點） J J變，變， 變，變， 不變。不變。合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。J0iM 花樣滑冰運動員，伸開手：花樣滑冰運動員，伸開手：J0 、 0 。收攏手：收攏手

44、：J=J0/3 ， 則則 = J0 0/J=3 0 Example 2 2、一根長為、一根長為 l 、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m m1 1 的均勻細棒，其一端的均勻細棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)掛在一個水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為量為m m2 2 、以水平速度、以水平速度 v0 射入棒下端距軸高度為射入棒下端距軸高度為 a 處如圖。處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動偏離鉛直位置子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動偏離鉛直位置 3030。，求子彈的水平速度求子彈的水平速度 v0 的大?。康拇笮?？Solution ： 對象：對象： 棒棒 剛體剛體 子彈子

45、彈 質(zhì)點質(zhì)點 過程分析：過程分析： 第一階段：第一階段： 與與 碰撞碰撞2m1m第二階段：第二階段： + + 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動1m2m角動量守恒角動量守恒 )0(0iM恒矢iL只有重力作功，只有重力作功，故機械能守恒。故機械能守恒。30a0pE0m m2 2m m1 1列方程列方程)31(222102amlmam303020)2()()31(2121212221221gaCosmCoslgmgamlgmamlm)3)(2)(32(6122212120amlmamlmgam解得：解得：上面例子說明：上面例子說明： 1. 動量矩（角動量）保持不變是轉(zhuǎn)動慣量與角速度的積不變；動量矩（角動量）保持不變是轉(zhuǎn)動慣

46、量與角速度的積不變；2. 多物體組成的系統(tǒng)角動量的可疊加性；多物體組成的系統(tǒng)角動量的可疊加性；3. 角動量守恒定律是一條普適定律。角動量守恒定律是一條普適定律。 2211 JJJ300pE0m m2 2m m1 1a角動量守恒角動量守恒: : 機械能守恒機械能守恒: :Example 3 3、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M、長為、長為L L的均勻直棒，可繞垂直于棒的一的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸端的水平軸O O無摩擦地轉(zhuǎn)動。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在無摩擦地轉(zhuǎn)動。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m m的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，碰撞后，棒從平衡位置處擺動到最大角度碰撞后，棒從平衡位置處擺動到最大角度 =30=30。，如圖所示。，如圖所示。求：（求：（1 1）小球碰撞前的速度）小球碰撞前的速度v v0 0= =？ （2 2）碰撞時，小球受到多大的沖量？）碰撞時，小球受到多大的沖量？30L0pE0mOSolution ：（：（1 1）選小球和棒為研）選小球和棒為研究對象究對象, ,碰撞時系統(tǒng)所受合外力矩