RS碼編碼算法

1、RS碼編碼算法一RS編碼對于能夠糾正t個錯誤的RS（n,k,d）碼，具有如下特征：1） 碼長：符號或比特2） 信息碼元數(shù)：或比特；3） 監(jiān)督碼元數(shù)：符號或比特；4） 最小距離：符號或比特；最小距離為d的本原RS碼的生成多項(xiàng)式為 式中的m是一個任意整數(shù)。令信息元多項(xiàng)式為： 二RS編碼器的類型1基于乘法形式的RS編碼器公式：結(jié)構(gòu)圖如下：由上面結(jié)構(gòu)的乘法編碼器輸出的碼字是非系統(tǒng)碼。2基于除法形式的RS編碼器（1） 根據(jù)生成多項(xiàng)式構(gòu)造的除法編碼器。 令剩余多項(xiàng)式至少比低一次。 則編程的碼多項(xiàng)式為具體實(shí)現(xiàn)如下圖：（2） 根據(jù)校驗(yàn)碼多項(xiàng)式構(gòu)造的除法編碼器設(shè)校驗(yàn)多項(xiàng)式為： 系統(tǒng)碼的多項(xiàng)式為：它的前位系數(shù)：是

2、已知的信息位，而后位系數(shù)：是需求的校驗(yàn)位。碼多項(xiàng)式必是生成多項(xiàng)式的背式，所以 而由于所以的最低位次數(shù)至少為次，而在的乘積中的次數(shù)為0。的系數(shù)： 的系數(shù)： 而 由于為首一多項(xiàng)式，故上式可寫為 上式展開為：由上式看出碼字的第一個碼元可由個信息元與的系數(shù)相乘得到，而由可得到第二個校驗(yàn)元，再由信息元和第一、第二校驗(yàn)元可得到第三校驗(yàn)元。按這樣的線性關(guān)系遞推，一直可求得所有的個校驗(yàn)元。具體實(shí)現(xiàn)如下圖：（3） RS的時域編碼實(shí)際例子RS碼是非二進(jìn)制碼，它是在上的，這里。這里我們選用域來進(jìn)行，域中16個元素可用4bits符號表示。例 構(gòu)造一個能糾正3個錯誤符號，碼長為15，m=4的RS碼。求生成多項(xiàng)式和編碼電

3、路。解：當(dāng)時，最小碼距，信息元長度。該碼為（15，9）RS碼，其生成多項(xiàng)式為： 由分圓多項(xiàng)式多項(xiàng)式： 是本原域元素，它是多項(xiàng)式的根，則或 以為模的的元素如下表：0001010100101010010001111000111000111111011011011100100110110001中每個元素都可表示成它的自然基地（在域上）的線性組合，如下形式： 因此在上的進(jìn)制RS碼，它的編碼電路可用或級進(jìn)制寄存器實(shí)現(xiàn)。本例是用級乘法器電路實(shí)現(xiàn)，如下圖。圖中的移位積存器必須是由能積存16進(jìn)制的元件組成，這可用4級觸發(fā)器組成的移存器完成。常乘器可用模2加法器構(gòu)成。在域上的系數(shù)可用自然基地表示為如下形式：中乘的轉(zhuǎn)換電路如下表示：式中： 中乘的轉(zhuǎn)換電路如下表示： 中乘的轉(zhuǎn)換電路如下表示： 中乘的轉(zhuǎn)換電路如下表示： 中乘的轉(zhuǎn)換電路如下表示： RS編碼器具體實(shí)現(xiàn)電路如下圖所示：工作過程如下：（1） 門打開，開關(guān)撥到符號輸入端，所有移存器清0。然后將6個16進(jìn)制信息符號，一邊送入移存器，一邊送入信道。注意每一節(jié)拍移動一個16進(jìn)制符號。（2） 6個16進(jìn)制符號送入移存器后，完成除法運(yùn)算，移存器中的就是余式。此時，門關(guān)閉，開關(guān)撥到下面。再經(jīng)過6個節(jié)拍的移動，得