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1、第六章 回歸分析引言:回歸分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它的任務(wù)是研究變量之間的相互關(guān)系,建立變量之間的經(jīng)驗(yàn)公式,以便達(dá)到預(yù)測(cè)和控制*的目的。函數(shù)關(guān)系:例如:正方形的邊長(zhǎng)x,面積值 ;球的半徑x,球的體積相關(guān)關(guān)系:例如:一個(gè)人的身高x與體重y的關(guān)系模型:(*)其中x是普通變量(非隨機(jī)),y是隨機(jī)變量,。x是一維變量時(shí),(*)稱為一元回歸模型;x是多維變量時(shí),(*)稱為多元回歸模型。f(x)稱為y對(duì)x的回歸函數(shù),y=f(x) 稱為y對(duì)x的回歸方程。y稱為因變量,而x稱為自變量。也將x稱為解釋變量、將y稱為被解釋變量或響應(yīng)變量。f (x)為線性函數(shù)的情形,稱為線性回歸。一元線性回歸模型是其中
2、、是未知參數(shù),是隨機(jī)誤差,假設(shè)。§6.1 一元線性回歸本節(jié)的學(xué)習(xí)分四個(gè)部分:1建立一元線性回歸模型:,;2估計(jì)未知參數(shù)、和,得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程;3檢驗(yàn): ,:4若,將經(jīng)驗(yàn)回歸方程用于預(yù)測(cè)。一 模型例:從某年齡男孩中任意挑選10名,測(cè)量他們的身高和體重得數(shù)據(jù):身高x(cm)157167165158155156164160158163體重y(kg)46555246424549474449體重隨身高的增長(zhǎng)而直線增長(zhǎng)的趨勢(shì)可描述為:.其中,、為常數(shù),為隨機(jī)變量,且。記身高為的學(xué)生體重為 ,(是隨機(jī)變量),則,()其中,獨(dú)立,假定,(),未知。問(wèn)題的一般提法: , (1)假定。對(duì)應(yīng)于的個(gè)不全相同
3、的值,有個(gè)隨機(jī)變量,有,()(2)其中,獨(dú)立,(),、是未知參數(shù)。通常稱(2)為一元線性回歸模型,而(1)稱為理論模型。二 參數(shù)、的估計(jì)1、的最小二乘估計(jì)記, ,則 其中,.所以,當(dāng) (*)時(shí),達(dá)到極小。使達(dá)到極小的稱為、的最小二乘估計(jì)量。即,這時(shí),稱為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,其圖形稱為回歸直線。由 得 ,有回歸直線必通過(guò)。記,稱為在處的預(yù)測(cè)值(擬合值或回歸值)。2殘差平方和所達(dá)到的極小值記做,稱為殘差平方和(或剩余平方和)。則 。這里的由(*)確定。殘差平方和的計(jì)算:.(注意:上式中的 ,不是樣本方差)3、的計(jì)算:的分子:,的分母:,所以,例:男生身高和體重的例中,求回歸模型中、的最小二乘估計(jì)。
4、解:,=, ,=0.8808,。由此, 為男生體重關(guān)于身高的回歸方程。4、是、的無(wú)偏估計(jì):/* ,*/5的估計(jì)可以證明:,所以 ,有無(wú)偏估計(jì):(教材P169記做)身高體重關(guān)系的例中:, ,. . 三回歸方程的顯著性檢驗(yàn): ,:(一)檢驗(yàn)真時(shí),其中,/*利用了與獨(dú)立,所以,于是,真時(shí),有*/給定顯著水平,若,則拒絕。例如:男生身高、體重關(guān)系的例中,判斷體重對(duì)身高的線性回歸關(guān)系是否顯著()。解:檢驗(yàn) : ,:,。, ,拒絕,認(rèn)為對(duì)的線性回歸關(guān)系顯著。(二)樣本相關(guān)系數(shù)1.平方和分解將的離差平方和分解:+其中,()+.其中 .注意到,=2.樣本相關(guān)系數(shù)的定義記稱為對(duì)的樣本相關(guān)系數(shù)。因?yàn)?,所以,且與同
5、號(hào)。由 ,有 .越接近于1,說(shuō)明對(duì)的相關(guān)關(guān)系越緊密。3.利用檢驗(yàn) : ,:真時(shí),給定顯著水平,時(shí),拒絕。因?yàn)椋裕?解得:可查表(附表17,P273)得到。當(dāng)時(shí),拒絕,認(rèn)為.例如:男生身高、體重關(guān)系的例中,.檢驗(yàn) :(對(duì)的線性回歸關(guān)系不顯著)。取, 因?yàn)?,所以拒絕,認(rèn)為對(duì)的線性回歸關(guān)系顯著。進(jìn)一步,因,所以,關(guān)于是正相關(guān)的。(三)-檢驗(yàn)拒絕域: 檢驗(yàn)、檢驗(yàn)、-檢驗(yàn)三者等價(jià)。四預(yù)測(cè)對(duì)任一給定的,由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得回歸值:,其中和是和的最小二乘估計(jì)。用作為的估計(jì)。預(yù)測(cè)區(qū)間:對(duì)給定的可靠性,找,使,或 可以證明:于是,另外可以證明:,及與獨(dú)立。由此,=(教材P177(6.40)對(duì)給定的可靠性,由
6、,得作為的估計(jì),其絕對(duì)誤差限為(教材P178(6.42)的可靠性為置信區(qū)間為 .注:當(dāng)時(shí),。隨著遠(yuǎn)離,逐漸增大。置信區(qū)間控制線形成以為中心的喇叭口形(P178圖6.6):身高體重的例:求身高在時(shí),對(duì)應(yīng)的體重的估計(jì)值、可靠性為95%的絕對(duì)誤差限和置信區(qū)間。解:經(jīng)驗(yàn)回歸方程為: ,時(shí),=156.1所以, 的可靠性為95%置信區(qū)間為:。一元線性回歸小結(jié):1. 模型,2. 數(shù)據(jù),()(1),;(2),;(3).3. 、最小二乘估計(jì), 經(jīng)驗(yàn)回歸方程:.4. 殘差平方和:5. 的估計(jì):回歸剩余標(biāo)準(zhǔn)差:6. 樣本相關(guān)系數(shù): 7. 檢驗(yàn):,:(1)檢驗(yàn):,拒絕域:(2)檢驗(yàn):拒絕域:/*(3)-檢驗(yàn): 拒絕域
7、: */其中 。三種檢驗(yàn)等價(jià)。8. 預(yù)測(cè), ,可靠性為置信區(qū)間:.§6.2可以化為一元線性回歸的非線性回歸問(wèn)題例:?jiǎn)挝唬禾旆N別開(kāi)始走動(dòng)的時(shí)間開(kāi)始玩耍的時(shí)間(1)人36090(2)大猩猩165105(3)貓2121(4)家犬2326(5)挪威鼠1114(6)烏鶇1828(7)混血彌猴1821(8)黑猩猩150105(9)松鼠猴4568(10)花鼠4575(11)白臉猴1846取回歸函數(shù)(*)測(cè)數(shù)據(jù)為,(*)式兩邊取對(duì)數(shù)得,記 ,得。令,得到用于回歸的新數(shù)據(jù)5.8864.55.1064.6543.0453.0453.1353.2582.3982.6392.893.3322.893.0455.0114.6543.8074.223.8074.3172.893.829由一元線性回歸方法得,。得與的估計(jì)為:, 從而得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為:./*曲線回歸方程的比較(1)
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