七大積分總結(jié)

1、七大積分總結(jié)一 定積分1. 定積分的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界，在區(qū)間a,b中任意插入n1個(gè)分點(diǎn)：a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<xi+1<<xn-1<xn=b,把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間：x0,x1xi-1,xixn-1,xn，記xi=xixi-1(i=1,2,3,n)為第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，在每個(gè)小區(qū)間上x(chóng)i-1,xi上任取一點(diǎn)i(xi-1ii)，作乘積:f(i)xi(i=1,2,3,n),并作合式： 記=maxx1, x2, x3, xn,若不論對(duì)a,b怎樣分法，也不論在小區(qū)間xi-1,xi上點(diǎn)i怎樣取法，只要當(dāng)0時(shí)，S

2、的極限I總存在，這時(shí)我們稱(chēng)I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上定積分（簡(jiǎn)稱(chēng)積分），記做： 其中f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量，a稱(chēng)為積分下限，b稱(chēng)為積分上限，a,b稱(chēng)為積分區(qū)間，稱(chēng)為積分和。如果f(x)在a,b上的定積分存在，則稱(chēng)f(x)在a,b上可積。關(guān)于定積分的定義，作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1） 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的字母記法無(wú)關(guān)，即。（2） 定義中區(qū)間的分法與i的取法是任意的。（3） 定義中涉及的極限過(guò)程中要求0，表示對(duì)區(qū)間a,b無(wú)限細(xì)分的過(guò)程，隨0必有n，反之n并不能保證0，定積分的實(shí)質(zhì)是求某種特殊合式的極限：例： （此特殊合式在計(jì)算中可

3、以作為公式使用）2. 定積分的存在定理定理一 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理二 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間上可積。3. 定積分的幾何意義對(duì)于定義在區(qū)間a,b上連續(xù)函數(shù)f(x)，當(dāng)f(x)0時(shí)，定積分在幾何上表示由曲線(xiàn)y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)小于0時(shí)，圍成的曲邊梯形位于x軸下方，定積分在幾何意義上表示曲邊梯形面積的負(fù)值。若f(x)在區(qū)間上既取得正值又取得負(fù)值時(shí)，定積分的幾何意義是：它是介于x軸，曲線(xiàn)y=f(x),x=a,x=b之間的各部分曲邊梯形的代數(shù)和。4定積分的性質(zhì)線(xiàn)性性

4、質(zhì)（性質(zhì)一、性質(zhì)二）性質(zhì)一 和差的積分等于積分的和差；性質(zhì)二 （k是常數(shù)）性質(zhì)三 對(duì)區(qū)間的可加性 不管a,b,c相對(duì)位置如何，總有等式 性質(zhì)四 如果在區(qū)間a,b上，f(x)1，則性質(zhì)五（保號(hào)性） 如果在區(qū)間a,b上，f(x)0，則推論一 設(shè)f(x)g(x),xa,b，則推論二 (a<b)性質(zhì)六（估值定理） 設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上最大值和最小值，則 性質(zhì)七（定積分中值定理） 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少有一點(diǎn)使得下式成立： （本性質(zhì)可由性質(zhì)六和介值定理一塊證得）5積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若x為區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)

5、，則f(x)在區(qū)間a,x上定積分為，此時(shí)x既表示積分變量又表示積分的上限，但兩者的含義不同，因?yàn)槎ǚe分與積分變量的激發(fā)無(wú)關(guān)，故可改用其他符號(hào)，可用t表示積分變量，則上面的積分可寫(xiě)成，該積分會(huì)隨著X的取定而唯一確定，隨X的變化而變化。所以積分是定義在區(qū)間a,b上關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)，記做(x): (x)= (axb)并稱(chēng)該函數(shù)為積分上限函數(shù)或積分變上限函數(shù)，它具有下面定理所指出的重要性質(zhì)：定理一 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)(x)在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為(x)= （axb）定理二（原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)(x)就是f(x)在區(qū)間a,b上的

6、一個(gè)原函數(shù)。定理二肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。定理三 如果函數(shù)f(t)在區(qū)間I1上連續(xù)，a(x),b(x)在區(qū)間I2上都可導(dǎo)，并且fa(x),fb(x)構(gòu)成I2上的復(fù)合函數(shù)，則F(x)=在I2上可導(dǎo)，且F(x)=fb(x)·b(x)-fa(x)·a(x)6.牛頓-萊布尼茨公式設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則有=F(b)-F(a),這個(gè)公式稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式。次公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，它表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量，而原函

7、數(shù)的全體就是不定積分，故該公式將求定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)了，又叫做微積分基本公式，在計(jì)算中常用到。7.定積分的常見(jiàn)積分方法換元法如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且函數(shù)x=(t)滿(mǎn)足下列條件：（1）()=a,()=b;(2)在區(qū)間,上(t)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其值域Ra,b，則有 ，此公式稱(chēng)為定積分的換元公式。注意：換元必?fù)Q限，即用x=(t)把積分變量x換成t時(shí)，積分限一定要換成相應(yīng)于新積分變量t的積分限；另外此公司反過(guò)來(lái)也可以用：，其中定積分中的對(duì)稱(chēng)奇偶性：若f(x)在區(qū)間-a,a上連續(xù)，則：（1） 當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，=0（2） 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，三角函數(shù)的定積分公式：設(shè)f(x)在0,1

8、上連續(xù)，則：（1）;(2)周期函數(shù)的定積分公式：如果T是連續(xù)函數(shù)f(x)的周期，則（a為常數(shù)）分部積分法若函數(shù)u=u(x)，v=v(x)在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 重要結(jié)論：設(shè)In=，則（1） 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，In=（2） 當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)，In=常用到的不定積分的積分公式：三角函數(shù)的有理式積分：一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：常見(jiàn)微分公式：8.無(wú)窮限的廣義積分：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a,+上的廣義積分，記做，這時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂，如果上述極限不存在，則稱(chēng)該廣義積分發(fā)散。同理也可得函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間-,b

9、上的廣義積分。對(duì)于廣義積分：只有在收斂的條件下才可使用上述“定積分中的對(duì)稱(chēng)奇偶性”。幾條結(jié)論：（1） 廣義積分，當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p1是發(fā)散。（2） 廣義積分當(dāng)p>0時(shí)收斂，當(dāng)p<0時(shí)發(fā)散。9.無(wú)界函數(shù)的廣義積分：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b上連續(xù)，點(diǎn)a為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)，取t>a，如果極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分，記做，即=。這時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂，如果上述極限不存在，就稱(chēng)廣義積分發(fā)散。同理，可得f(x)在區(qū)間a,b）上的瑕積分,即 = 對(duì)于無(wú)界函數(shù)的瑕積分（就是廣義積分）的計(jì)算，也可以利用牛頓-萊布尼茨公式，如對(duì)于f(x)在區(qū)間（a,b上

10、的瑕積分有： =F(b)-=F(x)-F(a+0)小結(jié)論：廣義積分當(dāng)p<1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散。對(duì)于無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）的計(jì)算，一般瑕點(diǎn)都會(huì)設(shè)置在區(qū)間(a,b)(或a,b),(a,ba,b)的內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)上。10.定積分的應(yīng)用一、定積分在幾何上的應(yīng)用：（一）平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形:對(duì)于有曲線(xiàn)x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)圍成的X型的曲邊梯形，其面積的計(jì)算公式為：A= （a<b）對(duì)于由曲線(xiàn)y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所圍成的Y型的曲邊梯形的面積計(jì)算公式為： (c<d)2.參數(shù)方程情形：當(dāng)曲邊梯形的曲邊f(xié)(x)(f(x)0,xa,b)由參數(shù)

11、方程x=,y=給出時(shí)，若，且在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，y=連續(xù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可得曲邊梯形的面積為：A=4. 極坐標(biāo)情形：由曲線(xiàn)及射線(xiàn)圍成的曲邊扇形的面積計(jì)算公式為 A=（二）立體的體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積對(duì)于由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),直線(xiàn)x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式為：V=同理可得相似的繞Y軸和Z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式。2.平行截面面積已知的空間立體的體積若一個(gè)立體位于平面x=a,x=b之間，且知道過(guò)x且垂直于x軸的平面截此物體的截面面積為A(x)，且A(x)為了連續(xù)函數(shù)，則此立體的體積計(jì)算公式是： V=，同理可得相似

12、的過(guò)Y（Z）且垂直于Y（Z）軸的平面截得的立體的體積的計(jì)算公式。（三）平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)1.參數(shù)方程情形設(shè)曲線(xiàn)由參數(shù)方程x=,y=給出，且，在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為： S=2.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線(xiàn)由直角坐標(biāo)方程y=f(x) （axb）給出，其中f(x)在a,b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則此時(shí)函數(shù)的參數(shù)方程可寫(xiě)成：x=x,y=f(x)，故其弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：s=3.極坐標(biāo)情形設(shè)弧線(xiàn)由極坐標(biāo)方程 給出，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其參數(shù)參數(shù)方程可以表示為x=cos,y=sin,故弧長(zhǎng)為s=二、定積分在物理上的應(yīng)用（一）變力沿直線(xiàn)所做的功 W=（二）液體壓力 這個(gè)就題論題；（三）引力 這個(gè)在計(jì)算

13、的時(shí)候適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，將力分解為X軸和Y州兩個(gè)方向上分別計(jì)算，就題論題；定積分到此結(jié)束，在計(jì)算的過(guò)程中要牢記常見(jiàn)的公式，特別是積分公式，這些都與不定積分有關(guān)，上邊總結(jié)的一些積分公式可能不全，見(jiàn)諒。二 二重積分這里二重積分的引入（闡釋了二重積分的幾何意義：表示曲頂柱體的體積）和定義及概念就不再總結(jié)，只聲明：當(dāng)被積函數(shù)為常數(shù)1的時(shí)候，二重積分的物理意義是被積函數(shù)所圍區(qū)域的面積，當(dāng)被積函數(shù)是關(guān)于積分變量的一個(gè)函數(shù)時(shí)，二重積分的意義有很多，這與二重積分的應(yīng)用有關(guān)。1. 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)一(線(xiàn)性性質(zhì)) 和差的積分等于積分的和差；性質(zhì)二（區(qū)域可加性） 若區(qū)域D由n個(gè)不重合的有界閉區(qū)域Di(i=1,2

14、,3,n)組成，則性質(zhì)四（單調(diào)性） 若在區(qū)域D上恒有f(x,y)g(x,y),則， 特別的有性質(zhì)五（估值定理） 設(shè)M，m分別為f(x,y)在有界閉區(qū)域上D上最大、最小值，A為區(qū)域D的面積，則 mAMA性質(zhì)六（積分中值定理） 設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)，使=fA2. 二重積分的計(jì)算（基本思想：將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分）一、 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（一） 先對(duì)Y，后對(duì)X的二次積分設(shè)二重積分的積分區(qū)域D可以表示為axb,的形式，其中，在a,b上連續(xù)，這時(shí)程區(qū)域D為X型區(qū)域，這時(shí)二重積分的計(jì)算公式為=（二） 先對(duì)X，后對(duì)Y的二次積分類(lèi)似上邊，若二重積

15、分的積分區(qū)域D可以表示為cyd,的形式，則稱(chēng)區(qū)域D為Y型區(qū)域，這時(shí)二重積分的計(jì)算公式為: =二、 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若積分區(qū)域D與圓域有關(guān)或者被積函數(shù)為，f(xy)等形式，用極坐標(biāo)計(jì)算更簡(jiǎn)便。極坐標(biāo)下的面積微元可以表示為： 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)有如下變換：,而兩個(gè)坐標(biāo)系的積分區(qū)域的形狀不變，因此有=常用的計(jì)算技巧：1. 適當(dāng)?shù)牟鸱直环e函數(shù)和積分區(qū)域（主要是利用分塊積分和對(duì)稱(chēng)性）2. 對(duì)稱(chēng)性質(zhì)若區(qū)域D關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)：（1） 若f(x,y)是關(guān)于Y的偶函數(shù)，則：=2（2） 若f(x,y)是關(guān)于Y的奇函數(shù)，則=0；3.二重積分的一般換元法設(shè)變量變換 ，將Oxy平面上的閉區(qū)域D一一對(duì)應(yīng)地變到Ouv平面

16、上的閉區(qū)域D，如果函數(shù)u,v在閉區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且0 則，=三、三重積分三重積分的幾何意義（涉及到四維空間，暫不討論）略去。在特殊情況下，當(dāng)被積函數(shù)恒等于1時(shí)，三重積分表示的為被積空間的體積大小。1 三重積分的計(jì)算（一） 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法一：投影法（又稱(chēng)先一后二法，先化三重積分為定積分，計(jì)算完定積分后就化為二重積分了）設(shè)三重積分的積分區(qū)域可表示為：z1(x,y)zz2(x,y), (x,y)Dxy其中Dxy為在Oxy平面上的投影區(qū)域，它是Oxy平面上的有界閉區(qū)域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上連續(xù)，則計(jì)算三重積分時(shí)，先將x,y看做常數(shù)，然后可得：=先對(duì)Z積分，

17、轉(zhuǎn)化成關(guān)于X,Y的一個(gè)二重積分（事實(shí)上還是化為關(guān)于X,Y,Z的三次積分來(lái)計(jì)算了），然后在計(jì)算二重積分即可（下面不再敘述）。若區(qū)域Dxy可以再極坐標(biāo)系下表示，那么可以將上述公式化為先對(duì)Z，再對(duì)r，后對(duì)的三次積分。方法二：截面法（又稱(chēng)先二后一法，事實(shí)上是先化三重積分為二重積分，計(jì)算完二重積分后就化為一個(gè)定積分了）設(shè)空間區(qū)域：c1zc2,(x,y)Dz,其中Dz是過(guò)點(diǎn)（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截所得的平面區(qū)域，則=，然后可根據(jù)Dz是坐標(biāo)系下的X型或Y型區(qū)域化X,Y的二重積分為二次積分，然后轉(zhuǎn)化為Z的定積分。若Dz可以用極坐標(biāo)系表示，則還可以化為關(guān)于先計(jì)算r,的二重積分（化為二次積分計(jì)算）

18、，再計(jì)算Z的定積分。（由于這里公式繁雜，故不再詳細(xì)書(shū)寫(xiě)，請(qǐng)諒解）3. 三重積分的換元法設(shè)變量變換 將Ouvw空間中的閉區(qū)域一一對(duì)應(yīng)地變換為Oxyz空間中的閉區(qū)域，若函數(shù)x,y,z在內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0，則三重積分的換元公式為=4. 柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系為：,則易得（代入上邊的換元公式中可得）：J=r0,所以=，然后計(jì)算三重積分。注：當(dāng)被積函數(shù)含有zf(x2+y2),zf(xy),的形式，或者積分區(qū)域由圓柱面（或一部分）錐面、拋物面所圍成時(shí)，用柱面坐標(biāo)系計(jì)算比較簡(jiǎn)便。5. 球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算。直角坐標(biāo)和球面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：則代入上邊的換元法的公式

19、中可得J=r2sin0 故=注：當(dāng)積分區(qū)域是與球面有關(guān)的區(qū)域時(shí)或者被積函數(shù)中含有等形式時(shí)，用球面坐標(biāo)系計(jì)算比較簡(jiǎn)便。三重積分的對(duì)稱(chēng)奇偶性：若關(guān)于Oxy平面對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)f為關(guān)于z的奇函數(shù)時(shí)，=0；當(dāng)f為關(guān)于z的偶函數(shù)時(shí)，=26. 重積分的應(yīng)用一 計(jì)算立體體積 V=二 計(jì)算空間曲面面積設(shè)：z=f(x,y)為空間可求面積的曲面，在Oxy平面的投影區(qū)域?yàn)镈xy,任取Dxy上的小區(qū)域，則經(jīng)過(guò)證明可得（證明過(guò)程略去，自己看書(shū)）：=dS,故dS=,故S=，然后計(jì)算二重積分。三、 求質(zhì)心這里只介紹公式，推導(dǎo)過(guò)程不再敘述，自個(gè)兒看書(shū)。設(shè)有一個(gè)有界閉區(qū)域D，它的密度在D上連續(xù)，下面給出這一平面區(qū)域的質(zhì)心公式：（其中

20、Mx,My分別為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)對(duì)X，Y軸的靜距）。，特別的，當(dāng)區(qū)域D的面密度為常值時(shí)，其質(zhì)心坐標(biāo)計(jì)算公式為：，同理可得空間有界區(qū)域的形心的坐標(biāo)公式：，特別的，當(dāng)空間區(qū)域所代表的例題均勻?yàn)闀r(shí)，其形心坐標(biāo)公式為：補(bǔ)充：1. 若積分區(qū)域關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，則根據(jù)輪換對(duì)稱(chēng)性可得：=2. 在計(jì)算重積分的時(shí)候，適當(dāng)?shù)慕粨Q積分順序能幫助解題。3. 利用質(zhì)心、重心公式計(jì)算（當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)域所代表的圖形是均勻的）：例如：（此公式是由質(zhì)心公式變形得到的，使用此公式的前提是已知積分區(qū)域的質(zhì)心坐標(biāo)）四、 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（公式推導(dǎo)過(guò)程略去）設(shè)一個(gè)平面區(qū)域D，面密度為，下面給出其相對(duì)于X,Y,Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算的公式：，同理也

21、可得到空間區(qū)域所代表的例題相對(duì)于X,Y,Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：其中dx,dy,dz分別為點(diǎn)(x,y,z)到x,y,z軸的距離。五、 計(jì)算引力（推導(dǎo)過(guò)程略去，自個(gè)兒看書(shū)）某薄片在平面Oxy上所占區(qū)域?yàn)镈，面密度為，下面給出它對(duì)點(diǎn)（x0,y0,z0）處單位質(zhì)點(diǎn)（單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)）的引力計(jì)算公式：（任取D上的小區(qū)域d，點(diǎn)M（x,y,z）為d上任意一點(diǎn)），四、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）引入對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的時(shí)候首先探討了怎樣求曲線(xiàn)構(gòu)件的質(zhì)量（此過(guò)程不再敘述）。1. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在Oxy平面的光滑曲線(xiàn)弧L上有界，將L分成任意的n段，si表示小狐段本身又表示它的長(zhǎng)度，點(diǎn)是

22、si上任取的一點(diǎn)，令=maxsi,則定義第一類(lèi)曲線(xiàn)積分：，同時(shí)可定義在空間中的第一類(lèi)曲線(xiàn)積分：2. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì)性質(zhì)一 ，其中l(wèi)為弧長(zhǎng)。性質(zhì)二（線(xiàn)性性質(zhì)） 對(duì)弧長(zhǎng)和差的積分等于積分的和差。性質(zhì)三（可加性） 將曲線(xiàn)弧分成n段補(bǔ)充和的小弧段，則性質(zhì)四（單調(diào)性） 若在曲線(xiàn)弧L上，f(x,y)g(x,y),則，特別3. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算思路就是將其化為定積分。（變量參數(shù)化，小值做下限）設(shè)函數(shù)f(x,y)在光滑曲線(xiàn)弧L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為x=,y=，則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分存在，且 （<）特別的，當(dāng)曲線(xiàn)弧L的方程為y=，(axb)時(shí)，可以將x看做參數(shù)，故 同理也可

23、寫(xiě)出將Y看做參數(shù)的計(jì)算公式。當(dāng)曲線(xiàn)弧L有極坐標(biāo)方程時(shí)，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系，將看做參數(shù)，則以上公式都給可以推廣到空間曲線(xiàn)?。荷?，此時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分公式為：五、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分）引例：變力沿曲線(xiàn)做功（在此不再敘述）1. 第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義（直接引入定義，不再闡述，實(shí)際上闡述過(guò)程和前邊幾種積分很相似）。向量函數(shù)P(x,y)在有向曲線(xiàn)弧L上對(duì)坐標(biāo)X的曲線(xiàn)積分，記做，向量函數(shù)Q(x,y)在有向曲線(xiàn)弧L上對(duì)坐標(biāo)Y的曲線(xiàn)積分，記做：。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,則質(zhì)點(diǎn)沿曲線(xiàn)弧從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B是變力F做功可表示為：W=+，同理可推廣到空間中的光滑曲線(xiàn)弧，故W=2. 對(duì)

24、坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的性質(zhì)性質(zhì)一（線(xiàn)性性質(zhì)） 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分具有線(xiàn)性（和差的積分等于積分的和差）性質(zhì)二（可加性） 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分具有積分曲線(xiàn)分段可加性。性質(zhì)三（有向性） 設(shè)L為有向光滑曲線(xiàn)弧，記L為L(zhǎng)的反向曲線(xiàn)弧，則，同理此結(jié)論也可推廣到空間曲線(xiàn)弧的坐標(biāo)積分。3.對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算（變量參數(shù)化，起參值做下限）與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法一樣，對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法也是將其化為定積分。設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲線(xiàn)弧L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為x=,y=，其中，具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，又有當(dāng)t由變到時(shí)，L上的電從起點(diǎn)變到終點(diǎn)，則對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分存在，且同理也可寫(xiě)出當(dāng)X或Y作參數(shù)時(shí)的

25、公式，還可寫(xiě)出曲線(xiàn)弧在極坐標(biāo)系下時(shí)的公式（這里就不再敘述了），且以上公式都可以推廣到空間曲線(xiàn)弧中。注：在計(jì)算的時(shí)候，一定要特別注意曲線(xiàn)弧的方向和積分參變量的上下限。3. 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系設(shè)L：x=,y=，為從點(diǎn)A到點(diǎn)B的有向光滑曲線(xiàn)弧，其中點(diǎn)A處t=1,點(diǎn)B處t=2,又P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù)，令，= 同理可得：=4. 格林公式及其應(yīng)用格林公式的定義：若平面有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，函數(shù)P（x,y）,Q(x,y)在D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有。（證明略）5. 平面上對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件設(shè)D是單連通區(qū)域，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)