2018新人教A版（選修1-1）2.1《橢圓》學(xué)案

1、1§ 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）從具體情境中抽象出橢圓的模型；（2）掌握橢圓的定義，能用坐標(biāo)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 難點(diǎn)：橢圓定義理解及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)【學(xué)習(xí)方法】探究、討論、歸納、類比一、【基礎(chǔ)知識(shí)鏈接】（1）圓的定義： ；（2）圓心為C ，半徑為園上任意一點(diǎn)滿足的幾何條件 ；（集合表示） 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （3）回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟？ 求平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般方法有哪幾步？（4）圓的圓心和半徑分別是什么? 二、【新知導(dǎo)學(xué)】 探究任務(wù)一、橢圓的定義教材導(dǎo)讀，預(yù)習(xí)課本P32的內(nèi)

2、容，并思考下列問題： （1） 我們知道，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長為（為常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，那么到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長為(常數(shù))的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？動(dòng)動(dòng)手，做教材中的演示.（2）橢圓的定義：把平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)的距離（）叫做 .（3）橢圓定義中動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是 ；（4）在橢圓的定義中，強(qiáng)調(diào)了；若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？ 若呢？嘗試：已知，到、兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是 反思：在判斷平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為橢圓時(shí)，一定要判斷（到兩定點(diǎn)距離之和）與（兩定之間的距離）的關(guān)系 探究任務(wù)二、橢圓的標(biāo)

3、準(zhǔn)方程教材導(dǎo)讀，預(yù)習(xí)課本P33的內(nèi)容，并思考下列問題（1）在橢圓中如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求動(dòng)點(diǎn)軌跡？依據(jù)什么建立直角坐標(biāo)系？F1F2MOxy（2）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn) 滿足幾何條件 、坐標(biāo)為 幾何條件坐標(biāo)形式為 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （焦點(diǎn)在軸上） F1F2MOxy 、坐標(biāo)為 幾何條件坐標(biāo)形式為 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （焦點(diǎn)在軸上） F1F2MOF1F2MOyy（3）在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，引入了，你能結(jié)合圖形加以解釋、的含義嗎？xx（4）觀察比較焦點(diǎn)位置不同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？嘗試：根據(jù)下列橢圓方程，寫出的值，并指出焦點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）； （2） ； （1） ； ； （2

4、） ； ； 焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)坐標(biāo) 典型例題分析-橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和等于；（2）兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn). 變式：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1），焦點(diǎn)在軸上； （2），焦點(diǎn)在軸上反思：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，定型（焦點(diǎn)位置）、定量（確定的值）三、【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)檢測】1. 已知，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ） A. B. C. D. 2. 如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（ ） A. B. C. D. 3. 橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，一直線過交橢圓于、，則的周長為 . 四、【

5、課堂歸納、小結(jié)、反思】 （1）橢圓定義：橢圓上任意點(diǎn)滿足的幾何條件： 當(dāng)時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 當(dāng)時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不存在 （2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程注意焦點(diǎn)位置不同的兩種形式，其中 （3）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 定型、定量§ 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 （1）掌握動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法；（2）進(jìn)一步熟練掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）掌握含參數(shù)的橢圓方程的表示. 【重點(diǎn)、難點(diǎn)】 重點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 難點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的求法【學(xué)習(xí)方法】探究、討論、歸納、類比一、【基礎(chǔ)知識(shí)鏈接】（1）橢圓的定義：平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（小于常數(shù)）的軌跡（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在上 ；焦點(diǎn)坐標(biāo) ；焦點(diǎn)在

6、上 ；焦點(diǎn)坐標(biāo) ； 復(fù)習(xí)檢測： （1）下列哪些是橢圓方程？如果是，請指出其焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸； ； ； .（2）在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （3）方程的曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的范圍是 .二、【新知探究】 知識(shí)點(diǎn)一 、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)在上，且經(jīng)過兩點(diǎn) （2）經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)反思：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：“先定型，再定量”，可把標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)成O 形式 不用考慮焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 知識(shí)點(diǎn)二 、橢圓定義的應(yīng)用 例2.如圖所示，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，且,求的面積（提示：滿足橢圓定義 與的余弦定理）變式：和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且 求的面積知識(shí)點(diǎn)三、探究

7、動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程【例1】在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？ （提示：（1）由哪個(gè)點(diǎn)（即相關(guān)點(diǎn)）引起動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)？與點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系如何？（2）相關(guān)點(diǎn)滿足什么條件？） （相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程）【例2】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)的軌跡方程（提示：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是什么？如何用坐標(biāo)表示幾何條件？）直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方法變式：一動(dòng)圓與圓C1外切，同時(shí)與圓C2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線（提示：（1）圓C1與圓C2的圓心C1、C2坐標(biāo)與半徑各是多少？（2）圓與圓外切和內(nèi)切條件是什么？能表示本題外切和內(nèi)切的幾何條件

8、嗎？ （3）動(dòng)圓圓心滿足什么樣的幾何條件？根據(jù)幾何條件確定動(dòng)圓圓心軌跡是什么？） 定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方法 三、【基礎(chǔ)檢測】1若的個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)、，的周長為，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）A B C D2. 設(shè)為定點(diǎn)，|=，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 3.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 4.設(shè)和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且,則的面積等于 5已知三角形的一邊長為，周長為，求頂點(diǎn)的軌跡方程四、【課堂歸納、小結(jié)、反思】 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：定義法（定型、定量）、待定系數(shù)法 （2）求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法: 相關(guān)點(diǎn)法、直接法、定義法§2.1.2 橢圓及其簡單幾何性質(zhì)（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 （

9、1）通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，理解橢圓的簡單幾何性質(zhì)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率；（2）掌握的幾何意義及相互關(guān)系【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：橢圓的簡單幾何性質(zhì) 難點(diǎn)：利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率是用來刻畫橢圓的扁平程度的給出過程?！緦W(xué)習(xí)方法】探究、討論、歸納、類比一、【知識(shí)鏈接】（1）、橢圓的定義：（2）、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在上 ；焦點(diǎn)坐標(biāo) ；焦點(diǎn)在上 ；焦點(diǎn)坐標(biāo) ；二、【新知導(dǎo)學(xué)】 探究一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)教材導(dǎo)讀：（預(yù)習(xí)教材P37 P40嘗試回答下列問題） （1）下面我們根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的幾何性質(zhì)問題1：你能看出橢圓中的范圍嗎？如何證明問題2：從橢圓的圖形中你能看出橢圓的

10、對稱性嗎？如何從方程得到橢圓的對稱性？在橢圓的方程中, 以代換,方程改變嗎?這說明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí),點(diǎn)與橢圓有什么關(guān)系?在橢圓方程中，以代換，（或以代換，以代換，）這說明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí),點(diǎn)與橢圓有什么關(guān)系?問題3：橢圓的頂點(diǎn)是指： ；橢圓的長軸是指： 橢圓的長軸長為： 橢圓的短軸是指： ；橢圓的短軸長為： 問題4：用什么量來描述橢圓的圓扁程度？橢圓的離心率： ；離心率的取值范圍及變化規(guī)律： （2）完成下列表格：方程圖形范圍 對稱性頂點(diǎn)離心率 嘗試：橢圓的幾何性質(zhì)呢？范圍： ， ：對稱性：橢圓關(guān)于 軸、 軸和 都對稱；頂點(diǎn)：（ ），（ ），（ ），（ ）；長軸長為 ；短軸長為 ；離心率： = 典型

11、例題-橢圓幾何性質(zhì)簡單應(yīng)用【例1】 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)變式：已知橢圓方程是，則其長軸長為 ，短軸長為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，離心率為 【例2】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為； （2）長軸長是短軸長的倍，且過點(diǎn)【例3】求橢圓的離心率：（1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分它的長軸，則橢圓的離心率為 （2）如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則其離心率為 ；三、【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，若長、短軸之和為18，焦距為6，那么橢圓的方程為 （ ） （A） （B） （C）或 （D）2短軸長為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為，過作直線交

12、橢圓于兩點(diǎn)，則的周長為（ ）（A） （B） （C） （D）3離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 4某橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長軸長為，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是 思考：（2009北京理）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_；的小大為_. 四、【課堂歸納、小結(jié)、反思】（1）§2.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 （1）進(jìn)一步掌握橢圓中的幾何意義，熟記橢圓的簡單幾何性質(zhì)；（2）利用軌跡探求法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用；難點(diǎn)：橢圓中相關(guān)三角形的關(guān)系【學(xué)習(xí)方法】數(shù)形結(jié)合、探究探討合作 一、【知識(shí)鏈接】（1）分別求下列橢圓方程的長、

13、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)并畫出其圖像 （2）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）經(jīng)過點(diǎn)，； （2）長軸長等到于，離心率等于二、【知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】 探究一、利用橢圓幾何性質(zhì)求橢圓方程 【例1】 已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1，求橢圓的方程 (提示：畫出橢圓圖像分析題意)【例2】以橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，且橢圓上的點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（提示：數(shù)形結(jié)合） 探究二、橢圓中焦點(diǎn)三角形相關(guān)問題【例1】橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1, F2的連線的夾角為直角，則的面積為 （橢圓定義結(jié)合勾股定理）【例

14、 2】 、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，求橢圓離心率的范圍； 求證：的面積只與短軸長有關(guān)（提示：橢圓定義和三角形余弦定理、結(jié)合均值不等值）變式. 為 上的一點(diǎn)，則為直角的點(diǎn)有 個(gè)（提示：直徑所對圓周角為直角）三、【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_2與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程為 3. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，離心率為的橢圓方程為 4. 若橢圓的離心率，則實(shí)數(shù)等于 5已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為，則=_6已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形面積為，則點(diǎn)的坐標(biāo) 四、【課堂歸納、小結(jié)、反思】§2.

15、1.2 橢圓及其簡單幾何性質(zhì)(3)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）利用橢圓幾何性質(zhì)解決直線與橢圓相關(guān)問題；（2）能解決與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的實(shí)際問題【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】用代數(shù)法解決直線與橢圓位置關(guān)系問題【學(xué)習(xí)方法】數(shù)形結(jié)合、合作探究、歸納總結(jié)一、【基礎(chǔ)知識(shí)鏈接】1、點(diǎn)與圓:的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在橢圓外 2、直線與圓： 直線與圓相交 直線與圓相切 (為圓心到直線距離) 直線與圓相離二、【新知導(dǎo)學(xué)】 探究一、點(diǎn)、直線與橢圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在橢圓上 ； ；點(diǎn)在橢圓外 ； 2直線與橢圓的位置關(guān)系判斷方法：聯(lián)立，消去得一個(gè)一元二次方程：位置關(guān)系直線與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)方程解的個(gè)數(shù)的取值相交 個(gè) 解 相切

16、 個(gè) 解 相離 個(gè) 解 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的公共點(diǎn)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組解個(gè)數(shù) 探究二、直線與橢圓相交弦長、相切相關(guān)問題1、探究直線與橢圓相交弦長（1）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，則如何 將表達(dá)式等價(jià)化成用表示？（或表示？） （2）聯(lián)立消去（或）得關(guān)于（或）的一個(gè)一元二次方程韋達(dá)定理得（或），求得相交弦長二、典型例題 新知應(yīng)用【例1】：當(dāng)為何值時(shí)，直線：與橢圓：相切、相交、相離【例2】在上述問題中，利用數(shù)形結(jié)合探究下列問題：（1）當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線與橢圓相離時(shí)，取定一個(gè)值，得到一條直線，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最??？最小距離是多少？（選?。?）當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，取定一個(gè)值，得到一條直線，與橢圓交于