13平面向量數(shù)量積最值問題的求解策略教師版

1、平面向量數(shù)量積最值問題的求解策略近幾年,平面向量數(shù)量積的最值問題頻頻出現(xiàn)在各地的高考卷上,成為高考中的一個熱點問題,現(xiàn)以幾例具體闡述此類問題的解決途徑.一、利用函數(shù)思想方法求解例1、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是_.圖 1 1分析：尋求刻畫點變化的變量，建立目標(biāo)與此變量的函數(shù)關(guān)系是解決最值問題的常用途徑。解：設(shè)，以點為原點，為軸建立直角坐標(biāo)系，則，。即。因此，當(dāng)時，取最大值2。例2、已知點Q為射線OP上的一個動點，當(dāng)取最小值時，求分析：因為點Q在射線OP上，向量與同向，故可以得到關(guān)于坐標(biāo)的一個關(guān)系式，再根據(jù)取最小值求解：

2、設(shè)，則當(dāng)時，取最小值-8，此時二、利用向量的數(shù)量積求最值例3、三邊長為，以A為圓心,r為半徑作圓,PQ為直徑，試判斷P、Q在什么位置時，有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用數(shù)量積的性質(zhì)求解。解：圖 2 1當(dāng)且僅當(dāng)與同向時，有最大值。三、利用向量模的性質(zhì)求解例4：已知求的最大值與最小值。分析：注意到，考慮用向量模的性質(zhì)求解。解：由條件知。設(shè)，則=， 。所以當(dāng)與同向時，取最大值3；當(dāng)與反向時，取最小值1。四、利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解例5、如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是（A） （B） 圖3 （C） （D）分析：平面向量數(shù)量積的幾何意義為等于的長度與在方向上的投影的乘積。顯

3、然，由圖可知，在方向上的投影最大，故選（A）。例6、是兩個夾角為1200的單位向量，且p+q=1（p、qR），則的最小值是 分析: 如圖3，設(shè)則即因此點C在直線AB上，顯然當(dāng)OCAB時，最小，其最小值為。 COAB圖4【經(jīng)典例題賞析】一、借助基本的向量運算降低問題難度例1:(05年江蘇高考試題)在中,為中線上一個動點,若,則的最小值是_.分析:(如圖)本題的突破口關(guān)鍵在于為的中線,故易知,所以:從而把不共線向量數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為共線向量數(shù)量積的問題.解:為的中線又例2:(04年湖北高考試題)在中,若長為的線段以點為中點,問與的夾角取何值時的值最大?并求出這個最大值.分析:本題的突破口關(guān)鍵在于三

4、點共線,從而聯(lián)想到把和作如下的分解:, 分解之后,真可謂是海闊天空.故:解:又當(dāng),即(與同向)時,取到最大值0.二、建立直角坐標(biāo)系降低問題門檻對于上述兩道高考試題,應(yīng)用向量的基本運算把不共線的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為共線的或者是易求的數(shù)量積問題,從而達(dá)到解決問題的目的.但是從純幾何的角度出發(fā),對學(xué)生的思維層次要求較高,對于此類問題我們還可以借助建立直角坐標(biāo)系的方法,降低問題的難度.例1:另解:以點為圓心,所在直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè),則故的最小值為例2:另解:以點為原點,邊所在直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè),與的夾角為,則當(dāng)即(與同向)時,的最大值為點評:通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化,從而轉(zhuǎn)化常見的求函數(shù)最值問題.讀者可以試著用上述的兩種方法來完成下面的練習(xí).練習(xí):如