CFD講義湍流模型

1、第三章，湍流模型第一節(jié)， 前言湍流流動模型很多，但大致可以歸納為以下三類：第一類是湍流輸運系數(shù)模型，是Boussinesq于1877年針對二維流動提出的，將速度脈動的二階關(guān)聯(lián)量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數(shù)的乘積。即： 31推廣到三維問題，若用笛卡兒張量表示，即有： 32模型的任務(wù)就是給出計算湍流粘性系數(shù)的方法。根據(jù)建立模型所需要的微分方程的數(shù)目，可以分為零方程模型（代數(shù)方程模型），單方程模型和雙方程模型。第二類是拋棄了湍流輸運系數(shù)的概念，直接建立湍流應(yīng)力和其它二階關(guān)聯(lián)量的輸運方程。第三類是大渦模擬。前兩類是以湍流的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，對所有渦旋進行統(tǒng)計平均。大渦模擬把湍流分成大尺度湍流和小尺度

2、湍流，通過求解三維經(jīng)過修正的Navier-Stokes方程，得到大渦旋的運動特性，而對小渦旋運動還采用上述的模型。實際求解中，選用什么模型要根據(jù)具體問題的特點來決定。選擇的一般原則是精度要高，應(yīng)用簡單，節(jié)省計算時間，同時也具有通用性。FLUENT提供的湍流模型包括：單方程（Spalart-Allmaras）模型、雙方程模型（標(biāo)準(zhǔn)-模型、重整化群-模型、可實現(xiàn)(Realizable)-模型）及雷諾應(yīng)力模型和大渦模擬。Zero-Equation ModelsOne-Equation Models Spalart-AllmarasTwo-Equation Models Standard k-e RN

3、G k-e Realizable k-e Reynolds-Stress ModelLarge-Eddy SimulationDirect Numerical Simulation包含更多物理機理每次迭代計算量增加FLUENT提供的模型選擇RANS-basedmodels湍流模型種類示意圖第二節(jié)，平均量輸運方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時變量分解成平均量和脈動量兩部分。對于速度，有： 33其中，和分別是平均速度和脈動速度（i=1,2,3）類似地，對于壓力等其它標(biāo)量，我們也有： 34其中，表示標(biāo)量，如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達(dá)式代入瞬時的連續(xù)與動量方程，并取平均

4、（去掉平均速度上的橫線），我們可以把連續(xù)與動量方程寫成如下的笛卡兒坐標(biāo)系下的張量形式： 35 36 上面兩個方程稱為雷諾平均的Navier-Stokes（RANS）方程。他們和瞬時Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其它求解變量變成了時間平均量。額外多出來的項是雷諾應(yīng)力，表示湍流的影響。如果要求解該方程，必須模擬該項以封閉方程。如果密度是變化的流動過程如燃燒問題，我們可以用法夫雷（Favre）平均。這樣才可以求解有密度變化的流動問題。法夫雷平均就是出了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權(quán)平均。變量的密度加權(quán)平均定義為： 37符號表示密度加權(quán)平均；對應(yīng)于密度加權(quán)平均值的脈動

5、值用表示，即有：。很顯然，這種脈動值的簡單平均值不為零，但它的密度加權(quán)平均值等于零，即：， Boussinesq近似與雷諾應(yīng)力輸運模型為了封閉方程，必須對額外項雷諾應(yīng)力進行模擬。一個通常的方法是應(yīng)用Boussinesq假設(shè)，認(rèn)為雷諾應(yīng)力與平均速度梯度成正比，即： 38Boussinesq假設(shè)被用于Spalart-Allmaras單方程模型和雙方程模型。Boussinesq近似的好處是與求解湍流粘性系數(shù)有關(guān)的計算時間比較少，例如在Spalart-Allmaras單方程模型中，只多求解一個表示湍流粘性的輸運方程；在雙方程模型中，只需多求解湍動能k和耗散率兩個方程，湍流粘性系數(shù)用湍動能k和耗散率的函

6、數(shù)。Boussinesq假設(shè)的缺點是認(rèn)為湍流粘性系數(shù)是各向同性標(biāo)量，對一些復(fù)雜流動該條件并不是嚴(yán)格成立，所以具有其應(yīng)用限制性。另外的方法是求解雷諾應(yīng)力各分量的輸運方程。這也需要額外再求解一個標(biāo)量方程，通常是耗散率方程。這就意味著對于二維湍流流動問題，需要多求解4個輸運方程，而三維湍流問題需要多求解7個方程，需要比較多的計算時間，對計算機內(nèi)存也有更高要求。在許多問題中，Boussinesq近似方法可以得到比較好的結(jié)果，并不一定需要花費很多時間來求解雷諾應(yīng)力各分量的輸運方程。但是，如果湍流場各向異性很明顯，如強旋流動以及應(yīng)力驅(qū)動的二次流等流動中，求解雷諾應(yīng)力分量輸運方程無疑可以得到更好的結(jié)果。 第

7、三節(jié)， 湍流模型3.3.1 單方程（Spalart-Allmaras）模型Spalart-Allmaras模型的求解變量是，表征出了近壁（粘性影響）區(qū)域以外的湍流運動粘性系數(shù)。的輸運方程為： 39其中，是湍流粘性產(chǎn)生項；是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；和是常數(shù)；是分子運動粘性系數(shù)。湍流粘性系數(shù)用如下公式計算：其中，是粘性阻尼函數(shù)，定義為：，并且。湍流粘性產(chǎn)生項，用如下公式模擬： 310其中，而。其中，和k是常數(shù)，d是計算點到壁面的距離；S。定義為： 311由于平均應(yīng)變率對湍流產(chǎn)生也起到很大作用，F(xiàn)LUENT處理過程中，定義S為： 312其中，平均應(yīng)變率定義為： 313在渦量超過應(yīng)

8、變率的計算區(qū)域計算出來的渦旋粘性系數(shù)變小。這適合渦流靠近渦旋中心的區(qū)域，那里只有“單純”的旋轉(zhuǎn)，湍流受到抑止。包含應(yīng)變張量的影響更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對湍流的影響。忽略了平均應(yīng)變，估計的渦旋粘性系數(shù)產(chǎn)生項偏高。湍流粘性系數(shù)減少項為： 314其中， 315 316 317其中，是常數(shù)，。在上式中，包括了平均應(yīng)變率對S的影響，因而也影響用計算出來的r。上面的模型常數(shù)在FLUENT中默認(rèn)值為：，。壁面條件在壁面，湍流運動粘性設(shè)置為零。當(dāng)計算網(wǎng)格足夠細(xì)，可以計算層流底層時，壁面切應(yīng)力用層流應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求解，即： 318如果網(wǎng)格粗錯不能用來求解層流底層，則假設(shè)與壁面近鄰的網(wǎng)格質(zhì)心落在邊界層的對數(shù)區(qū)，則根據(jù)壁面法則

9、： 319其中，k=0.419，E=9.793。對流傳熱傳質(zhì)模型在FLUENT中，用雷諾相似湍流輸運的概念來模擬熱輸運過程。給出的能量方程為： 320式中，E是總能量，是偏應(yīng)力張量，定義為： 321其中，表示粘性加熱，耦合求解。如果默認(rèn)為分開求解，F(xiàn)LUENT不求解處。但是可以通過變化“粘性模型”面板上的湍流普朗特數(shù)（Prt），其默認(rèn)值為0.85。湍流質(zhì)量輸運與熱輸運類似，默認(rèn)的Schmidt數(shù)是0.7，該值同樣也可以在“粘性模型”面板上調(diào)節(jié)。標(biāo)量的壁面處理與動量壁面處理類似，分別選用合適的壁面法則。綜上所述，Spalart-Allmaras模型是相對簡單的單方程模型，只需求解湍流粘性的輸運方

10、程，并不需要求解當(dāng)?shù)丶羟袑雍穸鹊拈L度尺度。該模型對于求解有壁面影響流動及有逆壓力梯度的邊界層問題有很好模擬效果，在透平機械湍流模擬方面也有較好結(jié)果。Spalart-Allmaras模型的初始形式屬于對低雷諾數(shù)湍流模型，這必須很好解決邊界層的粘性影響區(qū)求解問題。在FLUENT中，當(dāng)網(wǎng)格不是很細(xì)時，采用壁面函數(shù)來解決這一問題。當(dāng)網(wǎng)格比較粗糙時，網(wǎng)格不滿足精確的湍流計算要求，用壁面函數(shù)也許是最好的解決方案。另外，該模型中的輸運變量在近壁處的梯度要比中的小，這使得該模型對網(wǎng)格粗糙帶來數(shù)值誤差不太敏感。但是，Spalart-Allmaras模型不能預(yù)測均勻各向同性湍流的耗散。并且，單方程模型沒有考慮長度

11、尺度的變化，這對一些流動尺度變換比較大的流動問題不太適合。比如，平板射流問題，從有壁面影響流動突然變化到自由剪切流，流場尺度變化明顯。3.3.2 標(biāo)準(zhǔn)模型標(biāo)準(zhǔn)模型需要求解湍動能及其耗散率方程。湍動能輸運方程是通過精確的方程推導(dǎo)得到，但耗散率方程是通過物理推理，數(shù)學(xué)上模擬相似原形方程得到的。該模型假設(shè)流動為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標(biāo)準(zhǔn)模型只適合完全湍流的流動過程模擬。標(biāo)準(zhǔn)模型的湍動能k和耗散率方程為如下形式： 322 323在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍流粘性系數(shù)。在FLUENT中，作為

12、默認(rèn)值常數(shù)，1.44，=1.92，湍動能k與耗散率的湍流普朗特數(shù)分別為1.0，1.3。可以通過調(diào)節(jié)“粘性模型”面板來調(diào)節(jié)這些常數(shù)值。3.3.3 重整化群-模型重整化群-模型是對瞬時的Navier-Stokes方程用重整化群的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來的模型。模型中的常數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)-模型不同，而且方程中也出現(xiàn)了新的函數(shù)或者項。其湍動能與耗散率方程與標(biāo)準(zhǔn)-模型有相似的形式： 324 325 表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響，這些參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)-模型中相同。和分別是湍動能k和耗散率的有效湍流普朗特數(shù)的倒數(shù)。 湍流粘性系數(shù)計算公式為： 326 其

13、中，對上面方程積分，可以精確得到有效雷諾數(shù)（渦旋尺度）對湍流輸運的影響，這有助于處理低雷諾數(shù)和近壁流動問題的模擬。對于高雷諾數(shù)，上面方程可以給出：，。這個結(jié)果非常有意思，和標(biāo)準(zhǔn)-模型的半經(jīng)驗推導(dǎo)給出的常數(shù)非常近似。在FLUENT中，如果是默認(rèn)設(shè)置，用重整化群-模型時候是針對的高雷諾數(shù)流動問題。如果對低雷諾數(shù)問題進行數(shù)值模擬，必須進行相應(yīng)的設(shè)置。重整化群-模型有旋修正通常，平均運動有旋時候?qū)ν牧饔兄匾绊?。FLUENT中重整化群-模型通過修正湍流粘性系數(shù)來考慮了這類影響。湍流粘性的修正形式為： 327其中，是不考慮有旋計算出來的湍流粘性系數(shù)；是FLUENT計算出來的特征旋流數(shù)；是旋流常數(shù)，不同值

14、表示有旋流動的強度不同。流動可以是強旋或者中等旋度的。FLUENT默認(rèn)設(shè)置0.05,針對中等旋度的流動問題，對于強旋流動，可以選擇較大的值。湍動能及其耗散率的有效湍流普朗特數(shù)倒數(shù)的計算公式為： 328式中，1，在高雷諾數(shù)流動問題中，。湍流耗散率方程右邊的R為： 329其中，。為了更清楚體現(xiàn)R對耗散率的影響，我們把耗散率輸運方程重寫為： 330則： 331在的區(qū)域，R的貢獻(xiàn)為正；大于。以對數(shù)區(qū)為例，這和標(biāo)準(zhǔn)-模型中給出的1.92接近。因此，對于弱旋和中等旋度的流動問題，重整化群-模型給出的結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)-模型的結(jié)果要大。重整化群模型中，。3.3.4 可實現(xiàn)-模型可實現(xiàn)-模型的湍動能及其耗散率輸運方程

15、為： 332 333 其中，在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。和是常數(shù)；，分別是湍動能及其耗散率的湍流普朗特數(shù)。在FLUENT中，作為默認(rèn)值常數(shù)，1.44，=1.9，1.0，1.2。可實現(xiàn)-模型的湍動能的輸運方程與標(biāo)準(zhǔn)-模型和重整化群-模型有相同的形式，只是模型參數(shù)不同。但耗散率方程有較大不同。首先耗散率產(chǎn)生項（方程右邊第二項）不包含湍動能產(chǎn)生項，現(xiàn)在的形式更能體現(xiàn)能量在譜空間的傳輸。另外的特色在于耗散率減少項中，不具有奇異性。并不象標(biāo)準(zhǔn)-模型模型那樣把K放在分母上。該模型適合的流動類型比較廣泛，包括有旋均

16、勻剪切流，自由流（射流和混合層），腔道流動和邊界層流動。對以上流動過程模擬結(jié)果都比標(biāo)準(zhǔn)-模型的結(jié)果好，特別是可實現(xiàn)-模型對圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴張角。湍流粘性系數(shù)公式為，這和標(biāo)準(zhǔn)-模型相同。不同的是，在可實現(xiàn)-模型中，不再是個常數(shù)，而是通過如下公式計算： 334其中，是 is the mean rate-of rotation tensor viewed in a rotating reference frame with the angular velocity 。模型常數(shù)，而：，式中W，我們可以發(fā)現(xiàn)，是平均應(yīng)變率與旋度的函數(shù)。在平衡邊界層慣性底層，可以得到0.09,與

17、標(biāo)準(zhǔn)-模型中采用底常數(shù)一樣。雙方程模型中，無論是標(biāo)準(zhǔn)-模型、重整化群-模型還是可實現(xiàn)-模型，三個模型有類似的形式，即都有和的輸運方程，它們的區(qū)別在于：1，計算湍流粘性的方法不同；2，控制湍流擴散的湍流Prandtl數(shù)不同；3，方程中的產(chǎn)生項和Gk關(guān)系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍動能產(chǎn)生項 335 336 式中，Prt是能量的湍流普特朗數(shù)，對于可實現(xiàn)-模型，默認(rèn)設(shè)置值為0.85。對于重整化群-模型，。熱膨脹系數(shù)，對于理想氣體，浮力引起的湍動能產(chǎn)生項變?yōu)椋?337在FLUENT程序中，如果有重力作

18、用，并且流場里有密度或者溫度的梯度，浮力對湍動能的影響都是存在的。浮力對耗散率的影響不是很清楚，因此，默認(rèn)設(shè)置中，耗散率方程中的浮力影響不被考慮。如果要考慮浮力對耗散率的影響，用“粘性模型”面板來控制。浮力對耗散率影響是用來體現(xiàn)。但并不是常數(shù)，而是如下的函數(shù)形式： 338 v是平行于重力方向的速度分量；u是垂直于重力方向的速度分量。如果流動速度與重力方向相同的剪切流動，1，對于流動方向與重力方向垂直的剪切流，0。對于高馬赫數(shù)的流動問題，可壓速性對湍流影響在中體現(xiàn)。其中，是馬赫數(shù)，定義為：（是聲速）。默認(rèn)設(shè)置中，只要選擇可壓速理想氣體，可壓速效應(yīng)都是考慮的。在上述的雙方程模型中，對流傳熱傳質(zhì)模型

19、都是通過雷諾相似湍流動量輸運方程得到的。能量方程形式為： 339 式中，E是總的能量，是有效導(dǎo)熱系數(shù)；是偏應(yīng)力張量，定義為： 340表示的是粘性加熱，耦合求解時總是計算。如果不是耦合求解時候，作為默認(rèn)設(shè)置，并不求解該量。如果有需要，需在“粘性模型”面板中設(shè)置。對于重整化群-模型，有效導(dǎo)熱系數(shù)為： 341用（328）計算，式中，。事實上，隨著的變化而變化，這是重整化群-模型的一個優(yōu)點，因為實驗中證明，湍流普朗特數(shù)隨分子普朗特數(shù)及湍流而變化。湍流質(zhì)量輸運處理過程與能量輸運過程類似。對于標(biāo)準(zhǔn)-模型和可實現(xiàn)的-模型，默認(rèn)的Schmidt數(shù)是0.7，重整化群模型中，是通過方程328來計算的，其中，Sc是分子Schimidt數(shù)。3.3.5 雷諾應(yīng)力模型（RSM）雷諾應(yīng)力模型是求解雷諾應(yīng)力張量的各個分量的輸運方程。具體形式為： 對流項湍流擴撒項 分子擴散應(yīng)力產(chǎn)生項 浮力產(chǎn)生項目壓力應(yīng)變項 耗散項 342系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項上面方程中，不需要模擬，而，需要模擬以封閉方程。下面簡單對幾個需要模擬項的模擬?？梢杂肈elay and Harlow L38的梯度擴散模型來模擬，即： 343但這個模型會導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，因此FLUEN