一類數(shù)列求和的新方法

1、一類數(shù)列求和的新方法 對(duì)于形如(其中為常數(shù))的數(shù)列求和問(wèn)題，學(xué)生一般采用錯(cuò)位相消法但是學(xué)生在應(yīng)用這種方法在求和時(shí)常常容易在計(jì)算時(shí)犯錯(cuò)誤在這里，我們主要是探討這類數(shù)列求和問(wèn)題的新思路，以期簡(jiǎn)化學(xué)生的計(jì)算量和提高學(xué)生的思維能力問(wèn)題： 設(shè)，求的前項(xiàng)和解：這是典型的一道錯(cuò)位相消的題目，我們從另外的角度來(lái)討論怎么求和設(shè)，令，比較系數(shù)可得方程，解方程可得，即，則注1：這個(gè)方法我們定義為待定系數(shù)法，就是構(gòu)造新數(shù)列使得所求的數(shù)列可以裂開(kāi)為的兩項(xiàng)之差即，從而得到注2：形如的數(shù)列求和問(wèn)題用“待定系數(shù)法”時(shí)構(gòu)造的數(shù)列跟的形式是一樣同理對(duì)于形如的數(shù)列求和問(wèn)題，我們同樣構(gòu)造數(shù)列推廣 ：設(shè)，求的前項(xiàng)和解：設(shè)，,由可得，比

2、較等式兩邊系數(shù)可得 ，解得，即，因此我們可以得到，故這樣這一類問(wèn)題我們都可以解決了，而且只是解個(gè)方程而已，避開(kāi)了復(fù)雜的計(jì)算例1：（2014·安徽高考）數(shù)列滿足，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）證明：，即； 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列 （2）由（1）知，則；下面我們用新方法來(lái)求這個(gè)數(shù)列的和，設(shè)，令，比較系數(shù)可得方程 ，解之得故，則 ，即，而 ，例2：（2015·湖北高考）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的 公比為已知， （1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由題意有，解得或 故或 （2）由，知，故， 設(shè)，由可得方程組 ，解得，故，則 ，即，而 ，例題3：已知數(shù)列，（1）求與的遞推關(guān)系式； （2）求的前項(xiàng)和解：（1）， 即 （2），疊加得， ， 右邊的求和正好是我們熟悉的錯(cuò)位相消求和，這樣的話用錯(cuò)位相消可以得到 下面我們用“待定系數(shù)法”來(lái)求， 令， ，比較系數(shù)可得方程解方程得，