橢圓定義及性質(zhì)整合

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓定義及性質(zhì)的應用一、橢圓的定義橢圓第一定義第一定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.過點作的的外角平分線的垂線，垂足為，則的軌跡方程為.推導過程：延長交于，連接，由已知有為的中垂線，則，為中點，=，所以的軌跡方程為 .（橢圓的方程與離心率學案第5題） 橢圓第二定義第二定義：動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等于常數(shù)，則動點的軌跡叫做橢圓.（為點到右準線的距離），右準線對應右焦點，其中稱作焦半徑，左、右準線公式.橢圓的焦半徑公式為：.推導過程：；同理得.簡記為：左加右減在前.由此

2、可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標有關的數(shù).（離心率、焦點弦問題）例1：（2010全國卷理數(shù)12題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點若，則（ ）A.1 B. C. D.2B【解析】解法一：， ， ， ，設， ，直線AB方程為.代入消去， ， ，則，解得，則，.解法二：設直線為橢圓的右準線，為離心率，過別作垂直于，為垂足，過作垂直于與，設，由第二定義得，由，得,，則，則，則，.故選B.（離心率、焦點弦問題）例2：傾斜角為的直線過橢圓的左焦點，交橢圓于兩點，且有，求橢圓的離心率.【解析】解法一：為左焦點上的焦半徑，所以過兩點分別作垂直于準線的直線且和準線交于兩點

3、，從點作.因為，設，則，又因為，則,，所以，在中，所以，解得.解法二：如圖，設，則，在中，由余弦定理得，化簡得，化簡得，×3化簡得，代入解得.橢圓第三定義 第三定義：在橢圓中，兩點關于原點對稱，是橢圓上異于兩點的任意一點，若存在，則.（反之亦成立）.（焦點在Y軸上時，橢圓滿足）推導過程：設，則所以，；由得，所以，所以為定值例1:已知橢圓的長軸長為4，若點是橢圓上任意一點，過原點的直線與橢圓相交與兩點，記直線的斜率分別為.若，則橢圓的方程為 .【解析】解法一：，則，因為，則，則.且，則橢圓方程為.解法二：由第三定義知，且，則則橢圓方程為.例2:已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上，且直

4、線的斜率的取值范圍是，那么直線的斜率的取值范圍是 .【解析】設，的斜率分別為，則，又，所以.二、橢圓的性質(zhì)焦點三角形橢圓焦點三角形的邊角關系：， ，周長為.設.（1）當點處于短軸的頂點處時，頂角最大；（2），當且僅當時取等號；（3）；（4），當且僅當時取等號.推導過程：（1），當時，有最小值，即最大；（2），則有，（當點為短軸頂點時取得最大值，此時），代入化簡得.（3）由（2）得.（離心率問題）例1.已知分別是橢圓的左右焦點，橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】解法一：在橢圓中，焦點三角形頂角最大時點位于短軸的交點處，由題意得，所以,即,解得.解法二：設，由題意得橢圓上

5、存在一點，使得，即，化簡，得，與聯(lián)立，消去得，由橢圓范圍知，即，化簡得，解得.變式1：已知分別是橢圓的左右焦點，橢圓上存在一點，使得為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】在橢圓中，焦點三角形頂角最大時點位于短軸的交點處，為鈍角，所以，所以,即,解得.變式2：已知分別是橢圓的左右焦點，橢圓上存在一點，使得（變式3：），則橢圓的離心率的取值范圍是_.【解析】在橢圓中，焦點三角形頂角最大時點位于短軸的交點處，由題意得，所以，則.變式3：.（離心率問題）例2.已知是橢圓的左右焦點，若在直線上存在點，使得線段的中垂線過點，則橢圓的離心率的取值范圍是_. 【解析】，即解得：. （焦點三角形面積問題

6、）例3.已知橢圓為焦點，點為橢圓上一點，求.【解析】解法一：設則有，在中由余弦定理得，則，則，則.解法二：.（焦點三角形面積問題）例4.過橢圓中心的直線與橢圓交于兩點，右焦點為，則 的最大面積為_.【解析】由題意得關于原點對稱，則有，故當位于短軸的頂點處時，面積最大，為.（焦點三角形邊角問題）例5.已知橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上，（1）在橢圓上滿足的點的個數(shù)是？（2）的最大值是？（3）為鈍角時，點的橫坐標的取值范圍是？【解析】（1）畫圖知，所求點的個數(shù)即為圓與橢圓的交點個數(shù)，由于，故有4個點.（2）解法一：設則有，當且僅當時取等號.解法二：由性質(zhì)得，（當點為短軸頂點時取得最大值，此時），

7、代入化簡得.（3）如圖所示，與橢圓有4個交點，假設在第一象限的交點為，此時，設則有，解得（或），由等面積法得，則，則由勾股定理得，解得，則由對稱性可知，點的橫坐標的取值范圍是.(焦點三角形中與距離最值有關的問題):注意在三角函數(shù)與解析幾何中最值問題的一個很重要的用法： （1）三角形兩邊之和大于第三邊，當三點在一條線上時取得最小值； （2）兩邊之差小于第三邊.焦點三角形中的最值問題一般是距離之和的最值，且存在定點，故可以用三角形中的不等式來求； 若點為橢圓內(nèi)一定點，點在橢圓上，則有：.（三角形三邊關系）若點為橢圓內(nèi)一定點，點在橢圓上，則有：.推導過程：連接，由三角形三邊關系得，則有（橢圓定義的應

8、用，三角形三邊關系）.焦點弦經(jīng)過橢圓焦點的弦是焦點弦.（1）焦點弦長可用弦長公式求；*（2）設焦點弦所在的直線的傾斜角為，則有.*（3）（為某一焦點）.（4）的周長為.（離心率、焦點弦問題）（同第二定義例1）例1：（2010全國卷理數(shù)12題）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點若，則（ ）A.1 B. C. D.2B【解析】解答題解法：， ， ， ，設， ，直線方程為.代入消去， ， ，則，解得，則，.中點弦是橢圓的任意一弦，是中點，則.證明：令 ，則，由于，則 .例1：過點作一條直線交橢圓于點，若點恰好是弦的中點，求直線的方程.【解析】解答題步驟：解法一（點差法）：由題意得

9、直線有斜率，設其斜率為，代入橢圓方程，有，兩式作差得，即，則.則直線的方程為，即.解法二（代入法）：由題意得直線有斜率，設其直線方程為，得，代入得，則，解得，則直線的方程為.這兩種方法都體現(xiàn)了設而不求的思想，這是圓錐曲線解題的常用思想.切線及切點弦切線方程：（1）設為圓上一點，則過該點的切線方程為：；（2）設為橢圓上一點，則過該點的切線方程為：.切點弦方程：（1）設是圓外的一點，過點作曲線的兩條切線,切點,則切點弦所在直線方程為； （2）設是橢圓外的一點，過點作曲線的兩條切線,切點,則切點弦所在直線方程為. 例1：以上的點為切點的切線方程為_.【解析】解法一：由題意得切線有斜率，設切線方程為，

10、則，則有，解得，則切線方程為.解法二：點為切點，由公式得，切線方程為，即.例2：以上的點為切點的切線方程為_.【解析】解法一：由題意得切線有斜率，設切線方程為，代入，化簡得，則有，解得，則切線方程為.解法二：點為切點，由公式得，切線方程為，即.過橢圓準線上任一點作橢圓和切線，切點弦AB過該準線對應的焦點.推導過程：設，則的方程為，即 必過點.過橢圓焦點弦的兩端點作橢圓的切線，切線交點在準線上.光學性質(zhì)橢圓的光學性質(zhì)：過一焦點的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點.橢圓上一個點的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點處的法線平分.（入射光線、反射光線、鏡面、法線）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點的切線，為垂直于且過點的橢圓的法線，交軸于，設，求證：.證明：在上，則過點的切