浙教版《一元一次不等式》知識要點典型例題習(xí)題講解(朱國林)

1、浙教版一元一次不等式知識要點及典型例題、習(xí)題講解一、知識點要求1、理解不等式的概念和基本性質(zhì)、一元一次不等式的概念、不等式的解集（不等式的解）2、會解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示不等式的解集；熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟和根據(jù)；掌握一元一次不等式的應(yīng)用題的解法3、理解一元一次不等式組的概念，及不等式組的解的概念（組成不等式組的各個不等式的解的公共部分）；會解一元一次不等式組，并能在數(shù)軸上表示不等式組的解，進一步得出不等式組解的規(guī)律：同大取大，同小取小，比大得小，比小得大取中間，比大得大，比小得小，不等式組無實數(shù)解；掌握 一元一次不等式組的應(yīng)用題。二、重要的數(shù)學(xué)思想：1、通過將實際生活

2、問題轉(zhuǎn)化成不等式等數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2、通過在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集與運用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集，進一步領(lǐng)會 數(shù)形結(jié)合的思想。3、類比思想：把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數(shù)學(xué)思想通常稱為“類比”，它體現(xiàn)了“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解題方法的重要手段之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運用。在本章中，類比思想的突出運用有：1、不等式與等式的性質(zhì)類比。2、不等式的解與方程的解的類比3、不等式解法與方程的解法類比。注意：解一元一次不等式與解一元一次方

3、程的步驟雖然完全相同，但是要注意如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù) 時，解不等式時要改變不等號的方向。典型例題、解不等式的通法與技巧解一元一次不等式的五個基本步驟和根據(jù)如下:步驟根據(jù)12去括號單項式乘多項式法則34合并同類項，得 ax>b,或ax<b （aw0）合并同類項法則5同學(xué)們在熟練掌握一元一次不等式解法的五個步驟后，可結(jié)合一元一次不等式的特點，采取一些靈活、簡捷的方法與技巧，能使解題事半功倍。(一)、湊整法例1.解不等式-0_25x -7,5 > 1 + 32分析：根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)。解：兩邊同乘以-4,得x+30<-2-x.x<-1

4、6.(二)、化分母為整數(shù)t 、丘-4x-L5 5x - 0.8 . 1.5-x例2 .解不等式>0.502分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，將兩邊分母化成整數(shù)。解：原不等式變形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x.-7x>14. 即 x<-2.例3.、裂項法2x -1 4x +1 . 4x +1 .解不等式1。分析:本題若采用去分母法，步驟較多，由除法意義，裂項相合并，過程簡潔。解：原不等式變形，得移項、(四)例4.合并，得x<-o4、整體處理法- 2 2 - 3x v 3k - 5 1解不等式-I 。23解：視“3x-2 ”為一個整體，變形，得2三，22577移項

5、合并，將 (3x -2),124八1X 2 - o3二、單純解不等式組1、c1、 r6 -5(x) -7x5c 10x -54 -2x3x 2、x - 3(x - 2) - 41 2x 彳x -134、x - 2( x -3) - 43、x(x 1) -2 -x1、)6 -'5(x -) -7x5c 10x -54 -2x3x 5、若a <b <c,則關(guān)于x的不等式組x <b的解集是()x ：: cA、 a<x<bB、 a<x<c C、 b<x<c D、無解6、若a2>a,則a的取值范圍是 ;解：(1)a 2>a,a a

6、>0,即 a(a 1)>0,俗，、似.I或解得a>1或a<0。厘-1 >0,j(- <0.三、帶有附加條件的不等式(組)的解例1、求不等式J(3x+4)- 3<7的最大整數(shù)解。2分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時應(yīng)先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。1解： (3x+4)- 3<72移項：3xW 14-4+6合并同類項：3x<16一一 1系數(shù)化為1:x<5 31. x <5 一的最大整數(shù)解為 3例2、x取哪些非負(fù)整數(shù)時，代數(shù)式解：依題意得：3；4去分母:3x+4- 6<14 x=5x -135 + 2)3

7、的值不小于代數(shù)式 的值?488去分母:24-2(x- 1) >3(x+2)去括號：24- 2x+2>3x+6合并同類項：-5x>-20系數(shù)化為1:x<4符合條件的非負(fù)整數(shù)為 x=0, 1,2, 3, 4.x-13(1 + 2)答：當(dāng)x取0, 1,2, 3, 4 時，代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式 的值。48(很多人會一不小心就把0弄丟了)注意：要明確 關(guān)于“、小于“、不大于"、不小于"、不超過“、至多“、至少”、羋負(fù) 數(shù)”、正數(shù)“、負(fù)數(shù)"、負(fù)整數(shù)”這些描述不等關(guān)系的語言所對應(yīng)的不等號各是什么。 求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的

8、解，即這個不等式的解集，然后再 從中篩選出符合要求的解。四、不等式(組)中待定字母的取值范圍例1、當(dāng)k取何值時，方程 X- x-2k=3(x-k)+1的解為負(fù)數(shù)。2分析：應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到 x的表達式，再解帶有附加條件的不等式。解：解關(guān)于x的方程：x-2k=3(x-k)+12去分母:x-4k=6(x-k)+2去括號：x-4k=6x-6k+2合并同類項：-5x=2-2k乃以八,2-2k- 2系數(shù)化為 1:x=-552k-2要使x為負(fù)數(shù)，即 x=<0,5分母 >0, 2k -2<0, 1. k<1 ,1移項：x-6x=-6k+2+4k當(dāng)k<1時，方程

9、一 x-2k=3(x-k)+1 的解是負(fù)數(shù)。2例2、若|3x-6|+(2x-y-m)2=0,求m為何值時y為正數(shù)。分析：目前我們學(xué)習(xí)過的兩個非負(fù)數(shù)問題，一個是絕對值為非負(fù)數(shù)，另一個是完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)。由非負(fù)數(shù)的概念可知，兩個非負(fù)數(shù)的和等于0,則這兩個非負(fù)數(shù)只能為零。由這個性質(zhì)此題可轉(zhuǎn)化為方程組來解。由此求出 y的表達式再解關(guān)于 m的不等式。解：|3x -6|+(2x-y-m)2=0,f| - 6 |= 0 J3x -6 = 0要使y為正數(shù)，即4-m>0,m<4.當(dāng)m<4時，y為正數(shù)。3x +2y p +1例3、若關(guān)于x的方程組, y p的解滿足x> y ,則p的取值范

10、圍是 、4x + 3y = p 7 x +7 <3x-7例4、如果不等式組3的解集是x>7,則n的取值范圍是()x > nA、n> 7B 、nW7 C 、n=7 D 、nv7例5、如果關(guān)于x的不等式(2a b)x + a5b>0的解集為x<10 ,求關(guān)于x的不等式ax>b的解集710分析：由不等式(2a b)x+a5b>0的解集為x<,觀察到不等號的方向已作了改變，75b _a 10 故可知（2a b）<0 ,且5ba,解此方程可求出 a, b的關(guān)系。2a -b 710 一，解：由不等式（2a b）x + a-5b>0的解集為x

11、< 一 ,可知：75b -a 10 /曰32a b<0,且=,付 b= a o2a -b 75結(jié)合 2a- b<0, b=3a,可知 b<0, a<0。 則 ax>b 的解集為 x< ° 55 x _a >0 例6、已知關(guān)于x的不等式組 / a-0 的整數(shù)解共有5個，則a的取值范圍是 3-2x> -1 x>a 解析：由原不等式組可得 ，因為它有解，所以解集是 a<x<2,此解集中的5個整數(shù)解依次為卜<21、0、_1、_2、-3,故它的解集在數(shù)軸上表示出來如圖1所示，于是可知a的取值范圍為4<aE3。-

12、4-3-2-1012圖1一，, 八一, fx -a > 0,，一（同類模仿）已知關(guān)于x的不等式組x'只有四個整數(shù)解，則實數(shù) a的取值范圍是 5-2x 1（-3 < a < -2）（同類模仿）已知不等式4x-a< 0,只有四個正整數(shù)解1, 2, 3, 4,那么正數(shù)a的取值范圍是什么？0g g jg *>根據(jù)題意畫出直觀圖示如下：因為不等式只有四個正整數(shù)解1, 2, 3, 4,設(shè)若亙在4的左側(cè)，則不等式的正整數(shù)解只能是1, 2, 3,4不包含4;若史在5的右側(cè)或與5重合，則不等式的正整數(shù)解應(yīng)當(dāng)是 1, 2, 3, 4, 5,與題設(shè)不符。所以反44a可在4和5之

13、間移動，能與 4重合，但不能與 5重合。因此有4W 一<5,故16<a<20o五、不等式與不等式組的應(yīng)用題用一元一次不等式組解決實際問題的步驟：審題，找出不等關(guān)系；設(shè)未知數(shù)；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合題意的值；作答。例1、某校為落實市教育局提出的“全員育人，創(chuàng)辦特色學(xué)?！钡臅h精神，決定舉辦“讀書節(jié)”活動，在這次讀書活動中，小明受到老師的鼓舞，每天所看的書比原計劃多5頁，因而他在2天內(nèi)讀書超過28頁，后來他真正體會到讀書的樂趣，積極性大增，每天比原計劃多 讀了 10頁，但照此速度4天他所讀的頁數(shù)還沒有達到84頁。問小明原計劃每天讀多少頁書？ 分析：1.審題、設(shè)未知

14、數(shù)： 2 .找不等關(guān)系：3 .列不等式組：4 .解不等式組：5 .根據(jù)實際情況，寫出答案.6 . 一定要答例2、市新華書店聽說了該校的讀書節(jié)活動，決定給一年級的小朋友免費贈送若干套十 萬個為什么。如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班級每個班分13套，那么最后一 個班級雖然分有十萬個為什么，但不足4套.問：一年級有多少個班級？十萬個為什么 共有多少套？分析：不等關(guān)系為： 關(guān)于用不等式（組）解決的應(yīng)用題常見類型（一）分配問題：通常把量少的那個設(shè)為未知數(shù)，那么量大的那個可以用該未知數(shù)表示1、一群女生住若干間宿舍，每間住 4人，剩下19人無房??；每間住6人，有一間宿舍住不 滿。如果有x間宿舍，那

15、么可以列出關(guān)于x的不等式組：（一元一次不等式組）可能有多少間宿舍、多少名學(xué)生？.一6x > 4x +19.解：依題意得，或1&4x+19-6（x-1）<6哪一種更谷易理解？6（x -1） <4x+192、將不足40只雞放入若干個籠中，若每個籠里放 4只，則有一只雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，且最后一籠不足 3只。問有籠多少個？有雞多少只？（二）、速度、時間問題1、爆破施工時，導(dǎo)火索燃燒的速度是 0.8cm/s,人跑開白速度是5m/s,為了使點火的戰(zhàn)士在施工時能跑到不小于100m的安全地區(qū)，導(dǎo)火索至少需要多長？（一元一次不等式）解：很多人會“設(shè)導(dǎo)火索至

16、少需要 x米長”，注意這種設(shè)法是錯誤的。應(yīng)“設(shè)導(dǎo)火索需要x米長”。然后列出不等式，求出解，根據(jù)解，再決定取值是至少還是至多，還是大于等，以下 類推。2、王凱家到學(xué)校2.1千米，現(xiàn)在需要在18分鐘內(nèi)走完這段路。已知王凱步行速度為90米/分， 跑步速度為210米/分，問王凱至少需要跑幾分鐘？（一元一次不等式）3、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半小時已經(jīng)走了50公里后，后半小時速度多大才能保證 及時送到？（一元一次不等式）（三）、工程問題1、用每分鐘抽1.1噸水的A型抽水機來抽池水，半小時可以抽完；如果改用B型抽水機，估 計20分鐘到22分可以抽完。B型抽水機比A

17、型抽水機每分鐘約多抽多少噸水？2、某工人計劃在15 天里加工408 個零件，最初三天中每天加工24 個，問以后每天至少要加工多少個零件，才能在規(guī)定的時間內(nèi)超額完成任務(wù)？3、一本英語書98 頁，張力讀了7 天 （一周）還沒讀完,而李永不到一周就讀完了.李永平均每天比張力多讀2頁，張力每天讀多少頁?（4） 、價格問題1、商場購進某種商品m 件，每件在進價的基礎(chǔ)上，加價30 元售出全部商品的65%，然后再降價10%，這樣每件仍可獲利18 元，又售出全部商品的25%。（1）試求該商品的進價和第一次的售價；（2）為了確保這批商品總的利潤率不低于25%，剩余商品的售價應(yīng)不低于多少元？解：該商品的進價x（x

18、+30）（1-10%）=x+18,x=90 第一次的售價是90+30=120 元剩余商品的售價為y 元120*65%m+120*（1-10%）*25%m+y*（1-65%-25%）m> 90m*（1+25%）y R 75乘U余商品的售價應(yīng)不低于75元2、某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150 人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000 元。現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2 倍 ,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？（5） 、其他問題1 .有一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2，已知這個兩位數(shù)大于20 且小于40，求這個兩位數(shù)2、某公司需刻

19、錄一批光盤（總數(shù)不超過100 張） ，若請專業(yè)公司刻錄，每張需10 元（包括空白光盤費）；若公司自刻，除設(shè)備租用費200 元以外，每張還需成本5 元（空白光盤費）。問刻錄這批光盤，是請專業(yè)公司刻錄費用省，還是自刻費用??？解：1.假設(shè)：請專業(yè)公司刻錄費用省10xv200+5x xv 402 .假設(shè)：公司自己刻錄費用省200+5xv10xx>40.當(dāng)刻錄張數(shù)小于 40張時，請專業(yè)公司刻費用省當(dāng)刻錄張數(shù)大于40 張時，公司自刻費用省當(dāng)刻錄張數(shù)等于40 張時，兩者費用一樣多3、考試共有25 道選擇題，做對一題得4 分，做錯一題減2 分，不做得0 分，若小明想確保考試成績在60分以上，那么，他至少

20、做對多少道題？解：設(shè)答對 x題，4x-2（25-x） >60 x>18.3x 應(yīng)該取整數(shù)，所以應(yīng)該是19 題4、某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3 公里以內(nèi)（含3 公里）收費10 元，超過3 公里的部分每公里收費 2 元。超過起步里程10 公里以上的部分加收50%，即每公里3 元。 （不足一公里以一公里計算）（ 1）小明第一次乘坐出租車行駛4.1 公里 應(yīng)付車費多少元？（相當(dāng)于 5 公里的費用） 14元（ 2）若小明乘坐出租車行駛14.9公里，問應(yīng)付費多少元？（相當(dāng)于15公里的費用）39元(3)小明家距離學(xué)校13.1千米，周末小明身邊帶了 31元錢，則小明從學(xué)校坐出租車到家的錢夠嗎？如果夠

21、，還剩多少錢？若不夠他至少要先走多少公里路？( 不夠，還要走1.1千米)(4)若小明某次乘出租車花去39元，那么他所乘的路程有多遠(yuǎn)？解：(3)若路程恰好為10公里，所需費用為10+ (10-3) X 7=24元1設(shè)31兀錢最多行x千米，依題意得，24+3 (x-10) W31, x<12-,由于不足一公里以一公里計算，因此331元最多行12千米。故錢不夠，至少還要走1.1千米。(4) 39-3<24+3 (x-10) < 39,解得，14<x<15(六)、方案選擇與設(shè)計1 .某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下

22、表：維京 cnT''''''-_甲種原料乙種原料維生素C/ (單位/千克)600100原料價格/ (元/千克)84現(xiàn)配制這種飲料10千克，要求至少含有 4200單位的維生素 C,并要求購買甲、乙兩種原料的費用不超 過72元，(1)設(shè)需用x千克甲種原料，寫出 x應(yīng)滿足的不等式組。(2)按上述的條件購買甲種原料應(yīng)在什么范圍之內(nèi)？(3)試寫出最省錢的配制方案.600x 100 10-x _ 4200解:(2)(3)甲需(1)需用x千克甲種原料，則需乙種原料(10-x)千克，依題意得，«8x 4 10-x _ 72解得 6.4<x<

23、.8因為甲種原料每千克 8元，乙種原料每千克 4元，所以甲種原料盡量少時，最省錢.由(2)可得,6.4千克，則乙需3.6千克.2、某校辦廠生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種銷售方案，方案一：在這學(xué)期開學(xué)時售出該批產(chǎn)品，可獲利30000元，然后將該批產(chǎn)品的投入資金(生產(chǎn)該批產(chǎn)品支出的總費用)和已獲利30000元進行再投資，到這學(xué)期結(jié)束時再投資又可獲利4.8%;方案二：在這學(xué)期結(jié)結(jié)束時售出該批產(chǎn)品可獲利35940元，但要付投入資金白0.2 %作保管費，問：(1)當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金是多少元時，方案一和方案二的獲利是一樣的？(2)按所需投入資金的多少討論方案一和方案二哪個獲利多。解：(1)當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金是

24、 x元，依題意得：3000+8% (x+30000) =35940-0.2% 解得 x=90000 答：(2)設(shè)當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金為 x元1 .若方案一比方案二獲利多時，則3000+8% (x+30000) > 35940-0.2% 解得 x>900002 .若方案一與方案二獲利一樣多時，則3000+8% (x+30000) =35940-0.2% 解得 x=900003 .若方案二比方案一獲利多時，則3000+8% (x+30000) < 35940-0.2% 解得 x< 90000當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金不足90000元時，選擇方案二比方案一獲利多；當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金超過

25、90000元時，選擇方案一比方案二獲利多；當(dāng)該批產(chǎn)品投入資金剛好90000元時，選擇方案一、方案二均可。3、某園林的門票每張 10元，一次使用，考慮到人們的不同需要，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買年票”的方法。年票分為A、B、C三種：A年票每張120元，持票進入不用再買門票； B類每張60元，持票進入園林需要再買門票，每張 2元，C類年票每張40元， 持票進入園林時，購買每張 3元的門票。、如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式。、求一年中進入該園林至少多少次時，購

26、買A類年票才比較合算。解：（1）根據(jù)題意，需分類討論.因為80 V 120 ,所以不可能選擇 A類年票；若只選擇購買B類年票，則能夠進入該園林 80-60 =10（次）2若只選擇購買C類年票，則能夠進入該園林 804013 （次）3若不購買年票，則能夠進入該園林80=8 （次）10所以，計劃在一年中用 80元花在該園林的門票上，可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式是選擇購買C類年票.（2）設(shè)一年中進入該園林至少超過x次時，購買A類年票比較合算，根據(jù)題意，得40 + 3x>120! _ 110x>120解得原不等式組的解集為 x>30 .答：一年中進入該園林至少超過30次時，購買

27、A類年票比較合算.4、在各方努力下，“讀書節(jié)”活動轟轟烈烈地開展著，為了讓學(xué)生們進一步養(yǎng)成讀書的好習(xí)慣，該校決心打造“書香校園”，計劃用不超過 1900本科技類書籍和不超過 1620本人文類書籍組建中、小型兩類圖書 角共30個.已知組建一個中型圖書角需科技類書籍 80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技 類書籍30本，人文類書籍 60本.（1）符合題意的組建方案有幾種？請你幫學(xué)校設(shè)計出來；（2）若組建一個中型圖書角的費用是860元，組建一個小型圖書角的費用是500元，試說明（1）中哪種方案費用最低，最低費用是多少元？分析：一個中型圖書x個中型圖書角需一個小型圖書角需（30-x）個小型圖書角需共需書籍科技類（本）人文類（本）解：（1）設(shè)組建中型圖書角 x個，則組建小型圖書角為（30-x）個.80x 30 30 -x < 1900由題意，得«50x 60 30 -x 三 1620解這個不等式組，得18<x<20由于x只能取整數(shù)，. x的取值是18, 19, 20.當(dāng) x=18 時，30-x=12 ;當(dāng) x=19 時，30-x=11 ;當(dāng) x=20 時，30-x=10 .故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書角18個，小型圖書