基于matlab的FIR數(shù)字濾波器設計

1、基于matlab的FIR數(shù)字濾波器設計摘 要本文針對窗函數(shù)法、頻率采樣法和最優(yōu)化設計法三種設計方法，采用MATLAB 進行FIR濾波器的設計與仿真，并比較了三種方法的特點。結果表明，在同樣的設計指標下，利用等波紋切比雪夫逼近法則的設計可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優(yōu)點。 1. 引言數(shù)字濾波器設計，簡單地說，就是要找到一組能滿足特定濾波要求的系數(shù)向量a和b。而濾波器設計完成后還需要進一步考慮如何將其實現(xiàn)，即選擇什么樣的濾波器結構來完成濾波運算。FIR數(shù)字濾波器的設計方法很多，其中較為常用的是窗函數(shù)設計法、頻率采樣設計法和最優(yōu)化設計法。本文討論利用窗函數(shù)法、頻率采

2、樣法和等波紋切比雪夫逼近法（調用remez函數(shù)）來分別實現(xiàn)各種FIR濾波器的設計。2. FIR濾波器設計方法FIR濾波器設計的可以是選擇有限長度的，使傳輸函數(shù)滿足一定的幅度特性和線性相位要求。由于FIR 濾波器很容易實現(xiàn)嚴格的線性相位，所以FIR 數(shù)字濾波器設計的核心思想是求出有限的脈沖響應來逼近給定的頻率響應。設計過程一般包括以下三個基本問題： （1） 根據(jù)實際要求確定數(shù)字濾波器性能指標；（2）用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個理想性能指標；（3）用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個傳輸函數(shù)。 2.1 窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器的最簡單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱之為傅立葉級數(shù)法。FIR數(shù)字濾波器

3、的設計首先給出要求的理想濾波器的頻率響應,設計一個FIR數(shù)字濾波器頻率響應，去逼近理想的濾波響應。然而，窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器是在時域進行的，因而必須由理想的頻率響應推導出對應的單位取樣響應，再設計一個FIR數(shù)字濾波器的單位取樣響應去逼近。設計過程如下： 加窗的作用是通過把理想濾波器的無限長脈沖響應乘以窗函數(shù)來產(chǎn)生一個被截斷的脈沖響應，即并且對頻率響應進行平滑。MATLAB工具箱提供的窗函數(shù)有：矩形窗(Rectangularwindow)、三角窗(Triangular window)、布拉克曼窗(Blackman window)、漢寧窗(Hanningwindow)、海明窗(Hammin

4、g window)、凱塞窗(Kaiser window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)。窗函數(shù)主要用來減少序列因截斷而產(chǎn)生的Gibbs效應。但當這個窗函數(shù)為矩形時，得到的FIR濾波器幅頻響應會有明顯的Gibbs效應，并且任意增加窗函數(shù)的長度（即FIR濾波器的抽頭數(shù)）Gibbs效應也不能得到改善。為了克服這種現(xiàn)象,窗函數(shù)應該使設計的濾波器：（1） 頻率特性的主瓣寬度應盡量窄,且盡可能將能量集中在主瓣內；（2） 窗函數(shù)頻率特性的旁瓣趨于 的過程中，其能量迅速減小為零。2.2頻率采樣法頻率采樣法是從頻域出發(fā),根據(jù)頻域采樣定理，對給定的理想濾波器的頻率響應加以等間隔的抽樣 ，得到：

5、k=0,1,N-1 再利用可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應。 而在各采樣點間的頻率響應則是其的加權內插函數(shù)延伸疊加的結果。但對于一個無限長的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀, 理想頻響特性變換越平緩, 則內插函數(shù)值越接近理想值,誤差越小。為了提高逼近的質量，可以通過在頻率相應的過渡帶內插入比較連續(xù)的采樣點，擴展過渡帶使其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達到減少逼近誤差的目的。 選取w0,2內N個采樣點的約束條件為： 增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。2）過渡帶的優(yōu)化設計利用線性最優(yōu)化的方法確定

6、過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設定一個過渡帶值）。3）增大N。如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值，但是截止頻率難以控制。典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度。2.3最優(yōu)化設計最優(yōu)化設計方法是指采用最優(yōu)化準則來設計的方法。在 FIR DF的最優(yōu)化設計中 ,最優(yōu)化準則有均方誤差最小化準則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差最小化)準則兩種。實際設計中 ,

7、只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗 才能滿足前一種最優(yōu)化準則 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效應的存在，使其根本不能滿足設計的要求。為了滿足設計的要求 ,可以采用其它的窗函數(shù)來消除吉布斯效應 ,但此時的設計已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準則了。因此 ,要完成 FIR DF的最優(yōu)化設計 ,只能采用后一種優(yōu)化準則來實現(xiàn)。3.仿真函數(shù) 利用數(shù)字信號處理工具箱中的 remezord 和 remez函數(shù)可以實現(xiàn) FIRDF的最優(yōu)化設計。在此先介紹這兩個函數(shù):(1)n ,fo ,ao ,weights =remezordf ,a ,dev功能:利用 remezord 函數(shù)可以通過估算得到濾波器的近似階數(shù) n ,歸一化頻率

8、帶邊界fo ,頻帶內幅值ao 及各個頻帶內的加權系數(shù)weights。輸入?yún)?shù)f為頻帶邊緣頻率 ,a 為各個頻帶所期望的幅度值 ,dev是各個頻帶允許的最大波動。(2)h =remez(n ,fo ,ao ,weights, ftype)功能:利用 remez 函數(shù)可以得到最優(yōu)化設計的FIR DF的系數(shù) ,輸入?yún)?shù) n 是濾波器的階數(shù) ,fo ,ao ,weights參數(shù)含義說明同 (1)。ftype 是所設計的濾波器類型 ,它除了可以設計普通的濾波器外 ,它還可以設計數(shù)字希爾鈔特變換器以及數(shù)字微分器。實際設計中 ,由于 remezord 函數(shù)可跑高估或低估濾波器的階數(shù) n ,因此在得到濾波器的

9、系數(shù)后 ,必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設計要求。如果此時的技術指標不能滿足設計要求 ,則必須提高濾波器的階數(shù)到 n +1 ,n +2等。故等波紋切比雪夫逼近法設計FIR數(shù)字濾波器的步驟是： 給出所需的頻率響應，加權函數(shù)和濾波器的單位取樣響應的長度N。 由中給定的參數(shù)來形成所需的、和的表達式。 根據(jù)Remez算法,求解逼近問題。 利用傅立葉逆變換計算出單位取樣響應 。4 .結果分析（1）窗函數(shù)法仿真結果圖1 窗函數(shù)設計的FIR低通濾波器頻率響應從仿真結果可以看出，采用特殊的窗函數(shù)如Hamming窗，可以減小Gibbs效應，但同時也會使濾波器的過度帶變寬。波動幅度取決于窗函數(shù)幅度頻譜旁瓣的相對幅

10、度, 而波紋的多少取決于窗函數(shù)旁瓣的多少。以上兩點是就是窗函數(shù)直接截斷Hd(n)引起的截斷效應在頻域的反映, 截斷效應直接影響濾波器的性能, 因為通帶內的波動會影響濾波器痛帶中的平穩(wěn)性, 阻帶內的波動則影響阻帶最小衰減,因此,減少截斷效應也是FIR數(shù)字濾波器設計的關鍵之一。（2）頻率采樣法仿真結果圖 2 FIR的單位取樣響應圖3 FIR的低通衰減幅頻特性圖2為在間斷點處增加一個過渡點后的情況。從圖3,中可以看出濾波器的帶外衰減指標有了明顯的改善!但這同時增加了濾波器的過渡帶寬。所以，在帶外衰減和過渡帶寬這兩個指標之間需要有一個折衷。因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截

11、止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。頻率采樣法偏離設計指標明顯，阻帶衰減最小，只有適當選取過渡帶樣點值，才會取得較好的衰耗特性。（3）最優(yōu)化設計圖 4 濾波器輸出的幅頻及相頻響應特性在設計中 ,如果該濾波器的特性不滿足要求 ,那么 ,原有參數(shù)必須作適當調整。這在程序中很容易實現(xiàn) ,只需對參數(shù)進行重新設定 ,就可以得到新條件下濾波器的特性。采用最優(yōu)化設計方法時大大減小了濾波器的階數(shù),從而減小了濾波器的體積,并最終降低了濾波器的成本。這樣使得設計出來的濾波器更為簡單經(jīng)濟。因而在實際的濾波器設計中,這種最優(yōu)化方法是完全可行的。在實際應用中

12、,如果需要對某一信號源進行特定的濾波 ,并要檢驗濾波效果 ,應用傳統(tǒng)方法實施起來比較繁瑣。在Matlab環(huán)境下,可先用軟件模擬產(chǎn)生信號源 ,再設計濾波器對其進行濾波 。同樣是設計一個FIR低通數(shù)字濾波器，綜合分析可以看出： （1）窗函數(shù)法在階數(shù)較低時，阻帶特性不滿足設計要求，只有當濾波器階數(shù)較高時，使用海明窗和凱塞窗基本可以達到阻帶衰耗要求； （2）頻率采樣法偏離設計指標最明顯，阻帶衰減最小，而且設計比采用窗函數(shù)法復雜。只有適當選取過渡帶樣點值，才會取得較好的衰耗特性； （3）利用等波紋切比雪夫逼近法則的設計可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優(yōu)點。 5.結論綜上所述，F(xiàn)IR 濾波器很容易實現(xiàn)具有嚴格線性相位的系統(tǒng), 使信號經(jīng)過處理后不產(chǎn)生相位失真,舍入誤差小,而且穩(wěn)定，因此越來越受到廣泛的重視。MATLAB軟件的誕生, 使數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析與設計得簡單,它已經(jīng)成為電子工程師必備的一個工具軟件。參考文獻1 張亞妮. 基于 MATLAB 的數(shù)字濾波器設計J. 遼寧工程技術大學學報, 2005, 24 (5): 716-718. 2 饒志強