外接球半徑常見(jiàn)的求法

1、多面體外接球半徑常見(jiàn)求法知識(shí)回顧：定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系： 球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫 被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫 球的表面積表面積S ；球的體積V 球與棱柱的組合體問(wèn)題1 正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個(gè)面都相切，切點(diǎn)為每個(gè)面的中心，顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球半徑為。如圖3，截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；2 與正方體各棱相

2、切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。3 正方體的外接球：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對(duì)角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。圖3圖4圖5一、公式法例1 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為 .小結(jié) 本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、多面體幾何性質(zhì)法例2 已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A. B. C. D.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”

3、這一性質(zhì)來(lái)求解的.三、補(bǔ)形法例3 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 .小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.變式1：三棱錐中，兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為（ ）A B C D四、尋求軸截面圓半徑法例4 正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，都在同一球面上，則此球的體積為 .而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).變式1：求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積變式1：

4、底面邊長(zhǎng)為的正三棱柱外接球的體積為，則該三棱柱的體積為 五、確定球心位置法1：三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（ ）A B C D六構(gòu)造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問(wèn)題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過(guò)球心的截面圖，再來(lái)探求半徑之間的關(guān)系。圖6練習(xí)1、球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積2

5、、.在球面上有四個(gè)點(diǎn)、.如果、兩兩互相垂直，且,那么這個(gè)球的表面積是_.3：一棱長(zhǎng)為的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時(shí)的球的體積。（答案為）4、若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 5 、一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為 .6、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）.A. B. C. D. 7、 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 . 8、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 9、已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，則球的體積等于 .10、已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半