學習微積分在數(shù)學文化中的價值

1、第一章 緒論1.1 課題背景和意義如今，數(shù)學已成為大學生的必修課之一，而微積分則是數(shù)學學習中的重要的基礎(chǔ)課程，貫穿整個數(shù)學學習的始終。隨著我國教育思想的根本轉(zhuǎn)變，如何貫徹落實素質(zhì)教育，提高學生運用數(shù)學思想在實際運用中的作用則越來越受到社會各界的關(guān)注，對于如何通過對微積分的學習來提高我們對數(shù)學文化的認識也成為教育部門積極探討的話題?？梢?，研究微積分在數(shù)學文化中的價值有著重要的現(xiàn)實意義。所謂微積分，故名思義，它包括微分學和積分學。但在數(shù)學發(fā)展的長河中，它們是相互獨立地發(fā)展起來的，先有積分再有微分，最后才有微積分。同時我們也應(yīng)該看到，微積分的創(chuàng)立遠非幾個人的工作，它經(jīng)歷了一個漫長而曲折的過程。早期的

2、數(shù)學家們勇于開拓并征服了眾多的科學領(lǐng)域，把微積分應(yīng)用到天文學、力學、光學、熱學等各個領(lǐng)域，為微積分的發(fā)展提供了廣闊的空間，并在此過程中形成了數(shù)學的一些重要分支，如微分方程、無窮級數(shù)、微分幾何、變分法、復(fù)變函數(shù)等等，大大擴展了數(shù)學研究的范圍。所以，微積分的建立與發(fā)展對數(shù)學歷史發(fā)展有著重要的意義。數(shù)學的發(fā)展有其悠久的歷史，尤其是微積分的發(fā)展，不但是一部文明史，而且也是一部文化發(fā)展的史書。無論是公元600年以前的早期數(shù)學，還是公元前600年到300年之間的古希臘數(shù)學，數(shù)學都作為一門有組織的、獨立的和科學的學課而存在。但此時的數(shù)學，往往是為數(shù)不多的數(shù)學家們研究的對象，普及率很低，人們普遍使用的數(shù)學僅僅

3、停留在簡單的加減乘除階段。經(jīng)過數(shù)百年的發(fā)展與演變，如今的數(shù)學已然已經(jīng)成為一門大眾化的課程，我們從小學開始就學習數(shù)學，從簡單的加減乘除開始到復(fù)雜的高等數(shù)學，可以說數(shù)學貫穿了我們整個學習生涯，對他的研究已經(jīng)不在是少數(shù)幾個數(shù)學家的專利，而 是我們普及義務(wù)教育的基礎(chǔ)的和重要的課程。微積分作為整個數(shù)學發(fā)展過程中的重要主線，對數(shù)學的發(fā)展起著舉足輕重的作用。17世紀后半葉，英國的牛頓和德國的萊布尼茨以其卓越的天才首先明確地認識到求積問題和作切線問題之間的互逆關(guān)系，建立了微積分基本定理，并且系統(tǒng)地總結(jié)出了一套強有力的算法，也正是因為這幾點，使他們倆成為微積分的創(chuàng)立人。微積分建立以后，分析學飛快地向前發(fā)展，18

4、世紀達到了空前燦爛的程度，其內(nèi)容的豐富，使人來不及檢查和鞏固這一領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，因而遭受到了種種非難。到了19世紀初年，許多迫切的問題已基本上得到解決，數(shù)學家便開始了基礎(chǔ)的重建與嚴格化。微積分這部無窮交響樂的演奏過程，引人注目的變化則是20世紀初，數(shù)學家們將函數(shù)的積分概念作了推廣，提出了包羅廣泛的積分理論，既實變函數(shù)論，而現(xiàn)在國內(nèi)已有不少學者對此作出了比較深入的研究。而今，我們在總結(jié)前人已有的研究的基礎(chǔ)上，更加應(yīng)該注重把它的思想方法運用到實際中來，解決實際問題，從而使微積分的價值得以體現(xiàn)。例如：我們在解決一動態(tài)問題時，對于學過微積分并掌握得很好的同學來說，他們可以運用微積分的原理建立一個模型，

5、用動態(tài)的方法輕松得解決。而對那些沒有學過微積分或者學的很少的人來說，他們對于這個問題則只能用靜態(tài)的方法來處理，顯然兩者運算結(jié)果的差距會很大，用簡單的靜態(tài)的方法比運用微積分的原理的方法結(jié)果誤差會更大些，更不精確些。因此，學好微積分對我們解決實際問題至關(guān)重要，尤其是要很好的掌握它的思想方法，具有重要的現(xiàn)實意義。1.2 國內(nèi)外文獻綜述 我國于2001年頒布了義務(wù)教育階段國家數(shù)學課程標準，在其基本理念中明確提出：“數(shù)學是人類生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行運算、推理和證明，數(shù)學模型可以有效的描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，數(shù)學為其他學科提供了語言、思維和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)

6、，數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用?！?現(xiàn)在國內(nèi)外已有不少學者在這方面做出了較深入的研究，比如：李渺在文獻中著重闡述了微積分在數(shù)學文化方面的各種價值。第一，微積分具有思維價值。如果把微積分的研究單純地看作一種技術(shù)，是談不上對學生的思維養(yǎng)成的。正如當代著名數(shù)學家苛朗曾指出的：“微積分，或數(shù)學分析，是人類思維的偉大成果之一?！?，所以我們應(yīng)著重分析微積分對人的思維方式的培養(yǎng)。例如在一種新產(chǎn)品的銷售模型上，廠家和商家總是采取各種措施，他們希望對產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便于組織安排。此時，如果我們運用微積分的思維方式安排一個數(shù)學模型來描繪產(chǎn)品推銷速度，

7、并由此分析出有用結(jié)果，以指導生產(chǎn)和銷售。這種運用微積分的思維價值的批判的、理性的、開放的思維方式的養(yǎng)成有利于學生的認識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，開闊思路，從而能使學生形成良好的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識。第二，微積分具有美學價值。數(shù)學美一直是指引數(shù)學家前進和奮斗不息的一盞明燈，而微積分的美，尤其具有數(shù)學美的特性。因為微積分中概念、定理、算法是一曲曲令人神往的歌曲，是一首首令人回味無窮的詩歌，在此基礎(chǔ)上構(gòu)成的微積分，體現(xiàn)了數(shù)學美，同時也反映了數(shù)學本質(zhì)，它們都以科學、勻稱、明快的語言表達出來，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔美、和諧美、奇異美。其中微積分的簡潔美首先表現(xiàn)在符號美。我們知道，符號可使人們擺脫一些約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，

8、增加了人們的思維能力，極大地促進了數(shù)學的發(fā)展。如前所述，牛頓和萊布尼茲各自獨立地發(fā)展了微積分，由于兩個人研究的出發(fā)點不同，兩人使用的符號也不一致。盡管如此，這些符號卻被沿用至今。可以看到，微積分符號的產(chǎn)生與數(shù)學發(fā)展的背景有著密切的聯(lián)系，同一概念開始運用不同的符號，人們在使用過程中不斷對其進行鑒別，以確定優(yōu)劣性，其中蘊涵著一個審美過程。其次表現(xiàn)在統(tǒng)一美。如多元微積分中的三個公式：格林公式、高斯公式、斯托克司公式都是牛頓萊布尼茲公式的推廣，同時又可用高維空間的斯托克公式的推廣，給人一種清新的感覺。而統(tǒng)一美的另外表現(xiàn)形式是把微積分應(yīng)用于中學數(shù)學的統(tǒng)一，同時提高了中學數(shù)學的品位。對以上微積分的分析，使

9、人們認識到，看待事物不能用簡單的“二分法”，看待紛繁復(fù)雜的世界要抓住事物的本質(zhì)，從多方面、多角度去考察，讓人們以動態(tài)的、辨證的、全面的、系統(tǒng)的觀點看待問題。年仁德在文獻中15中研究了微積分在數(shù)學文化中的價值。第一，微積分的學習可以培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神。微積分是一門創(chuàng)新的科學，可以說創(chuàng)新是沒有止境的，而且每一步的創(chuàng)新都是前人的豐富和完善。正如H.漢克指出：“在大多數(shù)科學里，一代人推倒另一代人所修筑的東西，一個人所建立的另一個人要加以摧毀。只有數(shù)學，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓。”數(shù)學文化幾千年的發(fā)展實踐，已經(jīng)充分證明了這一點。第二，微積分的學習可以感受到數(shù)學文化的藝術(shù)魅力。把文學語言與數(shù)學語言相

10、結(jié)合，可以發(fā)現(xiàn)美學價值另具神韻。張敬書在文獻中著重指出微積分在數(shù)學文化中的重要價值。他認為，首先，我們學習數(shù)學尤其是學習微積分，應(yīng)該把它看成是我們思維的工具。(a)數(shù)學具有嚴謹?shù)倪壿嬓?、高度抽象性、豐富的直覺和想象性，這就決定了數(shù)學是一種思維工具。(b)數(shù)學是人們分析問題和解決問題的思想工具，其研究方法是抽象的。人們總是通過科學抽象，建立模型，在數(shù)學模型上展開數(shù)學推導和計算，形成對問題的認識，把握現(xiàn)實力量。(c)數(shù)學賦予知識以邏輯的嚴密性和結(jié)論的可靠性，是使認識從感性認識上升到理性認識的階段，并使理性認識進一步深化的重要手段。(d)數(shù)學是辨證的輔助工具和表現(xiàn)方式，即用數(shù)學符號語言、公式等表示各

11、種辨證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化，是一個運用數(shù)學進行思維的過程。其次，數(shù)學是一種思想方法。數(shù)學是研究量的科學，在提煉量的規(guī)律性的基礎(chǔ)上形成各種量的推導和演算的方法，為解決問題提供數(shù)量分析和計算工具，提供推理工具和建立模型，具有一般方法論的性質(zhì)和特征。1.3 本文的研究內(nèi)容第一部分：認識學習微積分思想在解決實際問題中的必要性、重要性，在緒論中已有較詳細的闡述。第二部分：如何體現(xiàn)微積分在實際運用中的重要價值，進一步運用例子加以說明。第二章 學習微積分在實際應(yīng)用中的價值2.1 學習微積分在經(jīng)濟領(lǐng)域的價值眾所周知，當今數(shù)學的應(yīng)用幾乎遍及所有的科技領(lǐng)域，它不僅為自然科學、工程技術(shù)以及社會科學提供了有力的工具，而且隨著

12、現(xiàn)代科學技術(shù)和社會的發(fā)展，不斷產(chǎn)生新的高科技，成為現(xiàn)代經(jīng)濟技術(shù)的關(guān)鍵部分。微積分作為數(shù)學的一個重要的分支，在經(jīng)濟學、管理科學中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著計算機技術(shù)及其它高科技的普及和發(fā)展，它在經(jīng)濟及管理中的重要作用性日漸突出，并且越來越多的滲透到經(jīng)濟領(lǐng)域。2.1.1 微積分中的極限理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用學過微積分的人肯定都知道在我們剛開始學習微積分的時候就會首先學習極限的定義，即給定數(shù)列Xn.如果當n無限增大時，Xn無限趨近于某個確定的常數(shù)a，我們就說數(shù)列Xn當n（讀作n趨向無窮大）時以a為極限，記為Xn =a 或 Xna.這樣一個基本的定義在我們的經(jīng)濟領(lǐng)域卻有著廣泛的應(yīng)用。例如，貨幣理論中的連續(xù)復(fù)利

13、問題：設(shè)一筆貸款A(yù)0(本金)年利率為r，則k年后的本利和為Ak=Ao(l+r)k氣若一年分n期計息，年利率仍為r,每期利率為，一年后的本利和為A1=A0(1+)n而k年后的本利和為Ak=A0(1+)nk，讓n，則k年后的本利和為Ak=A0(1+ )nk=A0enk，即有連續(xù)復(fù)利公式:Ak=A0enk。2.1.2 微積分中的導數(shù)理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用例如：經(jīng)濟學的邊際成本C二定義為:增加一個單位產(chǎn)品引起總成本CT的變化。邊際收益定義為:附加銷售一個商品引起總收益RT的變化。總成本和總收益都是產(chǎn)量Q的函數(shù)。所以，邊際成本和邊際收益在數(shù)學上可以表達為各自總函數(shù)的導數(shù)。也就是:若:Cr=Cr(Q),Rr=

14、Rr(Q),則Cm=,Rm=。邊際概念的實質(zhì)就是經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)。例2. 設(shè)某企業(yè)總成本函數(shù)Cr=0.001Q3-0.3Q2+20Q+500(元)，求:邊際成本函數(shù)和產(chǎn)量Q=30件時的邊際成本，并解釋后者的經(jīng)濟意義。解：邊際成本函數(shù)：Cm=0.003Q2-0.6Q+20Q=30單位時的邊際成本：Cm|Q=30=(0.003Q2-0.6Q+20)|Q=30=4.7(元/件)經(jīng)濟意義:表示生產(chǎn)第30件產(chǎn)品時所花費的成本為4.7元。2.1.3 微積分中的極值理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用 例5. 設(shè)某廠成本C關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為:C(Q)=5Q+200(元)，收人函數(shù)為:R(Q)=325Q-Q2(元)。間每批生產(chǎn)多

15、少件產(chǎn)品才能使利潤L(Q)最大?要解決此類經(jīng)濟中的極值問題，則必須用到微積分中的極值理論。解：L(Q)=R(Q)-C(Q)=320Q-Q2=-200L'(Q)=320-2Q令L'(Q)=0，得Q=160(件) L"( Q )=-2<0 , L(160 )=25400(元)為極大值，也就是最大值。即每批生產(chǎn)160件產(chǎn)品時，利潤最大。2.1.4 微積分中的積分理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用在應(yīng)用這個理論之前我們先來明確幾個概念即： 消費者剩余與生產(chǎn)者剩余:消費者以高于均衡價格購買的部分，叫消費者剩余;生產(chǎn)者以低于均衡價格所供應(yīng)的部分，叫生產(chǎn)者剩余。 例1：設(shè)需求函數(shù)P=45-O

16、.5Q , PQ=32.5 ,QQ=25，求消費者剩余CS 解: CS=-32.5·25 =156.25 例11.設(shè)供給函數(shù)P=(Q+3)2·P0=81,Q0=6，求生產(chǎn)者剩余PS 解:Ps=81·6-=252 例12. 已知凈投資率為I(t)=180t，原始成本(即t=0時的成本)為200，求資本K作為時間的函數(shù)K(t).解： K(t)=·180t+C=100t+CK(0)=200,C=200所以K(t)=100t+2002.1.5 微積分中的微分方程理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用 例16某市工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值y隨時間t的變化率為:-0.002y+0.00203 ,假定

17、y(0)=0，求該市工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值y與時間t的函數(shù)關(guān)系。解:由題意，有=-0.002y+0.00203對應(yīng)的齊次方程為:=-0.002y,分離變量得dy=-0.002dt，積分得lny=-0.002t+C1 y=ce-0.002t用常數(shù)變易法，令y=c(t)e-0.002t有=c'(t)e-0.002t-c(t)·0.002e-0.002t代人得。c'(t)=0.00203·e0.002t積分得c(t)= 0.002t方程的通解為y=+ce-0.002t=1.015+ce-0.002t y(0)=0,c=-1.015-0.002t 2.2 學習微積分在日常生活

18、中的價值一般人們一提起數(shù)學，都會用抽象、精確等等詞來形容，仿佛它是一座不可逾越的高山。然而，隨著社會的進步，科技的發(fā)展，數(shù)學方法比任何一種科學方法的應(yīng)用范圍都更為廣泛，或者說，任何一門學科的發(fā)展都必須引進和應(yīng)用數(shù)學方法?？梢哉f，目前只存在尚未運用數(shù)學方法的領(lǐng)域，而不存在不能運用數(shù)學方法的領(lǐng)域。許多相同形式的數(shù)學模型可用于不同的實際問題，并且具有重要的類比和借鑒意義。在人們的日常生活中，經(jīng)常接觸到的是具體的極限、連續(xù)與間斷問題。例如在購買商品時，當某種商品的價格不變時，購買的商品數(shù)量X，就決定了應(yīng)該支付的貨幣Y，即Y=f(x)。如果某種商品的單價為P，則無論要購買多少商品，對應(yīng)于某商品數(shù)量x的每

19、個變動x，就會有相應(yīng)的支出額y的變動y。這些在我們平時都習以為常的買賣過程中，其實就蘊涵了很多的數(shù)學知識在里面。再如，公路運輸中，當運距在10公里以內(nèi)時，運價要高一些，10公里至100公里則要低一些，100公里以上的長途運輸運價就更低一些。假設(shè)10公里以內(nèi)的運價為5元/噸公里，10公里至100公里為3元/噸公里，100公里以上為2.5元/噸公里、并設(shè)運輸工具的載重量都是1噸。則此時，作為一個公司的老板，就必須考慮如何分配貨物的運輸，才能使得總收益減去總成本后的總利潤最大。這些問題的解決，無不體現(xiàn)微積分在實際應(yīng)用中的價值。在經(jīng)濟日益發(fā)展的今天，微積分的地位也與口俱增，貸款、養(yǎng)老金、醫(yī)保等金融問題

20、越來越多地進入普通人的生活。隨著住房的私有化，個人住房抵押貸款成了人們生活中的重要一項，所以，各種各樣的貸款方式鋪天蓋地，如何選擇一種既經(jīng)濟實惠又符合自己經(jīng)濟能力的貸款方式，成為想貸款買房的人首先應(yīng)該考慮的事情。例如：設(shè)貸款額為S0，月還款為m，貸款后第k個月時欠款余額為BK，則由第k個月到第K+1個月中，除月還款m外還有什么因素參與?無疑是月息，設(shè)月利率為r,則BK+1=(1+r)BK-m k=0,1,2 (1)即BK=(1+r)BK-1-m k=0,1,2 (2)由(1)式減去(2)式，得遞推公式：BK+1- BK=(1+r)( BK-BK-1) k=0,1,2 (3)令A(yù)K-1= BK-

21、 BK-1 k=0,1,2 (4)則(3)式變?yōu)?AK=(1+r) AK-1 k=0,1,2 (5)于是有AK=(1+r)k-1 A1 k=0,1,2 (6)由(4)式和(6)式可知：Bk-B0=A0+A1+A2+AK-1= A01+(1+r)+(1+r)k=( B1-B0)=(rB0-m) = B0(1+r)k+1- B0-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 從而得到Bk=B0(1+r)k+1-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 （7）設(shè)第n個月已還清貸款，則Bn=0,代入(7)式得m=rB0(1+r)k+1/(1+r)k+1-1 (8)因此，若某人掌握微積分的知識，如他貸款B0，月利率

22、為r,共貸款n個月，則每月需還貸款公式馬上可用(8)式來代。上式同樣也適用于購車貸款等的按月還款，使用非常方便快捷，給我們的生活帶來了很大的幫助。 2.3 學習微積分對培養(yǎng)人的能力上的價值在微積分的學習中，我們主要是運用“具體抽象具體”、“聯(lián)想變換聯(lián)想”、“觀察思考歸納”、“概念升華應(yīng)用”等方法，經(jīng)過這樣長時間的訓練，可以提高學生的自學能力、運算能力、推理能力和綜合應(yīng)用所學知識分析和解決問題的能力，并能運用所學知識為后續(xù)課程和工作中進行必要數(shù)學模型的建立做好工作。2.3.1 自學能力的培養(yǎng)我們知道，微積分中最基本的概念就是極限的概念，要求一個極限或者證明一個極限問題時，有時候方法會很巧妙。例如

23、：(1+)n= e是重要極限之一。在我們要證明它成立時，可以令v=則(1+)n=e 再把v換成V(x),就抽象成公式：=e ,有了這一抽象公式，我們就知道許多“1”型極限問題皆可用此公式加以解決。這種問題的長時間的訓練，能使我們在解決問題時養(yǎng)成舉一反三的思維能力，有利于自學能力的提高。 推理能力的培養(yǎng)1.在求極限的過程中，我們往往會聯(lián)想到初等函數(shù)的連續(xù)性，通過簡單的變量替換，再聯(lián)想到已知的簡單的極限式不難計算出較復(fù)雜的極限式的值。例如： 當f(u)為連續(xù)時， 則 2.在級數(shù)求和的論證和推導中，我們從簡單的等比級數(shù)的和函數(shù)出發(fā)，通過變換可得出另一種冪級數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)聯(lián)，再聯(lián)想到級數(shù)在其收斂區(qū)間

24、范圍內(nèi)可逐項求積和求導的特征，不難推證某些級數(shù)和式。 例如：證明級數(shù) 1-(-1)n +收斂于解：先回顧等比級數(shù)1+q+q2+qn+當|q|<1時是收斂的，其和函數(shù)為 ，即= ，把式中的q換成(-x2)則式子變?yōu)?(-1)kx2k+兩邊積分+(-1)k 即arctgx=x-(-1)k 令x=1代入則得 1-(-1)n +=arctg1= 各種運算能力、運算過程的培養(yǎng)當我們利用微積分中的分部積分公式uv'dx = uv一vu' dx求原函數(shù)時，很多人往往選錯u,v而解不下去。這時候我們可以先讓學生觀察一些實例，提出思考問題，并從中得到啟發(fā)，得出規(guī)律。當解x21n(x十1)d

25、x或arctgxdx時,顯然只能x2做v'這時v=，如果選反三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)做v'，就很難想出v是什么函數(shù)，故對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)只能選做u，而當解 或時，則應(yīng)選冪函數(shù)為u,而以三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)為v'。這樣我們就可以歸納出如下的順序:對數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。如果是上述兩種函數(shù)乘積的積分，則按上面排序的左側(cè)選為u而右側(cè)選做v'。當然不是所有的函數(shù)都可用初等函數(shù)表示其原函數(shù)的。例如與都不能用初等函數(shù)給予表達。此時再反過來解決原來的問題肯定會容易得多。通過這種方法的訓練，能培養(yǎng)學生在解決問題前會自然而然尋找問題的規(guī)律，以求用簡便的方法得到

26、解決。 綜合能力的培養(yǎng) 1.導數(shù)概念，我們將之升華有關(guān)聯(lián)的兩變量(它們之間可建立起連續(xù)性的函數(shù)關(guān)系)之增量比。于是經(jīng)濟領(lǐng)域中的邊際問題，化學中變化率，物理中的速率，生物學中的增殖率都和導數(shù)掛上鉤，從而還可通過建立各領(lǐng)域中的微分方程模型，去處理相應(yīng)問題。 2.定積分中分割求和取極限思想升華為一般積分微元思想，并插入各領(lǐng)域中去建立相應(yīng)的積分微元思想。 3.把利用導數(shù)求極值的思想方法加以擴充則可以解決經(jīng)濟分析中的最大利潤，最少庫存費用等問題，網(wǎng)絡(luò)中的最佳路線選擇，配料中的最低耗費，電子原器件的最優(yōu)配置等。 4.綜合利用所學微積分知識及其它數(shù)學知識進行理論，再配合電腦中多媒體與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)配合，會使學生有

27、更強更全面的知識和能力去迎接各方面和挑戰(zhàn)。 2.4 學習微積分對培養(yǎng)人的思維上的價值當代著名數(shù)學家柯朗曾指出：“微積分，或數(shù)學分析，是人類思維的偉大成果之一?！边@讓我們知道，微積分的學習不僅包括其知識價值，更重要的是它對人的思維方式的養(yǎng)成具有重要的作用。 例如：1+，其項數(shù)取得越多，精確度就越高。再如，當變化很小時，用dy代替,即是以直代曲的思想。對它們的深入分析，使人們認識到，看待事物不能用簡單的“二分法”，看待紛繁復(fù)雜的世界要抓住事物的本質(zhì)，從多方面、多角度去考察，讓人們以動態(tài)的、辨證的、全面的、系統(tǒng)的觀點看問題。又如：極限，如果按照一般的做法，很困難，但采取化簡為繁的方法，把它寫成的形式

28、，此題立即得出結(jié)果。體味這些數(shù)學思維方式，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造能力。在聯(lián)系到我們的實際生活，有個新產(chǎn)品銷售模型：一種新產(chǎn)品面市，廠家和商家總是采取各種措施，包括大做廣告等，促進銷售。他們希望對產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便于組織生產(chǎn)、安排進貨。我們運用微積分的知識就可以建立一個數(shù)學模型來描繪產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出有用的結(jié)果，以指導生產(chǎn)和銷售。假設(shè)需求量有一個上界M，用x(t)表示時間t內(nèi)已售出的產(chǎn)品數(shù)量，則尚未購置的數(shù)量大約為M-x(t),社會調(diào)查表明，與x(t)和M-x(t)的乘積成正比，記比例系數(shù)為k，則=kx(M-x),從而可分析出在某t0時刻銷售量可達到最大值，從而

29、表明銷售量小于最大銷售量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷售量大于最大銷售量的一半時，產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開始下降。 這種批判的、理性的、開放的思維方式的養(yǎng)成有利于學生的認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，開闊思路，從而能使學生形成良好的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識。結(jié)論在這篇畢業(yè)論文中，我們討論了如何說明學習微積分在實際運用中的價值問題。 論文從兩個部分對微積分在實際運用中的價值問題進行了歸納和總結(jié)。第一部分緒論介紹了課題背景和意義，國內(nèi)外文獻綜述，本文主要研究內(nèi)容；第二部分介紹了學習微積分在我們實際應(yīng)用中的價值，包括微積分的學習在經(jīng)濟領(lǐng)域的價值，其中有極限理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用、導數(shù)理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用、極值理論在經(jīng)

30、濟中的應(yīng)用、積分理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用、微分方程理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用，還包括微積分的學習在培養(yǎng)人的思維上的價值、微積分的學習在培養(yǎng)人的能力上的價值和微積分的學習在日常生活中的價值，其中包括自學能力的培養(yǎng)、推理能力的培養(yǎng)、各種運算能力、運算過程的培養(yǎng)和綜合能力的培養(yǎng)。 致 謝 從2007年1月份開始，經(jīng)過多次的補充和改進，本篇畢業(yè)論文終于完稿。在撰寫論文的過程中，我得到了許多老師和同學的熱情幫助，在此謹表示深深的感謝。 我要感謝我的導師嘉興學院數(shù)學與信息科學學院的副教授柴惠文老師對我的辛勤指導。在論文的選題、資料的查找、初稿的擬訂、對論文的反復(fù)修改，直至定稿，都得到了柴老師悉心的指導和無微不至的關(guān)懷，在此向柴老師表示深深的感謝。 同時，我要也