二階常系數(shù)非齊次線形微分方程_第1頁(yè)
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1、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程 （1）其中p，q是常數(shù)。因?yàn)榍蠖A常系數(shù)非齊次線形微分方程的通解歸結(jié)為求對(duì)應(yīng)的齊次方程 （2）的通解和非齊次方程（1）本身的一個(gè)特解，而二階常系數(shù)齊次線形微分方程解法已在上一知識(shí)點(diǎn)中講過(guò)，所以，在此我們就只討論方程（1）的特解。當(dāng)方程中f(x)取兩種常見(jiàn)形式時(shí)，我們用待定系數(shù)法求。型如果，則二階常系數(shù)非齊次線形微分方程（1）具有形如 （4）的特解，其中是與同次（m次）的多項(xiàng)式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0，1或2。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線形微分方程，但要注意（4）式中的k是特征方程含根的重復(fù)次數(shù)（即若不是特征方程的

2、根，k取為0，若是特征方程的s重根，k取為s）例 求微分方程的一個(gè)特解。解 這是二階常系數(shù)非齊次線形微分方程，且函數(shù)f(x)是型（其中,）與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 它的特征方程為 由于這里不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為 把它代入所給方程，得 比較兩端x 同次冪的系數(shù)，得 由此求得 , 于是求得一個(gè)特解為 .型如果，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（1）的特解可設(shè)為 ， （5）其中、 是m次多項(xiàng)式，m=maxl , n，而k按（或）不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取0或1。上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但要注意（5）式中的k是特征方程中含根（或）的重復(fù)次數(shù)。例 求微分方程 的一個(gè)特解。解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性方程，且f(x) 屬于型（其中）。與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 ，它的特征方程為。由于這里不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)特解為 。把它代入所給

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