“奇妙的斐波納契數(shù)列” - 南通教育網(wǎng)

1、“奇妙的斐波納契數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)及說明江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 周衛(wèi)東（224200）教學(xué)內(nèi)容：課外閱讀材料“奇妙的斐波納契數(shù)列” 教學(xué)目標(biāo)： 1、使學(xué)生認(rèn)識(shí)“斐波納契數(shù)列”及其部分特性。2、在經(jīng)歷感知、分析、歸納和應(yīng)用的過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，形成一定的數(shù)感，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。3、在知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷拓展、能力不斷提升的過程中，感悟數(shù)學(xué)文化的廣袤與久遠(yuǎn)，形成積極的數(shù)學(xué)情感。教學(xué)對(duì)象：六年級(jí)學(xué)生教學(xué)過程：一、初涉規(guī)律、引入新課填數(shù)：5，10，15，（ ），（ ），30。1，2，3，4，1，2，3，4，。第39個(gè)數(shù)是（ ）。同學(xué)們之所以能迅速地找到問題的答案，就是因?yàn)榇蠹艺业搅似渲械囊?guī)律。按照規(guī)律思考，

2、問題就變得簡(jiǎn)單、明了。其實(shí)，我們的數(shù)學(xué)中就存在許多這樣的規(guī)律，今天，讓我們?cè)俅螏еl(fā)現(xiàn)的眼光，走進(jìn)一種數(shù)列，來探索一些規(guī)律。二、多層探索、展開發(fā)現(xiàn)1、初步探索（媒體出現(xiàn)下圖）在蜂房的左上角有一只笨拙的小蜜蜂，它還不能飛，但是它會(huì)爬。在爬行時(shí)遵循一條死板的規(guī)則：任何時(shí)候都只能向右邊爬（正右方、右上方或右下方），從一間蜂房爬到相鄰的右邊的蜂房，不能再爬回左邊。那么，小蜜蜂要從最初的位置爬到3號(hào)房，共有多少種不同的走法？學(xué)生自由嘗試、求解。交流：起點(diǎn)13；起點(diǎn)123；起點(diǎn)013；起點(diǎn)0123；起點(diǎn)023。共有5種走法。2、深入研究（媒體出現(xiàn)右圖）現(xiàn)在蜂房變成了9個(gè)，共有多少種不同的走法呢？如果還是讓

3、你用剛才的列舉法來解答，你有什么感覺？當(dāng)蜂房少的時(shí)候，問題很容易解決，可蜂房一多，不同的走法就非常多，很容易弄亂，找出全部答案就很困難，要想解決問題，就得從簡(jiǎn)到繁，直至找到其中的規(guī)律，誰能介紹自己的想法？隨著交流的過程，完成如下板書：蜂房號(hào)012345678不同走法12358132134553、討論該數(shù)列的關(guān)鍵以4號(hào)蜂房以例，為什么是8種走法？也就是說為什么可以用“3+5”來計(jì)算？（用多媒體課件輔助理解） 4、揭示從起點(diǎn)到0、1、2、3、4、5、6、7、8號(hào)蜂房，各自的走法，排列成了一個(gè)有規(guī)律的數(shù)列。這個(gè)數(shù)列如果在前面再加上一個(gè)“1”，就組成了數(shù)學(xué)史上有名的“斐波納契數(shù)列”（板書課題）。如果讓

4、你繼續(xù)往后寫的話，你會(huì)寫嗎？誰能試試？為什么？能寫完嗎？三、追溯歷史、提升認(rèn)識(shí)其實(shí)這個(gè)數(shù)列還有一個(gè)名稱，叫“斐波納契兔子數(shù)列”，為什么叫這個(gè)名稱呢？（媒體演播）1228年，意大利數(shù)學(xué)家斐波納契在算經(jīng)中提出了一個(gè)著名的問題。假設(shè)一只剛出生的小兔，一個(gè)月后長成大兔；再以過一個(gè)月，生出了一只小兔。三個(gè)月后，大兔又生出一只小兔，而原先的小兔長成大兔。這樣4個(gè)月、5個(gè)月，都按這樣的規(guī)律繁衍下去。如果不發(fā)生死亡的話，過了一年，共有多少只兔子？顯然，某月后的兔子數(shù)，總是由兩部分組成：大兔子和小兔子數(shù)。而當(dāng)月的小兔子數(shù)，就是上月的大兔子數(shù)，因?yàn)樯显掠卸嗌賹?duì)大兔，下月就有多少對(duì)小兔；而當(dāng)月的大兔子數(shù)，則是上月的

5、兔子總數(shù)，因?yàn)椴还苁谴笸眠€是小兔，到了下月都變成了大兔。根據(jù)這一結(jié)論，上月的大兔子數(shù)，總是前月的兔子總數(shù)。所以，當(dāng)月的兔子數(shù)等于上月的兔子數(shù)加上上月的大兔數(shù)，也就等于上月的兔子數(shù)加上前月的兔子數(shù)。于是不難得出，開始、一月后、二月后、三月后、十二月后的兔子為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。本題的答案應(yīng)為233對(duì)。四、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，展示特質(zhì)1、探索如果我們的學(xué)習(xí)到此結(jié)束的話，也許這個(gè)數(shù)列不會(huì)在我們的腦海中留下多少記憶?！办巢{契數(shù)列”之所以在幾百年來能產(chǎn)生很大的影響，就在于它包含了很多的規(guī)律、有太多的迷人之處。今天，就讓我們來做一回探索者，一起來尋找這些規(guī)律，好

6、嗎？規(guī)律比較多，我們不可能在剩下的時(shí)間里全都研究完。老師做了個(gè)有心人，特地篩選了4個(gè)方面的內(nèi)容供同學(xué)們參考。研究菜單：這個(gè)數(shù)列中，奇偶數(shù)的排列有何規(guī)律？這個(gè)數(shù)列中，能被3整除數(shù)的排列有何規(guī)律？能被5整除的數(shù)的排列有何規(guī)律？在這個(gè)數(shù)列中，前n項(xiàng)的和與數(shù)列中哪一項(xiàng)有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？取出任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，用小數(shù)除以大數(shù)（得數(shù)保留三位小數(shù)）越后，商越接近一個(gè)怎樣的數(shù)？你了解這個(gè)數(shù)嗎？每位同學(xué)只要研究這4項(xiàng)中的一項(xiàng)。如果有時(shí)間的話再有選擇地研究。請(qǐng)同學(xué)們拿出課前發(fā)給你的“我的工作表”，圍繞自己的任務(wù)，想一想，比一比，算一算，必要時(shí)還可以使用計(jì)算器，然后把發(fā)現(xiàn)填寫在“我的工作表”上，相信你一定有所發(fā)現(xiàn)。

7、我的工作表 “斐波納契數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610 我研究的是菜單中的第（ ）項(xiàng)。我研究的過程是： 通過研究，我發(fā)現(xiàn)了：學(xué)生在音樂中自由活動(dòng)，時(shí)間約4分鐘左右。交流。（學(xué)生研究，約5分鐘左右，伴音樂。）2、交流在交流中明晰如下規(guī)律：規(guī)律1：每3個(gè)數(shù)中就有2個(gè)奇數(shù)、1個(gè)偶數(shù)。規(guī)律2：每隔4個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，每隔5個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)。規(guī)律3：前n項(xiàng)的和總是第（n+2）個(gè)數(shù)減1。規(guī)律4：在相鄰的兩個(gè)數(shù)中，用前面的數(shù)除以后面的數(shù)，越往后，結(jié)果越接近0.618。3、誰了解“0.618”這個(gè)數(shù)？（介紹有關(guān)“0.618”的史料）五、實(shí)踐應(yīng)用、解決問題

8、1、填空：在斐波納契數(shù)列中，前2004個(gè)數(shù)中，有（ ）個(gè)偶數(shù)。在這個(gè)數(shù)列中，由于每（ ）個(gè)數(shù)就有一個(gè)數(shù)能被3整除，每（ ）個(gè)數(shù)中就有一個(gè)數(shù)能被5整除，所以，能同時(shí)被3和5整除的最小的數(shù)應(yīng)該是數(shù)列中的第（ ）個(gè)，這個(gè)數(shù)是（ ）。2、實(shí)踐應(yīng)用：（呈現(xiàn)畫面）春節(jié)期間，蘇果超市準(zhǔn)備利用大屏幕反復(fù)播放一個(gè)廣告節(jié)目。這個(gè)節(jié)目每次播放的時(shí)間為10秒，如果開始只有一段10秒的錄像母帶，若用兩盤空白錄像帶在一臺(tái)錄像機(jī)上互錄，問最少操作幾次，可以錄制一盤可以播放10分鐘（600秒）的廣告節(jié)目？學(xué)生自由解題。引導(dǎo)、交流。六、介入生活、拓展延伸同學(xué)們，斐波納契數(shù)列的神奇之處又何止是這些呢？（媒體展示）你知道嗎？斐波納

9、契數(shù)列在它誕生的近800年間，由于它包含著太多的奧秘，由于它的神奇，引來無數(shù)的“斐迷”，驅(qū)使他們不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究它，更有人從自然領(lǐng)域、化學(xué)領(lǐng)域和科學(xué)領(lǐng)域去探究它的奇妙。比如，在醫(yī)學(xué)界，醫(yī)生在給病人測(cè)量體溫時(shí)，按常規(guī)一次測(cè)體溫的時(shí)間是5分鐘，實(shí)際上3分鐘測(cè)得的體溫和5分鐘時(shí)測(cè)得的一樣。在企業(yè)生產(chǎn)中，人們?cè)谛庐a(chǎn)品、新工藝研究、儀表、設(shè)備調(diào)等方面運(yùn)用“斐波納契數(shù)列”中的規(guī)律，能以較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)迅速找到最優(yōu)的方案，在不增加設(shè)備、物力、人力和原材料的條件下，可以縮短工期、提高產(chǎn)量，降低成本。瞧！在自然界還有更驚奇的呢！有人發(fā)現(xiàn)：梅花的花瓣是5枚，像桃、李、櫻、杏、蘋果、梨等與梅同屬薔薇科的都是5瓣花

10、，常見的花瓣還有：鳶尾花、百合花是3枚，飛燕草是8枚，瓜葉菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雛菊的花瓣有的是34枚、55枚或89枚，其它數(shù)目的花瓣的花則很少。而這些花瓣數(shù)正好就是 “斐波納契數(shù)列”當(dāng)中的“斐波納契數(shù)”，這究竟是一種巧合，還是存在著某種必然？這些都有待于我們今后去思考、去探索設(shè)計(jì)說明：選擇這一內(nèi)容執(zhí)教，源自一次偶然的機(jī)會(huì)。由于我自己訂閱了不少學(xué)生閱讀的報(bào)刊，也不知什么時(shí)候起迷上了數(shù)學(xué)科普類的文字。最近我正讀著著名科普作家談祥柏先生撰寫的數(shù)學(xué)營養(yǎng)菜這本書，當(dāng)讀到有關(guān)“斐波納契數(shù)列”這段文字時(shí)，心中格外激動(dòng)。因?yàn)樗坏钛a(bǔ)了作為教者的我知識(shí)視野中的一個(gè)空白，而且也喚起了我

11、的職業(yè)靈感：能不能把這段文字搬上講臺(tái)，與我的學(xué)生共同分享這一數(shù)學(xué)的營養(yǎng)菜呢？ 發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，是新一輪課程改革的一大亮點(diǎn)。因?yàn)樵谌祟悮v史的長河中，數(shù)代人不懈的求索與努力，為我們留下厚重的數(shù)學(xué)文化，而這些數(shù)學(xué)文化不僅可以推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且能催生出后代人為了知識(shí)世界的美好而不畏艱難、不斷求索的信心和決心。理所當(dāng)然，它應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。上這節(jié)課，不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的工具價(jià)值、基礎(chǔ)價(jià)值、智能價(jià)值，更主要的是可以數(shù)學(xué)這門學(xué)科的文化價(jià)值。談先生書中只有幾百個(gè)字，如何把這幾百字上成一節(jié)課，我走進(jìn)了圖書館，走進(jìn)了網(wǎng)絡(luò)。從資料中我發(fā)現(xiàn)，斐波納契數(shù)列，蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)資源：橫向上它包含了

12、許多數(shù)學(xué)的規(guī)律，縱向上它可以用多種數(shù)學(xué)的方法來對(duì)這些規(guī)律加以證明。而這許多的內(nèi)容，不可能在一節(jié)課之中，讓他們?nèi)坷斫夂驼莆?，這就需要我們進(jìn)行“洗課”。本著小學(xué)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)和新課改的要求，我定位于讓學(xué)生了解斐波納契數(shù)列的由來，了解其中的幾個(gè)基本規(guī)律，能運(yùn)用其中的部分規(guī)律來解決學(xué)習(xí)及生活中的部分?jǐn)?shù)學(xué)問題等知識(shí)層面的目標(biāo)。同時(shí)，我們應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想提煉的過程、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程、問題的解決過程盡可能地讓位給學(xué)生，讓他們充分經(jīng)歷人類文明的邏輯重演的過程，經(jīng)歷知識(shí) “再創(chuàng)造”的過程，從而把過程性目標(biāo)的實(shí)施展現(xiàn)到極致。對(duì)教學(xué)過程作了如下預(yù)構(gòu)：首先，在學(xué)生熟悉的情境中引入新課。課始的兩道填空題，目的是喚起學(xué)

13、生對(duì)規(guī)律的找尋意識(shí)，對(duì)他們進(jìn)行一定的思維誘導(dǎo)和定向，為新課的展開奠定了大致的線索和基調(diào)。其次，在具體的問題情境中，揭示斐波納契數(shù)列。以“小蜜蜂爬蜂房”這一有趣的生活問題為素材，分兩個(gè)層次向?qū)W生呈現(xiàn)。在學(xué)生用列舉法解決了第一個(gè)問題后向其展現(xiàn)第二個(gè)問題，使其陷于一種復(fù)雜的、難于求解的矛盾境地，從而產(chǎn)生“要是能找到解決問題的規(guī)律就好了”的意識(shí)，這時(shí)候，“規(guī)律”成為打開解決問題大門的鑰匙，而“找規(guī)律”更成為一種心理動(dòng)力，成為一種精神需求，使斐波納契數(shù)列真正由“學(xué)術(shù)形態(tài)”而成為“教育形態(tài)”。第三，在自我探究的開放性情境中，展現(xiàn)斐波納契數(shù)列中包含的四個(gè)規(guī)律。在眾多的規(guī)律當(dāng)中，我特地進(jìn)行了篩選，選擇了“數(shù)列中的奇偶性”、“能被3和5整除的數(shù)”、“前若干項(xiàng)的和與其中某一項(xiàng)的關(guān)系”、“與黃金分割的關(guān)系”四個(gè)方面的內(nèi)容供學(xué)生研究。由于四個(gè)規(guī)律既處在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，又與他們的舊有經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，所以問題對(duì)他們來說，充滿了現(xiàn)實(shí)性和挑戰(zhàn)性，使探究性學(xué)習(xí)成為可能。在具體探究的過程之中，我完全放手給學(xué)生，把任務(wù)進(jìn)行分解，先讓其獨(dú)立探索，然后發(fā)揮合作交流、資源共享的優(yōu)勢(shì)，教師在其中穿針引線，啟迪誘導(dǎo)，真正達(dá)到“以文化人”的目的。第四