工程流體力學(xué)第二章

1、平衡流體的應(yīng)力特征流體的平衡微分方程及其積分流體靜力學(xué)基本方程流體靜力學(xué)基本概念：等壓面、絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)、真空值、測壓管水頭等靜止液體總壓力的計算液體的相對平衡證明：采用反證法, 其要點如下:2 因流體幾乎不能承受拉應(yīng)力，故p指向受壓面。1 因平衡流體不能承受切應(yīng)力，即=0，故p垂直受壓面；方向性: 平衡流體中的應(yīng)力垂直于作用面，并沿作用面平衡流體中的應(yīng)力垂直于作用面，并沿作用面 的內(nèi)法線方向。的內(nèi)法線方向。大小性：大小性：平衡流體中任一點的靜壓強(qiáng)大小與其作用面的方位無關(guān)平衡流體中任一點的靜壓強(qiáng)大小與其作用面的方位無關(guān)證明：在平衡流體中取如圖所示微小四面體OABC，分析作用在四面體上的力,

2、列x、y、z三個方向力的平衡方程，當(dāng)四面體的體積趨于零時，可證得px= py=pz=pn即 p=p(x,y,z) 在平衡流體中取如圖所示微小正交六面體。分析六面體在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化簡得 上式也可用矢量方程表示：01pf 上式即為流體的平衡微分方程，亦稱歐拉平衡微分方程。對不可壓縮和可壓縮流體均適用。010101zpfypfxpfzyx 將歐拉平衡微分方程各分式分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得)ddd(dddzfyfxfzzpyypxxpzyxzzpyypxxppdddd由),(zyxpp ，有 故得歐拉平衡微分方程綜合式（即全微分形式）)ddd(dzfyfxfp

3、zyx1.定義： p=C或dp=0的平面或曲面。2.等壓面微分方程0dddzfyfxfzyx3.等壓面的性質(zhì)(1)等壓面與等勢面重合等壓面與等勢面重合;(2)等壓面恒與質(zhì)量力正交。等壓面恒與質(zhì)量力正交?；?d sf 只受重力作用的連通的同一種液體內(nèi)，等壓面為水平面；反之，水平面為等壓面。Cpz對于靜止流體中任意兩點，又可寫成2211pzpz或)(2112zzpp 對于液體，如圖所示，則有hpzzpp000)(上式為不可壓縮靜止液體的壓強(qiáng)計算公式，通常亦稱為水靜力學(xué)基本方程。該式表明：xzyp0AZ0Zh（1）在靜止液體中，壓強(qiáng)隨淹沒深度按線性規(guī)律增加）在靜止液體中，壓強(qiáng)隨淹沒深度按線性規(guī)律增加

4、；（2）靜止液體的等壓面為水平面（等高面）。）靜止液體的等壓面為水平面（等高面）。 通常建筑物表面和自由液面都作用著當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa。在工程技術(shù)中，當(dāng)?shù)卮髿鈮旱拇笮〕Ｓ靡粋€工程大氣壓（相當(dāng)于海拔200m處的正常大氣壓強(qiáng)）來表示。一個工程大氣壓（at）的大小規(guī)定為相當(dāng)于735mm汞柱或10m水柱對其柱底所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。 絕對壓強(qiáng)p， 絕對壓強(qiáng)不可為負(fù)絕對壓強(qiáng)不可為負(fù) 相對壓強(qiáng)（計示壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)）pappp（2-14）相對壓強(qiáng)可正可負(fù)相對壓強(qiáng)可正可負(fù)真空壓強(qiáng)（真空值）pvpppav（2-15） 上述絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)及真空值三者的關(guān)系如圖所示真空值恒為正值真空值恒為正值 1.繪制液體靜壓強(qiáng)分布圖的知

5、識點 流體靜力學(xué)基本方程； 平衡流體中的應(yīng)力特征（大小性、方向性）。例1如圖所示容器，上層為空氣，中層為 的石油，下層為 的甘油，試求：當(dāng)測壓管中的甘油表面高程為9.14m時壓力表的讀數(shù)。 GBA 空 氣 石 油 甘 油7.623.661.529.14m113mN8170石油3mN12550甘油2.液體靜壓強(qiáng)分布圖的繪制方法（1）根據(jù)水靜力學(xué)基本方程，計算出受壓面上各點壓強(qiáng)的大小，用一定長度比例的箭頭線表示各點的壓強(qiáng)，箭頭線必須垂直并指向作用面；（2）對于不可壓縮液體，重度為常量，p與h呈線性關(guān)系，當(dāng)受壓面為平面時，只需用直線連接箭頭線的尾部，即可得到壓強(qiáng)分布圖；而當(dāng)受壓面為曲面時，由于曲面上

6、各點的法向不同，因此需用曲線連接箭頭線的尾部。ABpaPa+gh畫出下列畫出下列AB或或ABC面上的靜水壓強(qiáng)分布圖面上的靜水壓強(qiáng)分布圖0ppgh相對相對壓強(qiáng)分布圖ABghBABCABAB畫出下列容器左側(cè)壁面上的壓強(qiáng)分布圖練習(xí)：繪出圖示AB壁面上的相對壓強(qiáng)分布圖測壓管高度用測壓管內(nèi)的液體高度表示的液體中任意點的相對壓強(qiáng)，即 。測壓管水頭任一點測壓管高度 與該點相對于基準(zhǔn)面的位置高度z之和，即pp/pz p真空度hv用液柱高度來表示的真空值pv。練習(xí)：圖示給水管路出口閥門關(guān)閉時，試確定管路中A、B兩點的測壓管高度和測壓管水頭1.測壓管2.U形管測壓計3.U形管真空計4.U形管差壓計5.復(fù)式測壓計

7、例例2已知密閉水箱中的液面高度h4=60mm，測壓管中的液面高度h1=100cm，形管中右端工作介質(zhì)高度，如圖所示。試求形管中左端工作介質(zhì)高度h3為多少？ 【解解】 列11截面等壓面方程，則 （a） 列22截面等壓面方程，則 （b）把式（a）代入式（b）中 =0.1365(m)=136.5(mm)(410H02hhgppa) 6 . 00 . 1 (0H2gpagpa0H24 . 0)()(32Hg340H02hhgphhgpa)2 . 0 ()6 . 0 (4 . 03Hg30H0H22hgphggpaa1000136001000136002 . 02 . 00HHg0HHg322h例題圖示

8、液體相對于地球雖有運動，但液體本身各質(zhì)點之間卻沒有相對運動。 ：建立動坐標(biāo)系。 與重力作用下的平衡液體所不同的是，相對平衡液體所受質(zhì)量力除了重力，還有牽連慣性力。 1.直線等加速容器中液體的相對平衡直線等加速容器中液體的相對平衡afx0yfgfz將其代入液體平衡微分方程的綜合式后，得)dd(dzgxap積分得CzxgaCgzaxp)()(當(dāng)x=z=0時，p=p0，得C=p0，代入上式后，得建立如圖所示的動坐標(biāo)系，則)(0zxgapp等壓面微分方程：0dzd gxa積分得等壓面方程：1Cgzax液面方程：xgazs與絕對靜止情況比較壓強(qiáng)分布絕對靜止：絕對靜止：)z(fgzppa相對靜止：相對靜止

9、：)z , x(f)zxga(gppa將其代入流體平衡微分方程綜合式，得 對于液體內(nèi)任一質(zhì)點A(x,y,z),其所受單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為xfx2yfy2gfz)ddd(d22zgyyxxp積分上式，得CzgrCgzyxp)2()2121(222222在x=0，y=0，z=0處，p=p0，得C=p0，得)2(220zgrpp等壓面方程：1222Czgr液面方程：grzs222與絕對靜止情況比較壓強(qiáng)分布絕對靜止：絕對靜止：)z(fgzppa相對靜止：相對靜止：)z , y, x(f)zrg2(gpp22a例3 如圖所示頂蓋中心開孔的圓柱形容器，直徑d=600mm，高H=500mm，盛水

10、深至h=400mm，余下部分盛滿相對密度為0.8的油。若容器繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，問轉(zhuǎn)速n為多大時油面開始接觸到底板？并求此時頂蓋和底板上的最小、最大相對壓強(qiáng)。水油Hhpad 確定靜止液體作用在受壓面上的總壓力的大小、方向和壓力作用點是許多工程技術(shù)上必須解決的工程流體力學(xué)問題。如水池、船閘及水壩的設(shè)計等。AyAhApPdsinddd作用在平面ab上的總壓力為ApAhAyyPPCCCAAsindAsind 意義：靜止液體作用在任意方位、任意形狀平面上的總壓力意義：靜止液體作用在任意方位、任意形狀平面上的總壓力P的大小等于受壓面面積與其形心處相對壓強(qiáng)的乘積。的大小等于受壓面面積與其形心處相對壓強(qiáng)的乘積。

11、1.總壓力的大小2. 總壓力的方向 總壓力總壓力P的方向垂直并指向受壓面。的方向垂直并指向受壓面。3.總壓力P作用點D的確定 對Ox有PyPyADd或AyAyyADCdsinsin2化簡整理上式，得AyIyCxD根據(jù)慣性矩的平行移軸定理，又可寫成AyIyyCCCD求D點的x坐標(biāo)（自己推導(dǎo)）。例4 某處設(shè)置安全閘門如圖所示，閘門寬b=0.6m，高h(yuǎn)1= 1m，鉸接裝置于距離底h2= 0.4m，閘門可繞A點轉(zhuǎn)動，求閘門自動打開的水深h為多少米。hhhA12例5 求圖示封閉容器斜壁上的圓形閘門所受的靜水總壓力及作用點。已知閘門直徑d=2m，a=1m，=60。，容器內(nèi)水面的相對壓強(qiáng)pe0=98.1KN

12、/m2。 如圖所示矩形平面，其相對壓強(qiáng)分布圖為三角形，則總壓力為：bAbhAhPpc221bhAhhc,2 上式上式表明，靜止液體作用在矩形平面上的總壓力恰等于以表明，靜止液體作用在矩形平面上的總壓力恰等于以壓強(qiáng)分布圖的面積為底，高度為壓強(qiáng)分布圖的面積為底，高度為b的柱體體積。的柱體體積。 其作用點為通過體積重心所引出的水平線與受壓面的交點D。當(dāng)相對壓強(qiáng)分布圖為三角形時，D點位于自由液面下(2L)/3處。 對于相對壓強(qiáng)分布圖為梯形情況，可將其分解成三角形和矩形兩部分進(jìn)行計算后，最后利用合力矩定理求總壓力作用點。例6 鉛垂放置的矩形平板閘門，面板后布置三根橫梁,各橫梁受力相等,已知閘門上游水頭H

13、=4m，試求：（1）每根橫梁所受靜水總壓力的大??；（2）各橫梁至水面的距離。1.總壓力的大小和方向 AhApPddddP垂直于面積dA，與水平線成角。為便于分析，將dP分 解成水平分力dPx和垂直分力dPz兩部分，在整個受壓面上對dPx、 dPz積分，得總的水平分力Px和垂直分力Pz。sindsinddcosdcosddAhPPAhPPzx作用在整個曲面上的水平分力Px為xcxAxAhAhdAxCxAxxAhAhAhPPxdcosdd作用在整個曲面上的垂直分力Pz為PzAAzzVAhAhPPzdsindd式中：zAzPAhVd是壓力體的體積；Az是受壓面在水平面的投影面積?？倝毫Φ拇笮『头较?

14、2zxPPPxzPParctan2.總壓力作用點的確定水平分力Px的作用線通過Ax的壓力中心；鉛垂分力Pz的作用線通過VP的重心；總壓力P的作用線由Px、Pz作用線的交點和xzPParctan確定；將P的作用線延長至受壓面，其交點D即為總壓力在曲面上的作用點。3.壓力體的概念(1)壓力體僅表示 的積分結(jié)果(體積)，與該體積內(nèi)是否有 液體存在無關(guān)；zAzAhd(2)壓力體一般是由三種面所圍成的體積，即壓力體一般是由三種面所圍成的體積，即受壓曲面（壓力體的底面壓力體的底面）；自由液面或自由液面的延長面（壓力體的頂面壓力體的頂面）由受壓曲面邊界向自由液面或自由液面的延長面所作的鉛垂柱面（壓力體的側(cè)面

15、壓力體的側(cè)面）。（3）壓力體的虛實性實壓力體：壓力體和液體在受壓曲面的同側(cè)，Pz向下；虛壓力體：壓力體和液體在受壓曲面的異側(cè)， Pz向上。ABABABC例7 試?yán)L制圖中abc曲面上的壓力體。如已知曲面abc為半圓柱面，寬度為1m，d=3m，試求abc柱面所受靜水壓力的水平分力Px和豎直分力Pz 。 dd/2cba水水解 因abc曲面左右兩側(cè)均有水的作用，故應(yīng)分別考慮?？紤]左側(cè)水的作用abcbacabab段曲面段曲面( (實壓力體實壓力體) )bcbc段曲面段曲面( (虛壓力體虛壓力體) )cbaba陰影部分陰影部分相互抵消相互抵消bacabcabc曲面曲面( (虛壓力體虛壓力體) )考慮右側(cè)水的作用bcbc段曲面段曲面( (實壓力體實壓力體) )cba左右合成左側(cè)水的左側(cè)水的作用作用右側(cè)水的右側(cè)