立體幾何綜合大題20道(理)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上立體幾何綜合大題（理科）40道及答案1、四棱錐中,底面, .()求證:平面；()若側棱上的點滿足,求三棱錐的體積?！敬鸢浮?)證明:因為BC=CD，即為等腰三角形，又,故.因為底面，所以,從而與平面內兩條相交直線都垂直，故平面。()解：.由底面知. 由得三棱錐的高為,故：2、如圖，四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，平面 平面，且，分別為和的中點（）證明：平面；（）證明：平面平面；（）求四棱錐的體積【答案】（）證明：如圖，連結四邊形為矩形且是的中點也是的中點 又是的中點， 平面，平面，所以平面； （）證明：平面 平面，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以 又，是

2、相交直線，所以面 又平面，平面平面； （）取中點為連結,為等腰直角三角形，所以，因為面面且面面，所以，面，即為四棱錐的高 由得又四棱錐的體積 考點：空間中線面的位置關系、空間幾何體的體積.3、如圖，在四棱錐中， ，.（）證明：；（）若求四棱錐的體積【答案】（）設，連接EF， 平分為中點，為中點，為的中位線. ，. ()底面四邊形的面積記為; 考點：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計算.4、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，其中，為的中點(1) 求證：；(2) 若平面平面,且為的中點，求四棱錐的體積【答案】 （1），為中點， 連，在中，為等邊三角形，為的中點，, ,平面,平面 , 平面. （

3、2）連接,作于. ,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， , , . , 又,. 在菱形中，, . 5、如圖，是矩形中邊上的點，為邊的中點，現將沿邊折至位置，且平面平面. 求證：平面平面； 求四棱錐的體積. 【答案】(1) 證明：由題可知，(2) ，則. 6、已知四棱錐中，是正方形，E是的中點，(1)若，求 PC與面AC所成的角(2) 求證：平面(3) 求證：平面PBC平面PCD【答案】平面，是直線在平面上的射影，是直線和平面所成的角。又，四邊形是正方形，；直線和平面所成的角為（2）連接AC交BD與O,連接EO, E、O分別為PA、AC的中點EOPC PC平面EBD,EO平面EBD PC

4、平面EBD（3）PD平面ABCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD為正方形 BCCD，PDCD=D, PD，CD平面PCDBC平面PCD又 BC平面PBC平面PBC平面PCD7、在邊長為的正方形中，分別為的中點，分別為的中點，現沿折疊，使三點重合，重合后的點記為，構成一個三棱錐（1）請判斷與平面的位置關系，并給出證明；（2）證明平面；（3）求四棱錐的體積【答案】（1）平行平面 證明：由題意可知點在折疊前后都分別是的中點（折疊后兩點重合）所以平行因為，所以平行平面.（2）證明：由題意可知的關系在折疊前后都沒有改變.因為在折疊前，由于折疊后，點，所以 因為，所以平面.（3） .8、在如圖所示

5、的幾何體中，四邊形是正方形，平面，、分別為、的中點，且.(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比【答案】(1)證明：平面，平面，又平面，為正方形，DC.，平面.在中，因為分別為、的中點，平面.又平面，平面平面.(2)不妨設，為正方形，又平面，所以.由于平面，且，所以即為點到平面的距離，三棱錐××2.所以.9、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，(1)求四棱錐S-ABCD的體積;(2)求證：(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值?！敬鸢浮浚?）解： （2）證明：又 （3）解：連結AC,則就是SC與底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC

6、=, 10.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點在側棱上，。 （I）證明：是側棱的中點；求二面角的大小。 【答案】分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則。（）設，則又故，即，解得，所以是側棱的中點。（）由（）得，又，設分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即， 二面角的大小。 11、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC （）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小 【答案】（）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Ax

7、yz。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故 令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, )。又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故 °，求得 于是 ， ， °所以與平面所成的角為30°12、如圖，平面，分別為的中點（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值【答案】（）證明：連接， 在中，分別是的中點

8、，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以13、如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面； （）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【答案】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO

9、為AE與平面PDB所的角， O，E分別為DB、PB的中點， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.14、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離【答案】（1）證：依題設，在以為直徑的球面上，則.因為平面，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設平面與交于點，因為，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離

10、等于D點到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在RtPAD中，所以為中點，則O點到平面ABM的距離等于。15、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段、的中點分別為、，求證： （III）求二面角的大小?！敬鸢浮浚↖）因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD,

11、 BE平面BCE,BCBE=B所以（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內, PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG

12、=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小為16、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點E是SD上的點，且DEa(0<1). ()求證：對任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值?！敬鸢浮浚ǎ┳C發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。過點D在平面SAD內做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=

13、60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60°=得， 即=3 ， 解得=17、如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值?！敬鸢浮浚ǎ┤鐖D所示，由正三棱柱的性質知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （） 過點A作AF垂直于點,連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因為DE，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-

14、=3.又因為，所以E= = 4, , .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .18、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段、的中點分別為、，求證： （III）求二面角的大小?！敬鸢浮浚↖）因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 （II）取BE的中點N,連結CN,MN,

15、則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內, PM平面BCE. （III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, 在RtFGH中, , 二面角的大小為19、如題（18）圖，在五

16、面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值【答案】（）平面, AB到面的距離等于點A到面的距離，過點A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.20、如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2) 設PDAD，求二面角APBC的余弦值【答案】(1)因為DAB60