離散時間傅立葉變換

1、離散時間傅立葉變換基基 本本 內(nèi)內(nèi) 容容1. 離散時間傅立葉變換；離散時間傅立葉變換；2. 常用信號的離散時間傅立葉變換對常用信號的離散時間傅立葉變換對; ;3. 離散時間周期信號的傅立葉變換；離散時間周期信號的傅立葉變換；4. 傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的性質(zhì)；5. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法；v注釋注釋: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 連續(xù)時間傅立葉級數(shù)連續(xù)時間傅立葉級數(shù)DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 離散時間傅立葉級數(shù)離散時間傅立葉級

2、數(shù)CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 5.0 引言引言 Introductionv 本章將本章將，來，來研究離散時間非周期信號的頻域分解問題。研究離散時間非周期信號的頻域分解問題。v DFS與與CFS之間既有許多類似之處，也有一些之間既有許多類似之處，也有一些：主要是：主要是DFS是一個有限項級數(shù)，是一個有限項級數(shù)， 其系數(shù)其系數(shù) 具有周期性具有周期性。kav 在采用相

3、同方法研究如何在采用相同方法研究如何時，可以看到，時，可以看到，DTFT與與CTFT既有許多相類似的地方，也同時存在一些重要的既有許多相類似的地方，也同時存在一些重要的區(qū)別區(qū)別。v 抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對于掌握抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對于掌握和加深對頻域分析方法的理解具有重要意義。和加深對頻域分析方法的理解具有重要意義。1 非周期信號的表示非周期信號的表示Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform一一. 從從DFS到到DTFT:在討論離散時間周期性矩形脈沖信號的頻

4、譜時在討論離散時間周期性矩形脈沖信號的頻譜時, ,我們我們看到：看到：當(dāng)信號周期當(dāng)信號周期N增大時，頻譜的包絡(luò)形狀不變，幅度增大時，頻譜的包絡(luò)形狀不變，幅度減小，而頻譜的譜線變密。減小，而頻譜的譜線變密。kkk1220NN1240NN1210NNkNa 因此，可以預(yù)見，對一個非周期信號，它的頻譜應(yīng)因此，可以預(yù)見，對一個非周期信號，它的頻譜應(yīng)該是一個連續(xù)的頻譜。該是一個連續(xù)的頻譜。 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 ，將導(dǎo)致，將導(dǎo)致信號的頻譜無限密集，最終成為連續(xù)頻譜。信號的頻譜無限密集，最終成為連續(xù)頻譜。N 0(2/)0N 從時域看，從時域看，當(dāng)周期信號的周期當(dāng)周期信號的周期 時，時，周周期序列期序列就變成

5、了一個非周期的序列。就變成了一個非周期的序列。N 當(dāng)當(dāng) 時時 令令2limjkNNkNaX eN，（）221( ),( )jknjknNNkkkNnNx na eax n eN 對周期信號對周期信號 由由DFS有有( )x n2/2/2)(1NNnknNjkenxNa即即jX e （）說明說明: :顯然顯然對對是以是以2為周期的。為周期的。DTFT( )jj nnX ex n e（）有有: :kNjkeXNa2)(1 當(dāng)當(dāng) 在一個周期范圍內(nèi)變化時，在一個周期范圍內(nèi)變化時， 在在 范圍范圍變化，所以積分區(qū)間是變化，所以積分區(qū)間是 。k0k22ka將其與將其與 表達(dá)式比較有表達(dá)式比較有00( )(

6、 ),Nx nx nkd ，當(dāng)當(dāng)時時于是于是: :00000012( )(),1()2jkjknkNjkjknkNx nX eeNNX ee 表明表明: :離散時間序列可以分解為頻率在離散時間序列可以分解為頻率在2區(qū)間上區(qū)間上分布的、幅度為分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)分量的的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。線性組合。 deXj)(21deeXnxnjj2)(21)(deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(結(jié)論：結(jié)論：01()1jnj njnX ea eae 二二. .常用信號的離散時間傅立葉變換常用信號的離散時間傅立葉變換21()12 cosjX eaa通常通常 是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示

7、是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tg1cosjaX ea 1.( )( ),1nx na u na01a10a )() 1()(nuanuanxnncos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由圖可以得到由圖可以得到: :時，高通特性時，高通特性, ,擺動指數(shù)衰減擺動指數(shù)衰減10a x n（ ）時，低通特性時，低通特性, ,單調(diào)指數(shù)衰減單調(diào)指數(shù)衰減01ax n（ ）( ),1nx naa2.可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論: :實偶序列實偶序列實偶函數(shù)實偶函數(shù)111sin(21)2()sin2Njj nnNN

8、X ee1,( )0,x n11NnNn3.矩形脈沖矩形脈沖: :當(dāng)當(dāng)12N 時，可得到時，可得到: :有同樣的結(jié)論有同樣的結(jié)論: :實偶信號實偶信號實偶函數(shù)實偶函數(shù)1sin(21)1,sinkkNNaNkN兩點比較兩點比較:1.1.與對應(yīng)的周期信號比較與對應(yīng)的周期信號比較21()jkkNaXeN顯然有顯然有關(guān)系成立關(guān)系成立1sin(21)2()sin2jNX e2 2. .與對應(yīng)的連續(xù)時間信號比較與對應(yīng)的連續(xù)時間信號比較, 0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如圖所示如圖所示: :1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如圖所示如圖所示: :( )( )x

9、nn4.三三. DTFT的收斂問題的收斂問題當(dāng)當(dāng) 是無限長序列時，由于是無限長序列時，由于 的表達(dá)式的表達(dá)式是無窮項級數(shù)，當(dāng)然會存在收斂問題。是無窮項級數(shù)，當(dāng)然會存在收斂問題。)jX e（( )x n收斂條件有兩組：收斂條件有兩組：( ),nx n)jX e（)jX e（ 則則 存在，且級數(shù)一致收斂存在，且級數(shù)一致收斂 于于 。)jX e（2( ),nx n1. 1. 則級數(shù)以則級數(shù)以的準(zhǔn)則的準(zhǔn)則 收斂于收斂于 ?？疾炜疾?的收斂過程，如圖所示：的收斂過程，如圖所示：( )nv但隨著但隨著 的振蕩頻率變高，起伏的的振蕩頻率變高，起伏的幅度趨小幅度趨小; ;,( )Wx nWv當(dāng)當(dāng) 時，振蕩與起

10、伏將完全消失，不會出時，振蕩與起伏將完全消失，不會出現(xiàn)吉伯斯現(xiàn)吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)象，也不存在收斂問題?，F(xiàn)象，也不存在收斂問題。由圖可以得到以下結(jié)論由圖可以得到以下結(jié)論: :v當(dāng)以部分復(fù)指數(shù)分量之和近似信號時，也會當(dāng)以部分復(fù)指數(shù)分量之和近似信號時，也會 出出現(xiàn)起伏和振蕩現(xiàn)起伏和振蕩; ;和連續(xù)時間情況相同，利用把一個周期信號的變和連續(xù)時間情況相同，利用把一個周期信號的變換表示成頻域中的沖激串的辦法，就可以把離散時間換表示成頻域中的沖激串的辦法，就可以把離散時間周期信號也歸并到離散時間傅里葉變換中去。周期信號也歸并到離散時間傅里葉變換中去。對連續(xù)時間信號，對連續(xù)時間信號， 的傅里葉變換就是的傅

11、里葉變換就是0 0 處的處的沖激。即沖激。即由此推斷，對離散時間信號可以期待有相似的情況由此推斷，對離散時間信號可以期待有相似的情況。但由于。但由于DTFT一定是以一定是以2 2為周期的，因此，頻域的沖為周期的，因此，頻域的沖激應(yīng)該是周期性的沖激串，即激應(yīng)該是周期性的沖激串，即2 周期信號的周期信號的DTFT 002,jte （）00()22jtkX ek （）The Fourier Transform for Periodic Signals0jte0022jnkke （）可見可見, ,2021( )()21222jj nj nkx nX eedk ed （）對其做反變換有：對其做反變換有：

12、00(2)21( )()2jr njnjj nx nX eedee在任何一個周期內(nèi)，上述積分內(nèi)真正包括的只有一個在任何一個周期內(nèi)，上述積分內(nèi)真正包括的只有一個沖激，假設(shè)所選區(qū)間包括在沖激，假設(shè)所選區(qū)間包括在0 2r處的沖激，則處的沖激，則2()2()jklkX eaN (2 /)( )jkN nkkNx na e 現(xiàn)在考慮一個周期性信號，周期為現(xiàn)在考慮一個周期性信號，周期為N，其傅立葉級，其傅立葉級數(shù)為：數(shù)為：這時，離散周期性信號的傅里葉變換就是：這時，離散周期性信號的傅里葉變換就是：這樣，一個周期信號的傅里葉變換就能直接從它的傅立這樣，一個周期信號的傅里葉變換就能直接從它的傅立葉級數(shù)得到。葉

13、級數(shù)得到。002( ),jknkkNx na eN證明：由對離散周期信號證明：由對離散周期信號將將x(n) 用用DTFT表示為表示為 lNkkjlkNaeX)22(2)(NkkNkkNkkkNakNakNa)42(2)22(2)2(2101010)2(22)(22)2(2NkkNkkNkkNkNaNkNakNa（對（對L 展開）展開）0( )()2(2)jkkNlx nX eakl 12103122222()2()22()NNkk Nkk NNkNkNakakNNakN kkkNa)2(2比較比較: : 可以看出與連續(xù)時間傅立葉變換中相應(yīng)的形式可以看出與連續(xù)時間傅立葉變換中相應(yīng)的形式是完全一致

14、的。是完全一致的。注意到注意到 也以也以 為周期，于是有：為周期，于是有：kaNkjkkeX)2()2()(000001( )cos(),2jnjnx nnee例例1.1.它不一定是它不一定是周期的。周期的。 當(dāng)當(dāng)02kN時才具有周期性。時才具有周期性。)(jeX0220200002202( )如圖所示如圖所示: :NenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4( )()kx nnkN例例2.2.比較比較: :與連續(xù)時間情況下對應(yīng)的相一致。與連續(xù)時間情況下對應(yīng)的相一致。均勻脈沖串均勻脈沖串)(nx1N0NN2N2n3 離

15、散時間傅立葉變換的性質(zhì)離散時間傅立葉變換的性質(zhì)DTFT也有很多與也有很多與CTFT類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些明顯的差別。明顯的差別。通過對通過對DTFT性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號時性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號時域和頻域特性之間的關(guān)系。域和頻域特性之間的關(guān)系。一、周期性一、周期性 (periodic)：比較：這是與比較：這是與CTFT不同的。不同的。Properties of the Discrete-Time Fourier Transform(2 )()()jjX eX e則則若若jx nX e（ ）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二二. 線

16、性線性 (linearity):三三. 時移與頻移時移與頻移 (shifiting):00()( )()jnjx n eX e ( )(),jx nX e若若則則00()()j njx nnX ee時移特性時移特性頻移特性頻移特性四四. 時域反轉(zhuǎn)時域反轉(zhuǎn) (reflaction):()()jxnX e若若則則( )(),jx nX e五五. . 共軛對稱性共軛對稱性 (symmetry properties):)()(),()(*jjeXnxeXnx若若則則由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論: :Re()Re()Im()Im()jjjjX eX eX eX e)()(),()(*

17、jjjjeXeXeXeX即即1. 1. 若若)(nx是實信號，則是實信號，則)()(*nxnx()()()()jjjjX eX eX eX e2. 2. 若若)(nx是實偶信號，則是實偶信號，則),()(nxnx*( )( )()()jx nx nxnX e()()(),jjjX eX eXe于是有于是有: :即即是實偶函數(shù)。是實偶函數(shù)。)(jeX*( )(),( )( )x nxnx nx n 3. 3. 若若是實奇信號，是實奇信號，)(nx()()(),jjjX eX eXe 于是有于是有: :表明表明是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。)(jeX( )( )( )eox nx nx n，4. 4.

18、若若則有則有: :說明說明: :這些結(jié)論與連續(xù)時間情況下完全一致。這些結(jié)論與連續(xù)時間情況下完全一致。( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e0( )(1)(1) ()()( )()(2)1jjjnjjkkx nx neX eX ex kX eke 六六. 差分與求和差分與求和 (Differencing and Accumulation):）je1 (說明說明: :在在DTFT中中對應(yīng)于對應(yīng)于CTFT中的中的 。j1( )(2)1jku nke 例例: :( )( )nku nk( )1n七七. 時域內(nèi)插時域內(nèi)插 ( Interplation ):，0),/()(knxn

19、xk定義定義為為的整數(shù)倍的整數(shù)倍其他其他nkn()( )()jj nj rkkkknrXex n ex rk e( )()j rkjkrx r eX e( )()jkkx nX ek1時，該信號在時域上被拉開了（變慢），對應(yīng)時，該信號在時域上被拉開了（變慢），對應(yīng)地在頻域就被壓縮。地在頻域就被壓縮。信號的時域與頻域特性之間有一種相反的關(guān)系。信號的時域與頻域特性之間有一種相反的關(guān)系。dedXjnnxj)()(八八. 頻域微分頻域微分( Differention in Frequency ):222)(21)(deXnxjn九九. . Parseval定理定理: :2)(jeX稱為稱為的的)(nx

20、NkkNnanxN22)(1比較比較: :在在DFS中有中有稱為周期信號的稱為周期信號的。2ka4 卷積特性卷積特性( The Convolution Property ) ( )( )* ( ),()()(),jjjy nx nh nY eX eH e若若則則說明：該特性提供了對說明：該特性提供了對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。即是系統(tǒng)的頻率特性。即是系統(tǒng)的頻率特性。()jH e)()()(jjnkeUeXkxkjjkeeX)2(11)(kjjjkeXeeX)2()(1)(0例例: :求和特性的證明求和特性的證明)(*)()(nunxkxnk5 相乘性質(zhì)相乘性

21、質(zhì)（The Multiplication Property)()(21)()(21)(),()()(212)(2121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny如果如果則則由于由于 和和 都是以都是以 為周期的，為周期的，1()jX e因此上述卷積稱為周期卷積。因此上述卷積稱為周期卷積。22()jXe)()()(ncnxny)(nc)(nx,) 1()(nnc()2(2)jkC ek ()22()01() ()2() ()()jjjjX eC edX edX e 例例: :( )( 1)nj nc ne 1()()()2jjjY eX eC e22)(jeC0)(jeXMM015.6 傅立葉

22、變換的性質(zhì)及基本變換對列表傅立葉變換的性質(zhì)及基本變換對列表（自學(xué)）（自學(xué)）)(jeY10MM7 對偶性對偶性（Duality）NnnNjkkNknNjkkenxNaeanx22)(1,)(由于由于ak本身也是以本身也是以N為周期的序列，當(dāng)然也可以將其展為周期的序列，當(dāng)然也可以將其展開成開成傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)形式。令形式。令-nk，kn，此時上面右式即，此時上面右式即ak的傅立葉級數(shù)展開的傅立葉級數(shù)展開一一. .DFS的對偶的對偶離散時間的傅立葉變換不存在如連續(xù)時間傅立葉離散時間的傅立葉變換不存在如連續(xù)時間傅立葉變換那樣的對偶性，但變換那樣的對偶性，但。( )1()DFSkDFSnx naax

23、kN 即即: :利用對偶性可以很方便的將離散傅立葉級數(shù)在時域利用對偶性可以很方便的將離散傅立葉級數(shù)在時域得到的性質(zhì)，通過對偶得到頻域相應(yīng)的性質(zhì)。得到的性質(zhì)，通過對偶得到頻域相應(yīng)的性質(zhì)。),(1kxN這表明：序列這表明：序列an 的傅立葉級數(shù)的系數(shù)就是的傅立葉級數(shù)的系數(shù)就是即即: :21()jknNnkNaxk eN)(1)(kxNaanxnk例例1: 1: 從時移到頻移從時移到頻移002)(1knNjnnekxNa利用時移性質(zhì)有利用時移性質(zhì)有: :由對偶性有由對偶性有: :2( )jMnNk Mx n ea 2)(21,)(dteeXaeaeXjktjtkkjktkjt二二. DTFT與與CF

24、S間的對偶間的對偶*()( )jj nnX ex n e由由 知知X(ejt)是一個以是一個以2為周期的連續(xù)函數(shù)為周期的連續(xù)函數(shù), , 如果在時域構(gòu)造一個以如果在時域構(gòu)造一個以 2為周期的連續(xù)時間信號為周期的連續(xù)時間信號X(ejt)，則可以將其表則可以將其表示為示為CFS形式形式:deeXnxnjj2)(21)(由由DTFT有：有： 利用這一對偶關(guān)系，可以將利用這一對偶關(guān)系，可以將DTFT的若干特性對偶到的若干特性對偶到CFS中去；或者反之。中去；或者反之。()kaxk比較比較x(n)和和ak的表達(dá)式可以看出的表達(dá)式可以看出這表明：這表明：( )()DTFTjx nX e ()()CFSjtX

25、 ex k 若若則則kCFSkaTjtxdtd2)( 2()()()2CFSjtdX ejkxkjkxkTdtT，（）例例: 從從CFS的時域微分到的時域微分到DTFT的頻域微分的頻域微分CFS的時域微分特性的時域微分特性DTFT的頻域微分特性的頻域微分特性()()CFSjtX exk 若若則則( )(),DTFTjx nX e ( )()jdjnx nX ed)()()()()()()()(22112211kxeXkxeXeXnxeXnxCFSjtCFSjtjDTFTjDTFT 1212()()2() (),(2 )CFSjtjtX eX exk xkT)()(21)()()()()()(2

26、21212121jjDTFTjjDTFTeXeXnxnxeXeXnxnx 例例: 從從CFS的卷積特性到的卷積特性到DTFT的相乘特性的相乘特性再由對偶性：再由對偶性：由由CFS的卷積特性的卷積特性12( )*( )kkx tx tTa bDTFT的相乘特性的相乘特性可以將對偶關(guān)系歸納為如下圖表可以將對偶關(guān)系歸納為如下圖表: :連續(xù)時間傅立葉級數(shù)katx)(離散連續(xù)、周期、非周期連連續(xù)、非周期續(xù)、非周期連續(xù)時間傅立葉變換)(2)()()(xjtXjXtx離散時間傅立葉變換)()(jeXnx離散連、非周期續(xù)、周期)2(1kTjXTak)(12kNjkeXNa)()(jDTFTeXnx )()(k

27、xeXCFSjt離散時間傅立葉級數(shù)( )kx na 離離散、周期散、周期1()nax kN時域的連續(xù)性時域的連續(xù)性可以看出：信號在時域的特性和在頻域的特可以看出：信號在時域的特性和在頻域的特性之間存在以下對應(yīng)關(guān)系：性之間存在以下對應(yīng)關(guān)系：時域的周期性時域的周期性時域的離散性時域的離散性時域的非周期性時域的非周期性頻域的離散性頻域的離散性頻域的連續(xù)性頻域的連續(xù)性頻域的周期性頻域的周期性頻域的非周期性頻域的非周期性8 由由LCCDE表征的系統(tǒng)表征的系統(tǒng)NkkNkkknxbknya00)()(相當(dāng)廣泛而有用的一類離散時間相當(dāng)廣泛而有用的一類離散時間LTI系統(tǒng)可以系統(tǒng)可以由一個線性常系數(shù)差分方程來表征

28、由一個線性常系數(shù)差分方程來表征: :一一. 由由LCCDE描述的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)描述的系統(tǒng)的頻率響應(yīng):),(nh進(jìn)而對進(jìn)而對 做變換而求得做變換而求得 。方法一方法一: :可以從求解可以從求解 時的差分方程得到時的差分方程得到)()(nnx)(nh)(jeHSystems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations( )jj ny nH ee （方法二方法二: : 可以通過求出可以通過求出 時方程的解而時方程的解而因為因為njenx)(),(jeHnje是是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù),得到得到此時的此

29、時的 。方法三方法三: : 對方程兩邊進(jìn)行對方程兩邊進(jìn)行DTFT變換，可得到變換，可得到:00()()NNkkkka y nkb x nk00()()NNjkjjkjkkkka eY eb eX eNkjkkNkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()( 可見可見 是一個有理函數(shù)。當(dāng)需要得到是一個有理函數(shù)。當(dāng)需要得到時時, , 往往是先從方程得到往往是先從方程得到 進(jìn)而通過反變進(jìn)而通過反變換得到換得到 。)(jeH)(nh),(jeH)(nh二二. .系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng): : 刻畫了刻畫了LTI系統(tǒng)的頻域特征，它是系系統(tǒng)的頻域特征，它是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。統(tǒng)單位脈沖響

30、應(yīng)的傅立葉變換。)(jeH三三. .由方框圖描述的系統(tǒng)由方框圖描述的系統(tǒng): :這說明這說明: :穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)來描述。穩(wěn)定系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)來描述。)(jeH 由由 所表征的系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定系統(tǒng)。所表征的系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定系統(tǒng)。 3/4D DD D( )x n( )y n212()jW e如果如果 ，則，則 存在。存在。| ( )|nh n )(jeH但并非所有的但并非所有的LTI系統(tǒng)都一定存在頻率響應(yīng)。系統(tǒng)都一定存在頻率響應(yīng)。2()jjW ee()jjW ee22227124()133121244jjjjjjjjeeeH eeeee 通過對圖中兩個加法器的輸出列方程可得到通過對圖中兩個加法器的輸出列方程可得到:23()()2()()4jjjjjjW eX eW eeW ee2()()2()()jjjjjjY eX eW eeW ee23()(12)()4jjjjX eeeW e由上式可得：由上式可得：27()(1)()4jjjY eeW e后一節(jié)點后一節(jié)點前一節(jié)點前一節(jié)點四四. LTI系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析方法:2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的描述，求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 。()jH e