軸對稱壓軸題解析

1、軸對稱【知識脈絡】【基礎知識】知識點一：軸對稱圖形及對稱軸1、軸對稱圖形：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸2、要點：前提是一個圖形，且這個圖形滿足兩個條件：存在直線（對稱軸）；沿著這條直線折疊，折痕兩旁的部分能重合3、注意：一個軸對稱圖形的對稱軸是直線且不一定只有一條，可能有兩條或多條如圖所示：知識點二：軸對稱及對稱點1、軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸折疊后重合的點是對應點也叫做對稱點2、要點：前提是兩個圖形；存在一

2、條直線；兩個圖形沿著這條直線對折能夠完全重合3、注意：成軸對稱的兩個圖形一定全等；它與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：它是指兩個圖形，而軸 對稱圖形前提是一個圖形；成軸對稱的兩個圖形除了全等外還有特定的位置關系如圖所示：知識點三：軸對稱與軸對稱圖形1、相互轉化：軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱2、軸對稱、軸對稱圖形的性質（1）性質1：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；注：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，

3、叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線性質1的證明如下：如圖所示，ABC與關于l對稱，其中點A、是對稱點，設交對稱軸于點P將ABC和沿l折疊后，點A與重合，則有，1=2=90°，即對稱軸把垂直平分，同樣也能把、都垂直平分，于是得出性質1 （2）性質2：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線證明類似性質1（3）小結：不論性質1，還是性質2所指的都是只要兩個點關于某直線對稱，那么這條直線（對稱軸）就是這兩個點連線的垂直平分線也就是說這兩條性質所體現的是對稱點與對稱軸的關系也揭示了軸對稱（軸對稱圖形）的實質知識點四：線段的垂直平分線1、性質1：線段垂直平分線上的點到線

4、段兩端點的距離相等；證法一：如圖所示，l是線段AB的垂直平分線，P為l上任意一點如果把AB沿著l對折，A點和B點一定重合，同時PA、PB也應該重合，如果在l上再取一點，連、，則、也應該重合，即它們分別對應相等，由此得出性質1證法二：另外，我們還可以從全等的角度得出性質1，過程如下：如上圖， l垂直平分AB， AO=BO，1=2又 PO=PO（公共邊）， RtPAORtPBO（SAS） PA=PB即性質1成立2、性質2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上性質2的探究如下：如圖所示，作直線PCAB于C，則在RtPAC和RtPBC中，PA=PB，PC=PC， RtPACRtPBC

5、， AC=BC即PC垂直平分AB，所以點P在線段AB垂直平分線上3、 小結：（1）從以上的兩個結論可以看出，在線段AB垂直平分線上的點與A、B兩點的距離相等；反過來與點A、B距離相等的點都在線段AB的垂直平分線上綜合以上兩點可以得出：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合（2）線段垂直平分線的兩個性質具有不同的作用，性質l是線段的垂直、平分線的性質，可用它來證明線段相等的問題；而性質2實質是線段垂直平分線的判定知識點五：對稱軸的作法1、若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線因此只要找到一對對 應點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這

6、兩個圖形的對稱軸軸對稱圖形的對稱軸作法相同 2、例如：A、B兩點關于某直線對稱，連接AB，作線段AB的垂直平分線就是A、B兩點的對稱軸，作法如下：（1）分別以點A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧（若兩弧半徑小于或等于AB，則兩弧沒有交點或切于一點），兩弧交于C、D兩點；（2）連CD，得直線CD，直線CD即為所求如圖所示：3、說明：作對稱軸的方法也就是作線段垂直平分線的方法用此方法可確定線段的中點，即把線段平分知識點六：軸對稱變換1、由一個平面圖形得到它關于某直線的對稱圖形，這一過程叫軸對稱變換2、注意：（1）將一個圖形進行軸對稱變換（作一個圖形關于某直線的對稱圖形）關鍵是作某些點（關鍵點）關于

7、這條直線的對稱點 如：作點A關于直線l的對稱點先作AOl于O；再延長AO至使，則就是A關于l的對稱點，如下圖所示：主要有兩步：第一步，過已知點作對稱軸的垂線，得到一個垂線段；第二步，將這個垂線段延長一倍所到達的點就是已知點關于這條直線（對稱軸）的對稱點（2）成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作是另一個圖形經過軸對稱變換得到的同樣，一個軸對稱圖形也可以看作是以它的一部分為基礎，經軸對稱變換擴展而成的（3）經過軸對稱變換并結合平移變換我們可得到一些美麗的圖案，如圖所示：知識點七：用坐標表示軸對稱1、關于x軸對稱的兩個點的橫（縱）坐標的關系已知P點坐標，則它關于x軸的對稱點的坐標為，如下圖所示：

8、即關于x軸的對稱的兩點，坐標的關系是：橫坐標相同，縱坐標互為相反數2、關于y軸對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系已知P點坐標為，則它關于y軸對稱點的坐標為，如上圖所示 即關于y軸對稱的兩點坐標關系是：縱坐標相同，橫坐標互為相反數 注意：由此我們可以在平面直角坐標系中作出與一個已知圖形關于x軸或y軸對稱的圖形3、關于與x軸（y軸）平行的直線對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系（1）P點坐標關于直線的對稱點的坐標為證明：如下圖所示，令坐標為，由題意可知，即，故所以同樣可以推導出下面的結論（2）P點關于直線的對稱點的坐標為，如下圖所示三、規(guī)律方法指導1由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換成軸對稱的兩

9、個圖形中的任何一個可以看著 由另一個圖形經過軸對稱變換后得到2軸對稱變換的性質：（1）經過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸的對稱點（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分3作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形的步驟：（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形4點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標是（x，-y）；點P（x，y）關于y軸對稱的點的坐標是（-x，y）；點P（x，y）關于原點對稱的點的坐標是（-x，-y）5點P（x，y）關于直線x=m對

10、稱的點的坐標是（2m-x，y）；點P（x，y）關于直線y=n對稱的點的坐標是（x，2n-y）。【典例解析】例題1：如圖，在RtABC中，AC=BC，點D是ABC內一點，若AC=AD，CAD=30°，連接BD，則ADB的度數為（）A120°B135°C150°D165°【考點】等腰直角三角形【分析】先根據ABC是等腰直角三角形得：CAB=ABC=45°，作輔助線，構建全等三角形，證明CDBAED，則ADE=CBD，ED=BD，設CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，根據ABC=45°列方程可求x的值，根據三角形內

11、角和得BDC=150°，最后由周角得出結論【解答】解：AC=BC，ACB=90°，CAB=ABC=45°，AC=AD，AD=BC，CAD=30°，ACD=ADC=75°，DAB=45°30°=15°，DCB=90°75°=15°，EAD=DCB，在AB上取一點E，使AE=CD，連接DE，在CDB和AED中，CDBAED（SAS），ADE=CBD，ED=BD，DEB=DBE，設CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，ABC=45°，x+15+x=45，x=15

12、76;，DCB=DBC=15°，BDC=180°15°15°=150°，ADB=360°75°150°=135°；故選B例題2：如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，D、E分別為AB、BC上一點，CDE=A（1）如圖，若BC=BD，求證：CD=DE；（2）如圖，過點C作CHDE，垂足為H，若CD=BD，EH=1，求DEBE的值【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質【分析】（1）先根據條件得出ACD=BDE，BD=AC，再根據ASA判定ADCBED，即可得到CD=DE；（2）先根據條件得出DCB

13、=CDE，進而得到CE=DE，再在DE上取點F，使得FD=BE，進而判定CDFDBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根據CHEF，運用三線合一即可得到FH=HE，最后得出DEBE=DEDF=EF=2HE=2【解答】解：（1）AC=BC，CDE=A，A=B=CDE，ACD=BDE，又BC=BD，BD=AC，在ADC和BED中，ADCBED（ASA），CD=DE；（2）CD=BD，B=DCB，又CDE=B，DCB=CDE，CE=DE，如圖，在DE上取點F，使得FD=BE，在CDF和DBE中，CDFDBE（SAS），CF=DE=CE，又CHEF，FH=HE，DEBE=DEDF=EF=2HE=2

14、例題3：閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個有關角平分線的問題：如圖1，在ABC中，A=2B，CD平分ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的長小聰思考：因為CD平分ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC=AC，連接DE這樣很容易得到DECDAC，經過推理能使問題得到解決（如圖2）請回答：（1）BDE是等腰三角形（2）BC的長為5.8參考小聰思考問題的方法，解決問題：如圖3，已知ABC中，AB=AC，A=20°，BD平分ABC，BD=2.3，BC=2求AD的長【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得ACDECD，得到AD=DE，A

15、=DEC，由于A=2B，推出DEC=2B，等量代換得到B=EDB，得到BDE是等腰三角形；（2）在BA邊上取點E，使BE=BC=2，連接DE，得到DEBDBC，在DA邊上取點F，使DF=DB，連接FE，得到BDEFDE，即可推出結論【解答】解：（1）BDE是等腰三角形，在ACD與ECD中，ACDECD，AD=DE，A=DEC，A=2B，DEC=2B，B=EDB，BDE是等腰三角形；（2）BC的長為5.8，ABC中，AB=AC，A=20°，ABC=C=80°，BD平分B，1=2=40°BDC=60°，在BA邊上取點E，使BE=BC=2，連接DE，則DEBD

16、BC，BED=C=80°，4=60°，3=60°，在DA邊上取點F，使DF=DB，連接FE，則BDEFDE，5=1=40°，BE=EF=2，A=20°，6=20°，AF=EF=2，BD=DF=2.3，AD=BD+BC=4.3例題4：（1）如圖1，圖2，圖3，在ABC中，分別以AB，AC為邊，向ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點O如圖1，試說明：ABEADC；探究：如圖1，BOC=120；如圖2，BOC=90°；如圖3，BOC=72°；（2）如圖4，AB，AD是以AB為邊向ABC外所作正n邊形

17、的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長相交于點O，試猜想：圖4中BOC=（用含n的式子表示）【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；多邊形內角與外角；正方形的性質【分析】根據等邊三角形的性質可以得出DACBAE，再根據三角形的外角與內角的關系就可以求出BOC的值，在圖2中，連結BD，然后用同樣的方法證明DACBAE，根據三角形外角與內角之間的關系就可以求出BOC的值，依此類推就可以得出當作n邊形的時候就可以求出圖4BOC的值【解答】證明：如圖1，ABD和AEC是等邊三角，AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=ABD=ADB=60

18、6;，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE在DAC和BAE中，DACBAE（SAS）解：DACBAE，CDA=EBABOC=BDO+OBD，BOC=BDA+ABE+OBD，BOC=BDA+ADC+OBA，BOC=BDA+OBD=60°+60°=120°=如圖2，連結BD，四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=90°，BDA=DBA=45°，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=CAD在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CDA=EBABOC=BDO+DBO，BOC=BDA+ADO+

19、DBO，BOC=BDA+ABE+DBO，BOC=BDA+DBA=45°+45°=90°=；如圖3，連結BD，五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，AB=AD，AE=AC，BAD=EAC=108°，BAD+DAE=EAC+DAE，ABD=ADB=36°BAE=DAC在BAE和DAC中，BAEDAC（SAS），ABE=ADCBOC=OBD+BDO，BOC=ADB+ADC+OBD，BOC=ADB+ABE+OBD，BOC=ADB+ABD=72°=（2）以此類推，當作正n邊形時，BOC=故答案為：120°，90°，7

20、2°，【跟蹤訓練】1. 如圖是一個風箏的圖案，它是軸對稱圖形，EF是對稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數為140°2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，以AD為斜邊在ABC外作等腰直角三角形AED，連結BE、EC試猜想線段BE和EC有何關系，并證明你的猜想4. （2016秋監(jiān)利縣校級期中）在ABC中，ACB=90°，AC=

21、BC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由5. 如圖，在ABC中，AB=AC，BEAC于點E，BE=AE，AD是BAC的角平分線，和BE相交于點P，和BC邊交于點D，點F是AB邊的中點，連結EF，交AD于點Q，連結BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結論6. 如圖，在平面直角坐標系中，已知A（7a，0），B（0，7a），點C為x軸負半軸上一點，ADA

22、B，1=2（1）求ABC+D的度數；（2）如圖，若點C的坐標為（3a，0），求點D的坐標（結果用含a的式子表示）；（3）如圖，在（2）的條件下，若a=1，過點D作DEy軸于點E，DFx軸于點F，點M為線段DF上一點，若第一象限內存在點N（n，2n3），使EMN為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的N點坐標，并選取一種情況計算說明參考答案：1. 如圖是一個風箏的圖案，它是軸對稱圖形，EF是對稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數為140°【考點】軸對稱圖形【分析】利用軸對稱圖形的性質結合四邊形內角和定理得出答案【解答】解：一個風箏的圖

23、案，它是軸對稱圖形，EF是對稱軸A=90°，AED=130°，C=45°，D=90°，MED=65°，DEF=115°，CFN=360°115°90°45°=110°BFC的度數為：2（180°110°）=140°故答案為：140°【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質以及四邊形內角和定理，熟練應用軸對稱圖形的性質是解題關鍵2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD【考點】全等三角

24、形的判定與性質；等腰三角形的性質【分析】（1）由ADBC，CEAB，易得AFE=B，利用全等三角形的判定得AEFCEB；（2）由全等三角形的性質得AF=BC，由等腰三角形的性質“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結論【解答】證明：（1）ADBC，CEAB，BCE+CFD=90°，BCE+B=90°，CFD=B，CFD=AFE，AFE=B在AEF與CEB中，AEFCEB（AAS）；（2）AB=AC，ADBC，BC=2CD，AEFCEB，AF=BC，AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的

25、中點，以AD為斜邊在ABC外作等腰直角三角形AED，連結BE、EC試猜想線段BE和EC有何關系，并證明你的猜想【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形【分析】由條件可求得AB=CD、DE=AE，且BAE=EDC=135°，可證明ABEDCE，再利用AEB=DEC，可證得BECE【解答】解：猜想：BE=CE，BECE證明如下：AC=2AB，D是AC的中點，CD=AB，AED為等腰直角三角形，AE=DE，且EAD=EDA=45°，BAE=CDE=135°，在ABE和DCE中ABEDCE（SAS），BE=CE，AEB=DEC，BED+DEC=AEB+BED=AED

26、=90°，BECE，即BE和CE的關系為相等且垂直【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質及等腰直角三角形的判定和性質，由條件證得ABEDCE是解題的關鍵，注意利用等腰直角三角形的性質4. （2016秋監(jiān)利縣校級期中）在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出新的結論并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形【分析】（1）首先證明DAC=BCE，進而

27、利用AAS定理證明DACECB，問題即可解決（2）首先證明DAC=BCE，進而利用HL定理證明ACDCBE，問題即可解決【解答】解：（1）如圖1，ACB=90°，ADMN于D，BEMN于E，DAC+DCA=BCE+DCA，DAC=BCE；在DAC與ECB中，DACECB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE（2）如圖2，（1）中的結論不成立；新的結論為：DE=ACBE；ACB=90°，ADMN，DAC+ACD=ACD+BCE，DAC=BCE；在ACD與CBE中，ACDCBE（AAS），AC=CE，CD=BE，DE=CECD=ACBE；即DE=ACBE【點評】該

28、命題在考查全等三角形的判定及其性質定理的同時，還滲透了對旋轉變換的考查；解題的關鍵是靈活運用全等三角形的判定定理解題5. 如圖，在ABC中，AB=AC，BEAC于點E，BE=AE，AD是BAC的角平分線，和BE相交于點P，和BC邊交于點D，點F是AB邊的中點，連結EF，交AD于點Q，連結BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結論【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形【分析】（1）求出AEP=BEC=90°，根據三角形內角和定理求出EBC=EAP，根據ASA推出BCEAPE即可；（2）根據全等得出BC=AP，根據等腰三角形的性質

29、得出BD=BC，即可求出答案；（3）根據線段垂直平分線的性質求出AQ=BQ，求出BAE=45°，根據角平分線的定義求出BAD=ABQ=22.5°，根據三角形外角性質求出BQD=45°，即可得出答案【解答】證明：（1）如圖：AD是BAC的角平分線，AB=AC，BDP=90°，BD=CD，BEAC，AEP=BEC=90°，在BPD和APE中，AEP=BDP=90°，BPD=APE，PAE+PEA+APE=180°，BDP+BPD+EBC=180°，EBC=EAP，在BCE和APE中，BCEAPE；（2）BCEAPE，BC=AP，BD=CD，BD=BC，BD=AP；（3）BDQ是等腰直角三角形，證明：BE=AE，F是AB的中點，EF是線段AB的垂直平分線，AQ=BQ，BAQ=ABQ，BE=AE，BEA=90°，BAE=45°，AD是BAC的角平分線，BAD=CAD=22.5°，BAD=ABQ，BAD=ABQ=22.5°，BQD=22.5°×2=45°，ADB=90&#