高中數學 平面向量的線性運算 教學設計

1、高中數學 平面向量的線性運算 教學設計教材分析本節(jié)首先從數及數的運算談起，有了數只能進行計數，只能引入了運算，數的威力才得以充分展現。類比數的運算，向量也能夠進行運算，運算引入后，向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮。教學中應引導學生體會考察一個量的運算問題，最主要的是認清運算的定義及其運算律，這樣才能正確、方便地實施運算。平面向量的線性運算包括：向量加法、向量減法、向量數乘運算，以及它們之間的混合運算。其中加法運算是最基本、最重要的運算，減法、數乘運算都以加法運算為基礎，都可以歸結為加法運算。向量的加法運算是通過類比數的加法，以位移的合成、力的合成等兩個物理模型為背景引入的，使加法運算的學習建立在

2、學生已有認知基礎上。由于向量有方向，在進行運算時，不但要考慮大小，而且要考慮方向，應注意體會向量運算與數的運算的聯系與區(qū)別，更好地把握向量加法的特點。類比數的減法（減去一個數等于加上這個數的相反數），向量減法的實質是：減去一個向量，等于加上這個向量的相反向量；向量數乘運算則是相同向量的連加。因此，與數的運算的類比，是學習向量的線性運算的重要方法。向量的線性運算具有深刻的物理背景和幾何意義，使得向量在解決物理和幾何問題時可以發(fā)揮很好的作用。2.2.1 向量加法運算及其幾何意義一、教學分析向量的加法是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算,是向量的第二節(jié)內容.其主要內容是運用向量的定義和向量相等的

3、定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結合律進行證明,同時運用他們進行相關計算,這可讓同學們進一步加強對向量幾何意義的理解,同時也為接下來學習向量的減法奠定基礎,起到承上啟下的重要作用.學生已經通過上節(jié)的學習,掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學習物理的過程中,已經知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件.培養(yǎng)數學的應用意識是當今數學教育的主題,本節(jié)課的內容與實際問題聯系緊密,更應強化數學來源于實際又應用于實際的意識.在向量加法的概念中,由于涉及到兩個向

4、量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數學思想,而在猜測向量加法的運算律時,通過引導學生利用實數加法的運算律進行類比.則能培養(yǎng)學生類比、遷移等能力.在實際教學中,類比數的運算,向量也能夠進行運算.運算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實際上,引入一個新的量后,考察它的運算及運算律,是數學研究中的基本問題.教師應引導學生體會考察一個量的運算問題,最主要的是認清運算的定義及其運算律,這樣才能正確、方便地實施運算.向量的加法運算是通過類比數的加法,以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的.這樣做使加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎上,同時還可以提醒學生注意,由于向量有

5、方向,因此在進行向量運算時,不但要考慮大小問題,而且要考慮方向問題,從而使學生體會向量運算與數的運算的聯系與區(qū)別.這樣做,有利于學生更好地把握向量加法的特點.二、教學目標：1、知識與技能：掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力。2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。3、情感態(tài)度與價值觀：通過闡述向量的加法運算與實數運算之間的相似性質，使學生理解事物之間相互聯系的辯證思想。三、重點難點教學重點:向量加法的運算及

6、其幾何意義.教學難點:對向量加法法則定義的理解.四、學法指導數能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義。結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，聯系數的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律。五、教學設想（一）導入新課思路1.(復習導入)上一節(jié),我們一起學習了向量的有關概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數一樣也可以進行加減運算,這一節(jié),我

7、們先學習向量的加法.思路2.(問題導入)2004年大陸和臺灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?怎樣列出數學式子？一位同學按以下的命令進行活動:向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計算他所在的位置?由此導入新課.（二）推進新課、新知探究、提出問題數能進行運算,向量是否也能進行運算呢？類比數的加法,猜想向量的加法,應怎樣定義向量的加法？猜想向量加法的法則是什么?與數的運算法則有什么不同?圖1活動:向量是既有大小、又有方向的量,教師引導學生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.某對象從A點經B點到C點,兩次位移、的結果

8、,與A點直接到C點的位移結果相同.力也可以合成,老師引導,讓學生共同探究如下的問題:圖2(1)表示橡皮條在兩個力的作用下,沿著GC的方向伸長了EO；圖2(2)表示撤去F1和F2,用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度.圖2改變力F1與F2的大小和方向,重復以上的實驗,你能發(fā)現F與F1、F2之間的關系嗎?力F對橡皮條產生的效果與力F1與F2共同作用產生的效果相同,物理學中把力F叫做F1與F2的合力.合力F與力F1、F2有怎樣的關系呢?由圖2(3)發(fā)現,力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于平行四邊形對角線的長.數的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,F可以

9、認為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.討論結果:向量加法的定義:如圖3,已知非零向量a、b,在平面內任取一點A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.圖3求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.向量加法的法則:1向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運用這一法則時要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.2向量加法的平行四邊形法則圖4如圖4,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四

10、邊形,則以O為起點的對角線就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出問題對于零向量與任一向量的加法,結果又是怎樣的呢？兩共線向量求和時,用三角形法則較為合適.當在數軸上表示兩個向量時,它們的加法與數的加法有什么關系？思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系？數的運算和運算律緊密聯系,運算律可以有效地簡化運算.類似地,向量的加法是否也有運算律呢?活動:觀察實際例子,教師啟發(fā)學生思考,并適時點撥,誘導,探究向量的加法在特殊情況下的運算,共線向量加法與數的加法之間的關系.數的加法滿足交換律與結合律,即對任意a,bR,有a+

11、b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結合律?引導學生畫圖進行探索.討論結果:對于零向量與任一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a.兩個數相加其結果是一個數,對應于數軸上的一個點;在數軸上的兩個向量相加,它們的和仍是一個向量,對應于數軸上的一條有向線段.當a,b不共線時,|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當a,b共線且方向相同時,|a+b|=|a|+|b|;當a,b共線且方向相反時,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當向量a的長度大于向量b的長度時,|a+b|=|a|-|b|;當向量a的長度小于向量b的長度時,|a+

12、b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|a|+|b|.如圖5,作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a.因為=+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如圖6,因為=+=(+)+=(a+b)+c,=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿足交換律和結合律.圖5圖6（三）應用示例思路1例1 如圖7,已知向量a、b,求作向量a+b.活動:教師引導學生,讓學生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學生體會作法中在平面內任取一點O的依據它體現了向量起點的任意性.在向量作圖時,一般都

13、需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應強調向量的起點放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連.圖7圖8 圖9解:作法一:在平面內任取一點O(如圖8),作=a,=b,則=a+b.作法二:在平面內任取一點O(如圖9),作=a,=b.以OA、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b.變式訓練化簡:(1)+;(2)+;(3)+.活動:根據向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運用向量加法的結合律調整運算順序,然后相加.解:(1)+=+=.(2)+=+=(+)+=+=0.(3)+FA=+=+=+=+=0.點評:要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量.例2 長江兩岸之間沒有大橋的地方

14、,常常通過輪渡進行運輸.如圖10所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2 km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字);(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).圖10圖11活動:本例結合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學生能把它抽象為向量的加法運算,體會其中應解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導點撥學生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖上,從而與初中學過的解直角三角形建立聯系.解:

15、如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實際航行的速度.(2)在RtABC中,|=2,|=5,所以|=5.4.因為tanCAB=,由計算器得CAB=70.答:船實際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角為70.點評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進行向量運算,最后回扣物理問題,解決問題.變式訓練用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖12活動:本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問題不難解決,如果用向量法來解,不僅思路清晰,而且運算簡單.將互相平分利用向量表達,以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的

16、向量等式成立.教師引導學生探究怎樣用向量法解決幾何問題,并在解完后總結思路方法.證明:如圖12,設四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,=+,=+.AC與BD互相平分,=,=,=,因此且|=|,即四邊形ABCD是平行四邊形.點評:證明一個四邊形是平行四邊形時,只需證明=或=即可.而要證明一個四邊形是梯形,需證明與共線,且|.思路2例3 如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)+;(2)+;(3)+.活動:教師引導學生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應的向量.教師一定要讓學生親自動手操作,對思路不清的學生教師適時地給予點撥指導.圖13解:(1)因四邊形OAB

17、C是以OA、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對角線,故+=.(2)因=,故+與方向相同,長度為的長度的2倍,故+=.(3)因=,故+=+=0.點評:向量的運算結合平面幾何知識,在長度和方向兩個方面做文章.應深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例2 在長江的某渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡過長江,其航向應如何確定？活動:如圖14,渡船的實際速度、船速與水速應滿足+=.圖14解:設表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船實際垂直過江的速度,以AB為一邊,AC為對角線作平行四邊形,就是船的速度.在RtACD中,ACD=90,|=|=12.5,|=

18、25,CAD=30.答:渡船的航向為北偏西30.點評:根據題意畫出草圖,是解決問題的關鍵.變式訓練已知O是四邊形ABCD內一點,若+=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點O是四邊形的什么點?活動:要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關系,如平行、相等等;而要判斷點O是該四邊形的什么點,就必須找到該點與四邊形的邊或對角線的關系.圖15解:如圖15所示,設點O是任一四邊形ABCD內的一點,且+=0,過A作AEOD,連結ED,則四邊形AEDO為平行四邊形,設OE與AD的交點為M,過B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形,設OF與BC的交點為N,于是M、N分別是AD、BC的中點.+=0,+=+=,+=+=,+=0,即與的長度相等,方向相反.M、O、N三點共線,即點O在AD與BC的中點連線上.同理,點O也在AB與DC的中點連線上.點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點,且該四邊形可以是任意四邊形.（四）課堂小結1.先由學生回顧本節(jié)學習的數學知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結合律,幾何作圖,向量加法的實際應用.2.教師與學生一起總結本節(jié)學習的數學