高中數(shù)學知識點總結(jié)不等式的性質(zhì)與證明

1、要點重溫之不等式的性質(zhì)與證明1在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的：當a>0,b>0時，a>ban>bn；當a<0,b<0時，a>ba2<b2；a2>b2|a|>|b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數(shù)，但不等號的方向要改變，如：由<2推得的應(yīng)該是：x>或x<0，而由>2推得的應(yīng)該是：0<x<（別漏了“0<x”）等。舉例若=,則的值域為 ；的值域為 。解析：此題可以“逆求”：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒數(shù)”求：3-f(x)&

2、lt;3，分兩段取倒數(shù)即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,g(x)(-,0)(,+)；f(x)+3>30<<1<h(x)<。鞏固1 若，則下列不等式；中，正確的不等式有（ ）A1個B2個C3個D4個鞏固2 下列命題：若a>b,則ac2>bc2；若ac2>bc2,則a>b；若a>b,c>d則a-d>b-c；若a>b,則a3>b3；若a>b,則若a<b<0,則a2>ab>b2；若a<b<0,則|a|>|b|；若a<b

3、<0,則；若a>b且,則a>0,b<0；若c>a>b>0,則；其中正確的命題是 。遷移若a>b>c且a+b+c=0，則：a2>ab，b2>bc，bc<c2,的取值范圍是：(-,1)，的取值范圍是：（-2，-）。上述結(jié)論中正確的是 。2同向不等式相加及不等式的“傳遞性”一般只用于證明不等式，用它們求變量范圍時要求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“兩不等式的兩邊均為正數(shù)”才可相乘。舉例已知函數(shù)，且滿足2f(1)1,2f(2)3,則f(3)的取值范圍是：。解析：解決本題的一個經(jīng)典錯誤如下：2a+c1

4、； 24a+c3 由得： 1ac2 44a4c8 由+得：1a 由+得： c2 由×9+得：9a+c13 ，即f(3)13。錯誤的原因在于：當且僅當1=ac且2=4a+c時式中的1=a成立，此時，a=1，c=2；當且僅當4a4c=8 且4a+c=3 時式中的=c成立，此時，a=，c=；可見兩式不可能同時成立，所以中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系數(shù)得f(3)=f(1)+f(2)，又：f(1)；f(2)87f(3)。在此過程中雖然也用了“同向不等式相加”，但由錯解分析知：當a=1，c=2時，不等式f(1)和f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當

5、a=，c=時，不等式f(1)和f(2)8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這個解法是沒有問題的。可見，在求變量范圍時也并非絕對不能用“同向不等式相加”，只要“等號”能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時“接近”。注：本題還可以用“線性規(guī)劃”求解：在約束條件2f(1)1,2f(2)3下求目標函數(shù)f(3)的最大、最小值。鞏固設(shè)正實數(shù)a、b、c、x、y，且a、b、c為常數(shù)，x、y為變量，若x+y=c，則+的最大值是：A B C D3關(guān)注不等式|x|-|y|x±y|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy0|x+y|=|x|+|y|；xy0且|x|y|x-y|=

6、|x|-|y|；xy0且|x|y|x-y|=|y|-|x|；xy0|x-y|=|x|+|y|；xy0且|x|y|x+y|=|x|-|y|；xy0且|x|y|x+y|=|y|-|x|。舉例1若m>0,則|x-a|<m和|y-a|<m是|x-y|<2m的A充分而不必要條件， B必要而不充分條件C充要條件 D既不是充分條件也不是必要條件。解析：|x-a|<m且|y-a|<m，則|x-y|=|x-a+a-y|x-a|+|y-a|<2m；而當m=4,x=9,y=2,a=2時，|x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,|x-a|<m和|y-a|

7、<m是|x-y|<2m的充分而不必要條件,選A。舉例2不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集為 。解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0log2x>0x>1 不等式的解集為（1，+)。鞏固1a,b都是非零實數(shù)，下列四個條件：|a+b|<|a|+|b|；|a+b|<|a|-|b|； |a|-|b|<|a+b|； |a|-|b|<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價的條件是： （填條件序號）。鞏固2方

8、程|=|+|的解集是 。4若、R+，則；當且僅當=時等號成立；其中包含常用不等式：；4以及基本不等式：，基本不等式還有另外兩種形式：若0、0，則；若：、R，則2；用基本不等式求最值時要關(guān)注變量的符號、放縮后是否為定值、等號能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。舉例1 若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，則的最小值為 。解析：圓心（2，1），“直線始終平分圓”即圓心在直線上，a+b=1,=,當且僅當a=b=時等號成立。舉例2正數(shù)a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是 ，a+b的最大值是 。解析：ab=a+b+3

9、2+3-2-3039，當且僅當a=b=3時等號成立。a+b=ab-3-3 a+b6, 當且僅當a=b=3時等號成立。注：該方法的實質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮后是否為定值的問題。鞏固1在等式中填上兩個自然數(shù)，使它們的和最小。鞏固2某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的年增長率為，第三年的年增長率為，這兩年的平均增長率為，則（ ）ABCD遷移甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：A甲先到教室 B乙先到教室 C兩人同時到教室 D不能確定誰先到教室

10、5比較大小的方法有：比差：判斷“差”的正負，因式分解往往是關(guān)鍵；比商：判斷“商”與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用于指數(shù)式的比較；變形：如平方（需為正數(shù)）、有理化（根式的和、差）等；尋求中間變量，常見的有0，1等；數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過程。舉例1已知且，若則、的大小關(guān)系是（ ）AB C D解析：記x=, y=()2, 直接比較x、y的大小將大費周章，但： x>=1,y=，x>y，又0<c<1,<。舉例2 x0是x的方程ax=logax(0<a<1)的解，則x0,1,a這三個數(shù)的大小關(guān)系是 。xyO1

11、1P解析：顯然方程ax=logax不能用代數(shù)方法研究。分別作函數(shù)y=ax及y=logax的圖象如右，它們的交點為P（x0，y0）,易見x0<1, y0 <1，而y0=logax0即logax0<1,又0<a<1，x0>a,即a<x0<1。鞏固1、的大小關(guān)系是 。鞏固2設(shè)a>2，p=,q=,則：Ap>q Bp<q Cp>q與p=q都有可能 Dp>q與p<q都有可能遷移 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的實數(shù)x,yR,有f(x+y)=f(x)·f(y)；當x>0時,f(x)>1；判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性。6放縮法的方法有：添加或舍去一些項，如：；將分子或分母放大（或縮小）；利用基本不等式，如：；等；利用常用結(jié)論：下列各式中（） （）； （） ； () ； 舉例已知a、b、c是ABC的三邊長，A=,B=,則：AA>B, B A<B, CAB DAB解析：B=<=