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文檔簡介
1、必修5 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(學(xué)案) (第1課時(shí)) 【知識(shí)要點(diǎn)】1等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式;2數(shù)列求和的倒序相加法;3等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式應(yīng)用【學(xué)習(xí)要求】探索并掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,了解倒序相加法; 能運(yùn)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解決簡單問題【預(yù)習(xí)提綱】(根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材第42頁第44頁)高斯算法是運(yùn)用了等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)規(guī)律?我們這里用什么方法去求一般數(shù)列的前項(xiàng)和呢?設(shè)等差數(shù)列的公差為,則又 .(上式倒序相加的和)由+,得 = 由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式 ()這種數(shù)列求和的方法稱為 .又等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=,將其代人公式()得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的另一個(gè)公式()等差數(shù)列的
2、前項(xiàng)和公式()、()各有什么特點(diǎn)?今后運(yùn)用時(shí)如何恰當(dāng)?shù)倪x擇?【基礎(chǔ)練習(xí)】1在等差數(shù)列中,已知,其前項(xiàng)和 .在等差數(shù)列中,已知,其前項(xiàng)和求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.【典型例題】例1 2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?例2 已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是3
3、10,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式嗎? 1在等差數(shù)列中,()()9 (B)10 (C)11 ()12已知等差數(shù)列滿足( )()138 ()135 ()95 ()23.正整數(shù)列前個(gè)偶數(shù)的和為;正整數(shù)列前個(gè)奇數(shù)的和為.在三位正整數(shù)的集合中有180個(gè)數(shù)是的倍數(shù),它們的和是.已知等差數(shù)列中,求公差6.已知一個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21,末四項(xiàng)的和為67,前項(xiàng)的和為286,求項(xiàng)數(shù)(2009寧夏海南卷文)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則()必修5 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(教案)(第一課時(shí))【教學(xué)目標(biāo)】1通過實(shí)例,探索等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,了解倒序相加法;2掌握等差數(shù)
4、列的前項(xiàng)和公式,并能用其解決一些簡單問題;3培養(yǎng)學(xué)生利用學(xué)過的知識(shí)解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力【重點(diǎn)】探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題【難點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得【預(yù)習(xí)提綱】(根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材第42頁第44 頁)高斯算法是運(yùn)用了等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)規(guī)律?(等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和)我們這里用什么方法去求一般數(shù)列的前項(xiàng)和呢?(倒序相加法)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則又 (式倒序相加的和)由+,得 =由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式 ()這種數(shù)列求和的方法稱為“倒序相加法”.又等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=,將其代人公式()得到等差數(shù)
5、列的前n項(xiàng)和的另一個(gè)公式()等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式()、()各有什么特點(diǎn)?今后運(yùn)用時(shí)如何恰當(dāng)?shù)倪x擇?(兩個(gè)公式都需要知道,而公式()還需已知,而公式()還需已知,運(yùn)用時(shí)要根據(jù)已知條件選擇用哪個(gè)公式)【基礎(chǔ)練習(xí)】1在等差數(shù)列中,已知,其前項(xiàng)和-88 .在等差數(shù)列中,已知,其前項(xiàng)和604.5求集合的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.(答案:元素個(gè)數(shù)是30,元素和為900.【典型例題】例12000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)
6、為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?【審題要津】讓學(xué)生讀題、審題并找出有用的信息,構(gòu)造等差數(shù)列模型:根據(jù)題意,從年,該市每年投入的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以,構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列,寫出首項(xiàng)和公差,用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解解:根據(jù)題意,從年,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以,可以建立一個(gè)等差數(shù)列,表示從2001年起各年投入的資金,其中 , =50.那么,到2010年(=10),投入的資金總額為 (萬元)答:從年,該市在“校校通”工程中的總投入是72
7、50萬元.【方法總結(jié)】本題是應(yīng)用題,解決的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)題意:從年,每年投入的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以,可以構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的知識(shí)解決例2 已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式嗎?【審題要津】等差數(shù)列前項(xiàng)和公式就是一個(gè)關(guān)于的方程若要確定其前項(xiàng)求和公式,則要確定的關(guān)系式,從而求得將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可得到兩個(gè)關(guān)于與的二元一次方程,由此可以求得與,從而得到所求前項(xiàng)和的公式.解:由題意知 ,將它們代入公式 得到 解這個(gè)關(guān)于與的方程組,得到=4,所以 .另解: 得 所以 -,得, 所
8、以 ,代入得: ,所以有 .【方法總結(jié)】此例題目的是建立等差數(shù)列前項(xiàng)和與方程之間的聯(lián)系,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)倪x擇公式.由已知的幾個(gè)量,通過解方程組,得出其余的未知量. 在等差數(shù)列前項(xiàng)和的兩個(gè)公式以及通項(xiàng)公式中涉及了五個(gè)量,分別是,任知其三個(gè)可以求另外兩個(gè) 1在等差數(shù)列中,()()9 (B)10 (C)11 ()12已知等差數(shù)列滿足( C )()138 ()135 ()95 ()23.正整數(shù)列前個(gè)偶數(shù)的和為;正整數(shù)列前個(gè)奇數(shù)的和為.在三位正整數(shù)的集合中有180個(gè)數(shù)是的倍數(shù),它們的和是98550.已知等差數(shù)列中,求公差解:由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得 ,解得,即又,所以6.已知一個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21,末四項(xiàng)的和為67,前項(xiàng)的和為286,求項(xiàng)數(shù)解:由題設(shè)得兩式相加得 .又 ,所以,即,所以(20
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